Страница 273 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

10.15 a) $ \frac{2\sqrt{0.5-x}}{(x-4)(x+1)} = \frac{\sqrt{0.5-x}}{(x-2)(x+2)} $

б) $ \frac{4\sqrt{x-10}}{(x-4)(x+3)} = \frac{3\sqrt{x-10}}{(x-3)(x-2)} $

а) $\frac{2\sqrt{0.5-x}}{(x-4)(x+1)} = \frac{\sqrt{0.5-x}}{(x-2)(x+2)}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Подакоренное выражение должно быть неотрицательным: $0.5 - x \ge 0$, откуда $x \le 0.5$.
2. Знаменатели не должны равняться нулю:
$(x-4)(x+1) \ne 0 \implies x \ne 4, x \ne -1$.
$(x-2)(x+2) \ne 0 \implies x \ne 2, x \ne -2$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1) \cup (-1; 0.5]$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
$\frac{2\sqrt{0.5-x}}{(x-4)(x+1)} - \frac{\sqrt{0.5-x}}{(x-2)(x+2)} = 0$

Вынесем общий множитель $\sqrt{0.5-x}$ за скобки:
$\sqrt{0.5-x} \left( \frac{2}{(x-4)(x+1)} - \frac{1}{(x-2)(x+2)} \right) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Случай 1: $\sqrt{0.5-x} = 0$.
$0.5 - x = 0 \implies x = 0.5$.
Этот корень входит в ОДЗ.

Случай 2: $\frac{2}{(x-4)(x+1)} - \frac{1}{(x-2)(x+2)} = 0$.
$\frac{2}{(x-4)(x+1)} = \frac{1}{(x-2)(x+2)}$
$\frac{2}{x^2 - 3x - 4} = \frac{1}{x^2 - 4}$
Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:
$2(x^2 - 4) = 1(x^2 - 3x - 4)$
$2x^2 - 8 = x^2 - 3x - 4$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.
Проверим корни по ОДЗ:
$x_1 = -4$ удовлетворяет условию $x \le 0.5$ и не совпадает с $-1, -2$. Значит, это корень уравнения.
$x_2 = 1$ не удовлетворяет условию $x \le 0.5$, следовательно, это посторонний корень.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем корни исходного уравнения.
Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 0.5$.

б) $\frac{4\sqrt{x-10}}{(x-4)(x+3)} = \frac{3\sqrt{x-10}}{(x-3)(x-2)}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Подакоренное выражение должно быть неотрицательным: $x - 10 \ge 0$, откуда $x \ge 10$.
2. Знаменатели не должны равняться нулю:
$(x-4)(x+3) \ne 0 \implies x \ne 4, x \ne -3$.
$(x-3)(x-2) \ne 0 \implies x \ne 3, x \ne -2$.
Так как $x \ge 10$, все условия на знаменатели выполняются автоматически.
ОДЗ: $x \in [10; +\infty)$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и вынесем общий множитель $\sqrt{x-10}$ за скобки:
$\sqrt{x-10} \left( \frac{4}{(x-4)(x+3)} - \frac{3}{(x-3)(x-2)} \right) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Случай 1: $\sqrt{x-10} = 0$.
$x - 10 = 0 \implies x = 10$.
Этот корень входит в ОДЗ.

Случай 2: $\frac{4}{(x-4)(x+3)} - \frac{3}{(x-3)(x-2)} = 0$.
$\frac{4}{x^2 - x - 12} = \frac{3}{x^2 - 5x + 6}$
Используя свойство пропорции, получаем:
$4(x^2 - 5x + 6) = 3(x^2 - x - 12)$
$4x^2 - 20x + 24 = 3x^2 - 3x - 36$
$x^2 - 17x + 60 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = 12$.
Проверим корни по ОДЗ:
$x_1 = 5$ не удовлетворяет условию $x \ge 10$, следовательно, это посторонний корень.
$x_2 = 12$ удовлетворяет условию $x \ge 10$. Значит, это корень уравнения.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем корни исходного уравнения.
Ответ: $x_1 = 10, x_2 = 12$.

10.16 a) $(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1) = \frac{x^{16} + x^2 - 5x + 3}{x - 1}$;

б) $(x-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1) = \frac{x^{16} + x^2 + 5x + 3}{x + 1}$.

