Страница 269 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

10.4* Докажите утверждение о возведении уравнения в чётную степень.

Утверждение о возведении уравнения в чётную степень

При возведении обеих частей уравнения $f(x) = g(x)$ в одну и ту же чётную натуральную степень $2k$ (где $k \in \mathbb{N}$) получается уравнение-следствие $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$. Это означает, что множество корней исходного уравнения является подмножеством множества корней полученного уравнения, но в общем случае преобразование не является равносильным и может привести к появлению посторонних корней.

Более точно, множество корней уравнения $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$ является объединением множеств корней двух уравнений: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$.

Доказательство

Пусть дано исходное уравнение:

$f(x) = g(x) \quad (1)$

Возведём обе его части в чётную степень $2k$, где $k$ — натуральное число:

$(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k} \quad (2)$

1. Докажем, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Пусть $x_0$ — произвольный корень уравнения (1). Это означает, что при подстановке $x_0$ в уравнение (1) получается верное числовое равенство: $f(x_0) = g(x_0)$.

Если мы возведем обе части этого верного числового равенства в степень $2k$, мы снова получим верное числовое равенство: $(f(x_0))^{2k} = (g(x_0))^{2k}$.

Это по определению означает, что $x_0$ является корнем уравнения (2). Поскольку $x_0$ — произвольный корень уравнения (1), то все корни исходного уравнения являются корнями уравнения-следствия. Это доказывает, что при возведении в чётную степень не происходит потери корней.

2. Проанализируем множество всех корней уравнения (2).

Преобразуем уравнение (2), перенеся все члены в левую часть:

$(f(x))^{2k} - (g(x))^{2k} = 0$

Заметим, что для любых действительных чисел $A$ и $B$ и натурального $k$, равенство $A^{2k} = B^{2k}$ равносильно равенству $|A| = |B|$. Следовательно, уравнение (2) равносильно уравнению:

$|f(x)| = |g(x)|$

По определению модуля, это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\left[\begin{aligned}f(x) = g(x) \\f(x) = -g(x)\end{aligned}\right.$

Таким образом, множество корней уравнения (2) состоит из всех корней исходного уравнения $f(x) = g(x)$ и всех корней уравнения $f(x) = -g(x)$. Корни второго уравнения, которые не являются корнями первого, и есть посторонние корни, которые могут появиться в результате возведения в чётную степень.

Например, рассмотрим уравнение $x = 3$. Его единственный корень $x=3$. Возведем обе части в квадрат: $x^2 = 3^2$, или $x^2 = 9$. Это уравнение имеет два корня: $x=3$ и $x=-3$. Корень $x=-3$ является посторонним, он появился как корень уравнения $x = -3$.

Преобразование будет равносильным (не приводящим к появлению посторонних корней) в том и только в том случае, когда множества решений уравнений $f(x)=g(x)$ и $f(x)=-g(x)$ совпадают, или когда второе уравнение не имеет решений. Это гарантируется, если на области определения исходного уравнения обе его части, $f(x)$ и $g(x)$, имеют одинаковый знак (или обе равны нулю), то есть выполняется условие $f(x) \cdot g(x) \ge 0$.

Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что при возведении обеих частей уравнения $f(x)=g(x)$ в чётную степень $2k$ ($k \in \mathbb{N}$) получается уравнение-следствие $(f(x))^{2k}=(g(x))^{2k}$. Множество корней полученного уравнения является объединением множеств корней уравнений $f(x)=g(x)$ и $f(x)=-g(x)$, из-за чего могут появиться посторонние корни, являющиеся решениями уравнения $f(x)=-g(x)$.

Решите уравнение (10.5—10.13):

10.5 а) $\sqrt[4]{x+1} = \sqrt[4]{2x-5};$

б) $\sqrt[4]{x-1} = \sqrt[4]{2x+5};$

в) $\sqrt{2x+11} = \sqrt{4x+1};$

г) $\sqrt{2x-9} = \sqrt{4x+3}.$

а) Дано уравнение $\sqrt[4]{x + 1} = \sqrt[4]{2x - 5}$.

Поскольку корни четной степени, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\{ \begin{array}{l} x + 1 \ge 0 \\ 2x - 5 \ge 0 \end{array} \Rightarrow \{ \begin{array}{l} x \ge -1 \\ 2x \ge 5 \end{array} \Rightarrow \{ \begin{array}{l} x \ge -1 \\ x \ge 2.5 \end{array}$

Следовательно, ОДЗ: $x \ge 2.5$.

Возведем обе части уравнения в четвертую степень, чтобы избавиться от корней:

$(\sqrt[4]{x + 1})^4 = (\sqrt[4]{2x - 5})^4$

$x + 1 = 2x - 5$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$1 + 5 = 2x - x$

$x = 6$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $6 \ge 2.5$, корень подходит.