а) Рассматриваем уравнение $(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1) = \frac{x^{16} + x^2 - 5x + 3}{x - 1}$.
Заметим, что в уравнении присутствует дробь, знаменатель которой не может быть равен нулю, следовательно, $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
Упростим левую часть уравнения. Для этого умножим и разделим ее на $(x - 1)$.
$(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1) = \frac{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)}{x - 1}$
Последовательно применяя формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ в числителе, получаем:
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$
$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$
$(x^4 - 1)(x^4 + 1) = (x^4)^2 - 1^2 = x^8 - 1$
$(x^8 - 1)(x^8 + 1) = (x^8)^2 - 1^2 = x^{16} - 1$
Таким образом, левая часть уравнения тождественно равна $\frac{x^{16} - 1}{x - 1}$.
Теперь приравняем полученное выражение к правой части исходного уравнения:
$\frac{x^{16} - 1}{x - 1} = \frac{x^{16} + x^2 - 5x + 3}{x - 1}$
Так как знаменатели дробей равны и не равны нулю, мы можем приравнять их числители:
$x^{16} - 1 = x^{16} + x^2 - 5x + 3$
Вычтем из обеих частей $x^{16}$:
$-1 = x^2 - 5x + 3$
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета или через разложение на множители находим корни:
$(x - 1)(x - 4) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Вспомним про ограничение $x \neq 1$. Корень $x_1 = 1$ является посторонним. Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет этому условию.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: $x = 4$.

б) Рассматриваем уравнение $(x - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1) = \frac{x^{16} + x^2 + 5x + 3}{x + 1}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется знаменателем дроби: $x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$.
Упростим левую часть уравнения. Умножим и разделим ее на $(x + 1)$.
$(x - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1) = \frac{(x + 1)(x - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)}{x + 1}$
Как и в предыдущем пункте, свернем произведение в числителе по формуле разности квадратов:
$(x + 1)(x - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1) = (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1) = x^{16} - 1$
Значит, левая часть уравнения равна $\frac{x^{16} - 1}{x + 1}$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\frac{x^{16} - 1}{x + 1} = \frac{x^{16} + x^2 + 5x + 3}{x + 1}$
Приравниваем числители, так как знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ):
$x^{16} - 1 = x^{16} + x^2 + 5x + 3$
Вычитаем $x^{16}$ из обеих частей:
$-1 = x^2 + 5x + 3$
Получаем квадратное уравнение:
$x^2 + 5x + 4 = 0$
Решаем его, например, разложением на множители:
$(x + 1)(x + 4) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -4$.
Согласно ОДЗ, $x \neq -1$, поэтому корень $x_1 = -1$ является посторонним. Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ.
Таким образом, решение уравнения единственно.
Ответ: $x = -4$.

10.17 a) $(x-1)(x^2+1)(x^4+1)=x^7$

б) $(x+1)(x^2+1)(x^4+1)=x^7$

а) $(x-1)(x^2+1)(x^4+1)=x^7$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Левая часть уравнения напоминает последовательное применение этой формулы. Чтобы "свернуть" выражение, не хватает множителя $(x+1)$.

Прежде чем умножать уравнение на $(x+1)$, необходимо проверить, не является ли $x=-1$ (корень выражения $x+1=0$) решением исходного уравнения. Подставим $x=-1$ в уравнение:

$(-1-1)((-1)^2+1)((-1)^4+1) = (-1)^7$

$(-2)(1+1)(1+1) = -1$

$(-2)(2)(2) = -1$

$-8 = -1$

Равенство неверное, значит $x=-1$ не является корнем. Теперь мы можем умножить обе части уравнения на $(x+1)$, зная, что $x+1 \neq 0$.

$(x+1)(x-1)(x^2+1)(x^4+1) = x^7(x+1)$

Применяем формулу разности квадратов к левой части последовательно:

$(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1) = x^7(x+1)$

$(x^4-1)(x^4+1) = x^7(x+1)$

$x^8-1 = x^7(x+1)$

Раскроем скобки в правой части:

$x^8-1 = x^8+x^7$

Вычтем $x^8$ из обеих частей:

$-1 = x^7$

Отсюда $x = \sqrt[7]{-1}$, что дает $x=-1$.

Мы получили единственный возможный корень $x=-1$. Однако, как мы установили ранее, он не удовлетворяет исходному уравнению. Этот корень является посторонним, он появился в результате умножения уравнения на множитель $(x+1)$. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

б) $(x+1)(x^2+1)(x^4+1)=x^7$

Это уравнение похоже на предыдущее. Чтобы применить формулу разности квадратов, умножим обе части на $(x-1)$.

Сначала проверим, является ли $x=1$ (корень выражения $x-1=0$) решением. Подставим $x=1$ в исходное уравнение:

$(1+1)(1^2+1)(1^4+1) = 1^7$

$(2)(1+1)(1+1) = 1$

$(2)(2)(2) = 1$

$8 = 1$

Равенство неверное, значит $x=1$ не является корнем. Теперь мы можем умножить обе части уравнения на $(x-1)$, зная, что $x-1 \neq 0$.

$(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1) = x^7(x-1)$

Применяем формулу разности квадратов к левой части:

$(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1) = x^7(x-1)$

$(x^4-1)(x^4+1) = x^7(x-1)$

$x^8-1 = x^7(x-1)$

Раскроем скобки в правой части:

$x^8-1 = x^8-x^7$

Вычтем $x^8$ из обеих частей:

$-1 = -x^7$

$x^7 = 1$

Отсюда $x = \sqrt[7]{1}$, что дает $x=1$.

Мы получили единственный возможный корень $x=1$. Но, как было проверено, он не является решением исходного уравнения. Этот корень является посторонним, так как был внесен умножением на $(x-1)$. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

10.18* a) $ \frac{|x-2|-|x|}{|2x-1|+|x|} = \frac{|2x-1|-|x|}{|x-2|+|x|} $;

б) $ \frac{|2x-3|-|x|}{|3x-2|+|x|} = \frac{|3x-2|-|x|}{|2x-3|+|x|} $;

В) $ \frac{\sqrt{3x+5}-\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{3x+5}+\sqrt{x}} $;

Г) $ \frac{\sqrt{2x+4}-\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x}}{\sqrt{2x+4}+\sqrt{x}} $.

а)

Исходное уравнение: $ \frac{|x-2|-|x|}{|2x-1|+|x|} = \frac{|2x-1|-|x|}{|x-2|+|x|} $.

Это уравнение является пропорцией. Воспользуемся свойством пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies ad = bc$.

$ (|x-2|-|x|)(|x-2|+|x|) = (|2x-1|-|x|)(|2x-1|+|x|) $

Применим формулу разности квадратов $(u-v)(u+v) = u^2-v^2$ к обеим частям уравнения:

$ |x-2|^2 - |x|^2 = |2x-1|^2 - |x|^2 $

Прибавим к обеим частям $|x|^2$:

$ |x-2|^2 = |2x-1|^2 $

Так как $|a|^2 = a^2$, уравнение принимает вид:

$ (x-2)^2 = (2x-1)^2 $

Это равенство возможно в двух случаях: $a^2=b^2 \iff a=b$ или $a=-b$.

1) $ x-2 = 2x-1 $

$ -x = 1 $

$ x = -1 $

2) $ x-2 = -(2x-1) $

$ x-2 = -2x+1 $

$ 3x = 3 $

$ x = 1 $

Проверим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю. Знаменатель $|2x-1|+|x|$ равен нулю только если $|2x-1|=0$ и $|x|=0$ одновременно, что невозможно. Аналогично, знаменатель $|x-2|+|x|$ не равен нулю ни при каких значениях $x$. Следовательно, ОДЗ — все действительные числа. Оба найденных корня входят в ОДЗ.

Ответ: $x = -1; x = 1$.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{|2x-3|-|x|}{|3x-2|+|x|} = \frac{|3x-2|-|x|}{|2x-3|+|x|} $.

Уравнение имеет ту же структуру, что и в пункте а). Используя свойство пропорции и формулу разности квадратов, получаем:

$ |2x-3|^2 - |x|^2 = |3x-2|^2 - |x|^2 $

$ |2x-3|^2 = |3x-2|^2 $

$ (2x-3)^2 = (3x-2)^2 $

Раскрываем это уравнение двумя способами:

1) $ 2x-3 = 3x-2 $

$ -x = 1 $

$ x = -1 $

2) $ 2x-3 = -(3x-2) $

$ 2x-3 = -3x+2 $

$ 5x = 5 $

$ x = 1 $

ОДЗ: знаменатели $|3x-2|+|x|$ и $|2x-3|+|x|$ не равны нулю ни при каких значениях $x$, так как являются суммой неотрицательных чисел, которые не могут одновременно быть нулями. ОДЗ — все действительные числа. Оба корня являются решениями.