Ответ: $6$.

б) Дано уравнение $\sqrt[4]{x - 1} = \sqrt[4]{2x + 5}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\{ \begin{array}{l} x - 1 \ge 0 \\ 2x + 5 \ge 0 \end{array} \Rightarrow \{ \begin{array}{l} x \ge 1 \\ 2x \ge -5 \end{array} \Rightarrow \{ \begin{array}{l} x \ge 1 \\ x \ge -2.5 \end{array}$

Следовательно, ОДЗ: $x \ge 1$.

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x - 1})^4 = (\sqrt[4]{2x + 5})^4$

$x - 1 = 2x + 5$

Решим полученное линейное уравнение:

$-1 - 5 = 2x - x$

$x = -6$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $-6 < 1$, корень не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Ответ: корней нет.

в) Дано уравнение $\sqrt{2x + 11} = \sqrt{4x + 1}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\{ \begin{array}{l} 2x + 11 \ge 0 \\ 4x + 1 \ge 0 \end{array} \Rightarrow \{ \begin{array}{l} 2x \ge -11 \\ 4x \ge -1 \end{array} \Rightarrow \{ \begin{array}{l} x \ge -5.5 \\ x \ge -0.25 \end{array}$

Следовательно, ОДЗ: $x \ge -0.25$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x + 11})^2 = (\sqrt{4x + 1})^2$

$2x + 11 = 4x + 1$

Решим полученное линейное уравнение:

$11 - 1 = 4x - 2x$

$10 = 2x$

$x = 5$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $5 \ge -0.25$, корень подходит.

Ответ: $5$.

г) Дано уравнение $\sqrt{2x - 9} = \sqrt{4x + 3}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\{ \begin{array}{l} 2x - 9 \ge 0 \\ 4x + 3 \ge 0 \end{array} \Rightarrow \{ \begin{array}{l} 2x \ge 9 \\ 4x \ge -3 \end{array} \Rightarrow \{ \begin{array}{l} x \ge 4.5 \\ x \ge -0.75 \end{array}$

Следовательно, ОДЗ: $x \ge 4.5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x - 9})^2 = (\sqrt{4x + 3})^2$

$2x - 9 = 4x + 3$

Решим полученное линейное уравнение:

$-9 - 3 = 4x - 2x$

$-12 = 2x$

$x = -6$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $-6 < 4.5$, корень не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Ответ: корней нет.

10.6 a) $\sqrt[4]{x^2 - 5} = \sqrt[4]{5x + 9}$;

в) $\sqrt{3x^2 - 13} = \sqrt{5x - 1}$;

б) $\sqrt[4]{2x^2 - 1} = \sqrt[4]{3x - 2}$;

г) $\sqrt{4x^2 - 11} = \sqrt{13x + 31}$.

а) $\sqrt[4]{x^2 - 5} = \sqrt[4]{5x + 9}$

Уравнение с корнями четной степени равносильно системе, в которой подкоренные выражения приравниваются, и одно из них (любое) должно быть неотрицательным.

$\begin{cases} x^2 - 5 = 5x + 9 \\ 5x + 9 \ge 0 \end{cases}$

Сначала решим уравнение:

$x^2 - 5x - 14 = 0$

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - 9}{2} = -2$; $x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7$.

Теперь выполним проверку корней, подставив их в неравенство $5x + 9 \ge 0$.

При $x_1 = -2$: $5(-2) + 9 = -10 + 9 = -1$. Так как $-1 < 0$, этот корень является посторонним.

При $x_2 = 7$: $5(7) + 9 = 35 + 9 = 44$. Так как $44 \ge 0$, этот корень является решением.

Ответ: 7.

б) $\sqrt[4]{2x^2 - 1} = \sqrt[4]{3x - 2}$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 2x^2 - 1 = 3x - 2 \\ 3x - 2 \ge 0 \end{cases}$

Решим уравнение $2x^2 - 1 = 3x - 2$:

$2x^2 - 3x + 1 = 0$

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 = 1^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $x_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Проверим корни по условию $3x - 2 \ge 0$.

При $x_1 = \frac{1}{2}$: $3(\frac{1}{2}) - 2 = 1.5 - 2 = -0.5$. Так как $-0.5 < 0$, корень является посторонним.

При $x_2 = 1$: $3(1) - 2 = 1$. Так как $1 \ge 0$, корень является решением.

Ответ: 1.

в) $\sqrt{3x^2 - 13} = \sqrt{5x - 1}$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 3x^2 - 13 = 5x - 1 \\ 5x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим уравнение $3x^2 - 13 = 5x - 1$:

$3x^2 - 5x - 12 = 0$

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$; $x_2 = \frac{5 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.