Ответ: $x = -1; x = 1$.

в)

Исходное уравнение: $ \frac{\sqrt{3x+5}-\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{3x+5}+\sqrt{x}} $.

Аналогично предыдущим пунктам, по свойству пропорции и формуле разности квадратов получаем:

$ (\sqrt{3x+5})^2 - (\sqrt{x})^2 = (\sqrt{x^2+1})^2 - (\sqrt{x})^2 $

$ 3x+5 - x = x^2+1 - x $

Упростим уравнение:

$ 3x+5 = x^2+1 $

$ x^2 - 3x - 4 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Теперь проверим ОДЗ. Выражения под корнем должны быть неотрицательными:

1) $ 3x+5 \ge 0 \implies x \ge -5/3 $

2) $ x \ge 0 $

3) $ x^2+1 \ge 0 $ (верно для всех $x$)

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.

Знаменатели $\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}$ и $\sqrt{3x+5}+\sqrt{x}$ равны нулю только если оба слагаемых равны нулю одновременно, что невозможно в области ОДЗ.

Проверим найденные корни:

$x_1 = 4$. $4 \ge 0$, корень подходит.

$x_2 = -1$. $-1 < 0$, корень не входит в ОДЗ и является посторонним.

Ответ: $x = 4$.

г)

Исходное уравнение: $ \frac{\sqrt{2x+4}-\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x}}{\sqrt{2x+4}+\sqrt{x}} $.

Структура уравнения такая же. Применяя свойство пропорции и разность квадратов, имеем:

$ (\sqrt{2x+4})^2 - (\sqrt{x})^2 = (\sqrt{x^2+3})^2 - (\sqrt{x})^2 $

$ 2x+4 - x = x^2+3 - x $

$ 2x+4 = x^2+3 $

$ x^2 - 2x - 1 = 0 $

Решим квадратное уравнение по формуле корней:

$ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} $

Получаем два корня: $x_1 = 1 + \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{2}$.

Проверим ОДЗ:

1) $ 2x+4 \ge 0 \implies x \ge -2 $

2) $ x \ge 0 $

3) $ x^2+3 \ge 0 $ (верно для всех $x$)

Общая ОДЗ: $x \ge 0$.

Проверим корни:

$x_1 = 1 + \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} > 0$, то $1+\sqrt{2} > 0$. Этот корень подходит.

$x_2 = 1 - \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $1 - \sqrt{2} < 0$. Этот корень не входит в ОДЗ.

Ответ: $x = 1+\sqrt{2}$.

10.19* a) $\frac{2 \sin x}{\sqrt{-x^2 + 4x - 3}} = \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 4x - 3}}$

б) $\frac{2 \sin x}{\sqrt{3 - 2x - x^2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3 - 2x - x^2}}$

в) $\frac{2 \cos x}{\sqrt{\pi^2 - 4x^2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi^2 - 4x^2}}$

г) $\frac{2 \cos x}{\sqrt{\pi^2 - x^2}} = \frac{-1}{\sqrt{\pi^2 - x^2}}$

а)

Исходное уравнение: $ \frac{2 \sin x}{\sqrt{-x^2 + 4x - 3}} = \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 4x - 3}} $.

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:
$ -x^2 + 4x - 3 > 0 $
Умножим неравенство на -1 и сменим знак:
$ x^2 - 4x + 3 < 0 $
Найдем корни квадратного уравнения $ x^2 - 4x + 3 = 0 $. По теореме Виета корни равны $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 3 $.
Парабола $ y = x^2 - 4x + 3 $ имеет ветви, направленные вверх, следовательно, неравенство выполняется между корнями.
ОДЗ: $ x \in (1, 3) $.

Так как знаменатели в обеих частях уравнения одинаковы и не равны нулю в ОДЗ, мы можем приравнять числители:
$ 2 \sin x = 1 $
$ \sin x = \frac{1}{2} $

Общее решение этого тригонометрического уравнения:
$ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Теперь выберем корни, принадлежащие интервалу $ (1, 3) $. Примем $ \pi \approx 3.14 $.
При $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14}{6} \approx 0.52 $. Этот корень не входит в ОДЗ.
При $ n = 1 $: $ x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \approx \frac{5 \cdot 3.14}{6} \approx 2.62 $. Этот корень входит в ОДЗ.
При $ n = 2 $: $ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} $. Этот корень очевидно больше 3 и не входит в ОДЗ.
Единственный корень, удовлетворяющий ОДЗ, это $ x = \frac{5\pi}{6} $.

Ответ: $ x = \frac{5\pi}{6} $.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{2 \sin x}{\sqrt{3 - 2x - x^2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3 - 2x - x^2}} $.

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть строго положительным:
$ 3 - 2x - x^2 > 0 $
$ x^2 + 2x - 3 < 0 $
Корни уравнения $ x^2 + 2x - 3 = 0 $ равны $ x_1 = -3 $ и $ x_2 = 1 $.
Парабола $ y = x^2 + 2x - 3 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями.
ОДЗ: $ x \in (-3, 1) $.

Приравниваем числители:
$ 2 \sin x = \sqrt{2} $
$ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Общее решение:
$ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Проверим, какие корни попадают в интервал $ (-3, 1) $. Используем $ \pi \approx 3.14 $.
При $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14}{4} \approx 0.785 $. Этот корень входит в ОДЗ.
При $ n = 1 $: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} \approx 2.355 $. Этот корень не входит в ОДЗ.
При $ n = -1 $: $ x = -\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4} \approx -3.925 $. Этот корень не входит в ОДЗ.
Единственный подходящий корень $ x = \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} $.

в)

Исходное уравнение: $ \frac{2 \cos x}{\sqrt{\pi^2 - 4x^2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi^2 - 4x^2}} $.

Найдем ОДЗ:
$ \pi^2 - 4x^2 > 0 $
$ 4x^2 < \pi^2 $
$ x^2 < \frac{\pi^2}{4} $
$ |x| < \frac{\pi}{2} $
ОДЗ: $ x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.

Приравниваем числители:
$ 2 \cos x = \sqrt{2} $
$ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Общее решение:
$ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Выберем корни из интервала $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
При $ n = 0 $:
$ x = \frac{\pi}{4} $. Входит в ОДЗ, так как $ -\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} $.
$ x = -\frac{\pi}{4} $. Входит в ОДЗ, так как $ -\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} $.
При других целых значениях $ n $ корни выходят за пределы интервала.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{4} $.

г)

Исходное уравнение: $ \frac{2 \cos x}{\sqrt{\pi^2 - x^2}} = \frac{-1}{\sqrt{\pi^2 - x^2}} $.

Найдем ОДЗ:
$ \pi^2 - x^2 > 0 $
$ x^2 < \pi^2 $
$ |x| < \pi $
ОДЗ: $ x \in (-\pi, \pi) $.

Приравниваем числители:
$ 2 \cos x = -1 $
$ \cos x = -\frac{1}{2} $

Общее решение:
$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Выберем корни из интервала $ (-\pi, \pi) $.
При $ n = 0 $:
$ x = \frac{2\pi}{3} $. Входит в ОДЗ, так как $ -\pi < \frac{2\pi}{3} < \pi $.
$ x = -\frac{2\pi}{3} $. Входит в ОДЗ, так как $ -\pi < -\frac{2\pi}{3} < \pi $.
При других целых значениях $ n $ корни выходят за пределы интервала.

Ответ: $ x = \pm \frac{2\pi}{3} $.