Проверим корни по условию $5x - 1 \ge 0$.

При $x_1 = -\frac{4}{3}$: $5(-\frac{4}{3}) - 1 = -\frac{20}{3} - 1 = -\frac{23}{3}$. Так как $-\frac{23}{3} < 0$, корень является посторонним.

При $x_2 = 3$: $5(3) - 1 = 14$. Так как $14 \ge 0$, корень является решением.

Ответ: 3.

г) $\sqrt{4x^2 - 11} = \sqrt{13x + 31}$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 4x^2 - 11 = 13x + 31 \\ 13x + 31 \ge 0 \end{cases}$

Решим уравнение $4x^2 - 11 = 13x + 31$:

$4x^2 - 13x - 42 = 0$

Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-42) = 169 + 672 = 841 = 29^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{13 - 29}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2$; $x_2 = \frac{13 + 29}{2 \cdot 4} = \frac{42}{8} = \frac{21}{4}$.

Проверим корни по условию $13x + 31 \ge 0$.

При $x_1 = -2$: $13(-2) + 31 = -26 + 31 = 5$. Так как $5 \ge 0$, корень является решением.

При $x_2 = \frac{21}{4}$: $13(\frac{21}{4}) + 31 = \frac{273}{4} + \frac{124}{4} = \frac{397}{4}$. Так как $\frac{397}{4} \ge 0$, корень также является решением.

Ответ: -2; $\frac{21}{4}$.

10.7 a) $\sqrt{x+1} = x-2;$

В) $\sqrt{x+3} = x+2;$

б) $\sqrt{x-1} = x-4;$

Г) $\sqrt{x} = x-1.$

а) $\sqrt{x+1} = x-2$

Для решения иррационального уравнения найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+1 \geq 0$, откуда $x \geq -1$.
2. Правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом: $x-2 \geq 0$, откуда $x \geq 2$.
Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \geq 2$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt{x+1})^2 = (x-2)^2$
$x+1 = x^2 - 4x + 4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 - 4x - x + 4 - 1 = 0$
$x^2 - 5x + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 - 12 = 13$
Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$x_1 = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}$
$x_2 = \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \geq 2$).
Для $x_1 = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}$: зная, что $3 < \sqrt{13} < 4$, получаем $x_1 \approx \frac{5 - 3.6}{2} = 0.7$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \geq 2$, следовательно, является посторонним.
Для $x_2 = \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$: $x_2 \approx \frac{5 + 3.6}{2} = 4.3$. Этот корень удовлетворяет условию $x \geq 2$.

Ответ: $x = \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$

б) $\sqrt{x-1} = x-4$

Определим ОДЗ:
1. $x-1 \geq 0 \implies x \geq 1$
2. $x-4 \geq 0 \implies x \geq 4$
Итоговая ОДЗ: $x \geq 4$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-1})^2 = (x-4)^2$
$x-1 = x^2 - 8x + 16$
$x^2 - 9x + 17 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 81 - 68 = 13$
$x_1 = \frac{9 - \sqrt{13}}{2}$
$x_2 = \frac{9 + \sqrt{13}}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \geq 4$).
$x_1 = \frac{9 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{9 - 3.6}{2} = 2.7$. Корень не удовлетворяет условию $x \geq 4$, является посторонним.
$x_2 = \frac{9 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{9 + 3.6}{2} = 6.3$. Корень удовлетворяет условию $x \geq 4$.

Ответ: $x = \frac{9 + \sqrt{13}}{2}$

в) $\sqrt{x+3} = x+2$

Определим ОДЗ:
1. $x+3 \geq 0 \implies x \geq -3$
2. $x+2 \geq 0 \implies x \geq -2$
Итоговая ОДЗ: $x \geq -2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+3})^2 = (x+2)^2$
$x+3 = x^2 + 4x + 4$
$x^2 + 3x + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$
$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$
$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \geq -2$).
$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-3 - 2.24}{2} = -2.62$. Корень не удовлетворяет условию $x \geq -2$, является посторонним.
$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-3 + 2.24}{2} = -0.38$. Корень удовлетворяет условию $x \geq -2$.

Ответ: $x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$

г) $\sqrt{x} = x-1$

Определим ОДЗ:
1. $x \geq 0$
2. $x-1 \geq 0 \implies x \geq 1$
Итоговая ОДЗ: $x \geq 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (x-1)^2$
$x = x^2 - 2x + 1$
$x^2 - 3x + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \geq 1$).
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3 - 2.24}{2} = 0.38$. Корень не удовлетворяет условию $x \geq 1$, является посторонним.
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3 + 2.24}{2} = 2.62$. Корень удовлетворяет условию $x \geq 1$.