10.20* a) $27 \cdot 7^{x+3} = 147^x;$

Б) $6^x \cdot 5^{x-2} = 9 \cdot 2^x;$

В) $5^{x+1} - 4 \cdot 6^x = 6^{x-1} - 5^x;$

Г) $5^{2x-1} + 2^{2x} = 25^x - 4^{x+1};$

Д) $\frac{2^{x+1} + 2 \cdot 3^x}{2^x} = \frac{3 \cdot 2^x + 3^{x+1}}{3^x};$

е) $\frac{2^{x+2} + 4 \cdot 6^x}{4^x} = \frac{2^x + 6^x}{2^x}.$

а) $27 \cdot 7^{x+3} = 147^x$

Разложим числа 27 и 147 на простые множители: $27 = 3^3$, $147 = 3 \cdot 49 = 3 \cdot 7^2$.
Подставим эти значения в исходное уравнение:
$3^3 \cdot 7^{x+3} = (3 \cdot 7^2)^x$
Применим свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $a^{m+n} = a^m a^n$:
$3^3 \cdot 7^x \cdot 7^3 = 3^x \cdot (7^2)^x$
$3^3 \cdot 7^x \cdot 7^3 = 3^x \cdot 7^{2x}$
Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями. Для этого разделим обе части уравнения на $3^x$ и на $7^{x+3}$ (эти выражения не равны нулю):
$\frac{3^3}{3^x} = \frac{7^{2x}}{7^{x+3}}$
Используем свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$3^{3-x} = 7^{2x - (x+3)}$
$3^{3-x} = 7^{x-3}$
Перепишем правую часть, используя тождество $x-3 = -(3-x)$ и свойство $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$:
$3^{3-x} = 7^{-(3-x)}$
$3^{3-x} = (\frac{1}{7})^{3-x}$
Так как основания степеней $3$ и $\frac{1}{7}$ не равны, равенство возможно только в том случае, если показатель степени равен нулю:
$3-x = 0$
$x=3$

Ответ: $x=3$.

б) $6^x \cdot 5^{x-2} = 9 \cdot 2^x$

Представим основания 6 и число 9 в виде произведения простых множителей: $6 = 2 \cdot 3$, $9 = 3^2$.
$(2 \cdot 3)^x \cdot 5^{x-2} = 3^2 \cdot 2^x$
$2^x \cdot 3^x \cdot 5^x \cdot 5^{-2} = 3^2 \cdot 2^x$
Так как $2^x > 0$ для любого $x$, разделим обе части на $2^x$:
$3^x \cdot 5^x \cdot \frac{1}{25} = 9$
Сгруппируем члены с одинаковым показателем степени, используя свойство $a^n b^n = (ab)^n$:
$(3 \cdot 5)^x \cdot \frac{1}{25} = 9$
$15^x = 9 \cdot 25$
$15^x = 225$
Так как $225 = 15^2$, получаем:
$15^x = 15^2$
$x=2$

Ответ: $x=2$.

в) $5^{x+1} - 4 \cdot 6^x = 6^{x-1} - 5^x$

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения:
$5^{x+1} + 5^x = 6^{x-1} + 4 \cdot 6^x$
Вынесем общий множитель за скобки в каждой части:
$5^x \cdot 5^1 + 5^x = 6^x \cdot 6^{-1} + 4 \cdot 6^x$
$5^x(5+1) = 6^x(\frac{1}{6} + 4)$
$6 \cdot 5^x = 6^x(\frac{1+24}{6})$
$6 \cdot 5^x = \frac{25}{6} \cdot 6^x$
Разделим обе части на $6^x$ (не равно нулю) и на 6:
$\frac{5^x}{6^x} = \frac{25}{6 \cdot 6}$
$(\frac{5}{6})^x = \frac{25}{36}$
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{5}{6}$:
$(\frac{5}{6})^x = (\frac{5}{6})^2$
Приравниваем показатели степеней:
$x=2$

Ответ: $x=2$.

г) $5^{2x-1} + 2^{2x} = 25^x - 4^{x+1}$

Приведем все степени к основаниям 2 и 5: $25^x = (5^2)^x = 5^{2x}$, $4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2(x+1)} = 2^{2x+2}$.
Подставим в уравнение:
$5^{2x-1} + 2^{2x} = 5^{2x} - 2^{2x+2}$
Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями:
$2^{2x} + 2^{2x+2} = 5^{2x} - 5^{2x-1}$
Вынесем общие множители за скобки:
$2^{2x}(1 + 2^2) = 5^{2x}(1 - 5^{-1})$
$2^{2x}(1+4) = 5^{2x}(1 - \frac{1}{5})$
$5 \cdot 2^{2x} = 5^{2x} \cdot \frac{4}{5}$
Разделим обе части, чтобы сгруппировать степени и числа:
$\frac{5}{4/5} = \frac{5^{2x}}{2^{2x}}$
$\frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^{2x}$
Представим левую часть в виде степени с основанием $\frac{5}{2}$:
$(\frac{5}{2})^2 = (\frac{5}{2})^{2x}$
Приравниваем показатели:
$2 = 2x$
$x=1$

Ответ: $x=1$.