Ответ: $x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

10.8 a) $\sqrt{-2x} = |x+1|$;

В) $\sqrt{2-x} = |x-3|$;

б) $\sqrt{4x} = |x-2|$;

Г) $\sqrt{5-x} = |x-2|$.

а) Решим уравнение $\sqrt{-2x} = |x+1|$.
1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком корня должно быть неотрицательным.
$-2x \ge 0 \implies x \le 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 0]$.
2. Так как обе части уравнения неотрицательны, возведём их в квадрат, чтобы избавиться от корня и модуля:
$(\sqrt{-2x})^2 = (|x+1|)^2$
$-2x = (x+1)^2$
$-2x = x^2 + 2x + 1$
3. Приведём уравнение к стандартному квадратному виду и решим его:
$x^2 + 4x + 1 = 0$
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
Найдём корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.
Получаем два корня: $x_1 = -2 + \sqrt{3}$ и $x_2 = -2 - \sqrt{3}$.
4. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию ОДЗ ($x \le 0$):
Для корня $x_1 = -2 + \sqrt{3}$: поскольку $1 < \sqrt{3} < 2$ (т.к. $1^2=1$, $(\sqrt{3})^2=3$, $2^2=4$), то $-1 < -2 + \sqrt{3} < 0$. Условие $x_1 \le 0$ выполняется.
Для корня $x_2 = -2 - \sqrt{3}$: это число очевидно является отрицательным, поэтому условие $x_2 \le 0$ также выполняется.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: $-2 \pm \sqrt{3}$.

б) Решим уравнение $\sqrt{4x} = |x-2|$.
1. Найдём ОДЗ: $4x \ge 0 \implies x \ge 0$.
ОДЗ: $x \in [0, +\infty)$.
2. Возведём обе неотрицательные части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{4x})^2 = (|x-2|)^2$
$4x = (x-2)^2$
$4x = x^2 - 4x + 4$
3. Решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 8x + 4 = 0$
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 16 = 48$.
$x = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{16 \cdot 3}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$.
Получаем два корня: $x_1 = 4 + 2\sqrt{3}$ и $x_2 = 4 - 2\sqrt{3}$.
4. Проверим принадлежность корней ОДЗ ($x \ge 0$):
Корень $x_1 = 4 + 2\sqrt{3}$ является положительным, так как это сумма двух положительных чисел. Условие $x_1 \ge 0$ выполняется.
Корень $x_2 = 4 - 2\sqrt{3}$. Чтобы сравнить его с нулём, сравним $4$ и $2\sqrt{3}$. Возведём их в квадрат: $4^2 = 16$ и $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$. Так как $16 > 12$, то $4 > 2\sqrt{3}$, следовательно $4 - 2\sqrt{3} > 0$. Условие $x_2 \ge 0$ выполняется.
Оба корня подходят.
Ответ: $4 \pm 2\sqrt{3}$.

в) Решим уравнение $\sqrt{2-x} = |x-3|$.
1. Найдём ОДЗ: $2-x \ge 0 \implies x \le 2$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, 2]$.
2. Возведём обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2-x})^2 = (|x-3|)^2$
$2-x = (x-3)^2$
$2-x = x^2 - 6x + 9$
3. Приведём уравнение к стандартному виду и решим его:
$x^2 - 5x + 7 = 0$
Вычислим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

г) Решим уравнение $\sqrt{5-x} = |x-2|$.
1. Найдём ОДЗ: $5-x \ge 0 \implies x \le 5$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, 5]$.
2. Возведём обе части в квадрат:
$(\sqrt{5-x})^2 = (|x-2|)^2$
$5-x = (x-2)^2$
$5-x = x^2 - 4x + 4$
3. Решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 3x - 1 = 0$
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$.
$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Получаем два корня: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$.
4. Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x \le 5$):
Для корня $x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$: так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $3+3 < 3+\sqrt{13} < 3+4$, то есть $6 < 3+\sqrt{13} < 7$. После деления на 2 получаем: $3 < \frac{3 + \sqrt{13}}{2} < 3.5$. Так как $3.5 \le 5$, корень $x_1$ удовлетворяет ОДЗ.
Для корня $x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$: так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $3-4 < 3-\sqrt{13} < 3-3$, то есть $-1 < 3-\sqrt{13} < 0$. После деления на 2 получаем: $-0.5 < \frac{3 - \sqrt{13}}{2} < 0$. Так как $-0.5 \le 5$, корень $x_2$ также удовлетворяет ОДЗ.
Оба корня подходят.
Ответ: $\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$.