д) $\frac{2^{x+1} + 2 \cdot 3^x}{2^x} = \frac{3 \cdot 2^x + 3^{x+1}}{3^x}$

Разделим почленно числитель каждой дроби на ее знаменатель:
$\frac{2^{x+1}}{2^x} + \frac{2 \cdot 3^x}{2^x} = \frac{3 \cdot 2^x}{3^x} + \frac{3^{x+1}}{3^x}$
$2^{x+1-x} + 2 \cdot (\frac{3}{2})^x = 3 \cdot (\frac{2}{3})^x + 3^{x+1-x}$
$2 + 2 \cdot (\frac{3}{2})^x = 3 \cdot (\frac{2}{3})^x + 3$
Сделаем замену. Пусть $t = (\frac{3}{2})^x$. Тогда $(\frac{2}{3})^x = t^{-1} = \frac{1}{t}$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.
$2 + 2t = 3 \cdot \frac{1}{t} + 3$
Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:
$2t + 2t^2 = 3 + 3t$
Перенесем все члены в одну часть и получим квадратное уравнение:
$2t^2 - t - 3 = 0$
Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25$.
$t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{4} = \frac{1+5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$t_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{4} = \frac{1-5}{4} = -1$
Так как $t>0$, корень $t_2=-1$ является посторонним.
Вернемся к замене:
$(\frac{3}{2})^x = t = \frac{3}{2}$
$(\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^1$
$x=1$

Ответ: $x=1$.

е) $\frac{2^{x+2} + 4 \cdot 6^x}{4^x} = \frac{2^x + 6^x}{2^x}$

Упростим обе части уравнения. В левой части представим $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ и $6^x = 2^x \cdot 3^x$. В правой части разделим почленно.
Левая часть: $\frac{2^{x+2} + 4 \cdot 2^x \cdot 3^x}{2^{2x}} = \frac{2^x \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^x \cdot 3^x}{2^{2x}} = \frac{4 \cdot 2^x (1+3^x)}{2^{2x}} = \frac{4(1+3^x)}{2^x}$.
Правая часть: $\frac{2^x}{2^x} + \frac{6^x}{2^x} = 1 + (\frac{6}{2})^x = 1+3^x$.
Приравняем упрощенные части:
$\frac{4(1+3^x)}{2^x} = 1+3^x$
Поскольку $3^x > 0$, то $1+3^x > 1$, значит, мы можем разделить обе части уравнения на $(1+3^x)$:
$\frac{4}{2^x} = 1$
$4 = 2^x$
$2^2 = 2^x$
$x=2$

Ответ: $x=2$.

10.21 a) $3 \cos x + 4 \sin x = 0;$

Б) $2 \sin x - \cos x = 0;$

В) $2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + \cos^2 x = 0;$

Г) $3 \sin^2 x - 5 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x = 0.$

Дано уравнение $3 \cos x + 4 \sin x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени вида $a \cos x + b \sin x = 0$. Для его решения разделим обе части уравнения на $\cos x$. Это действие является корректным, так как если предположить, что $\cos x = 0$, то из исходного уравнения следует, что $4 \sin x = 0$, а значит, и $\sin x = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут одновременно равняться нулю, поскольку это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{3 \cos x}{\cos x} + \frac{4 \sin x}{\cos x} = \frac{0}{\cos x}$

$3 + 4 \tan x = 0$

Перенесем 3 в правую часть:

$4 \tan x = -3$

$\tan x = -\frac{3}{4}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \arctan(-\frac{3}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство нечетности арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, ответ можно записать в виде:

$x = -\arctan(\frac{3}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan(\frac{3}{4}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Дано уравнение $2 \sin x - \cos x = 0$.

Это также однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Как и в предыдущем случае, $\cos x \neq 0$, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$.

$\frac{2 \sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\cos x} = \frac{0}{\cos x}$

$2 \tan x - 1 = 0$

$2 \tan x = 1$

$\tan x = \frac{1}{2}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Дано уравнение $2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + \cos^2 x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени вида $a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = 0$. Проверим, может ли $\cos x$ быть равным нулю. Если $\cos x = 0$, уравнение принимает вид $2 \sin^2 x - 0 + 0 = 0$, откуда $\sin x = 0$. Это невозможно, поэтому $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$.

$\frac{2 \sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{3 \sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$2 \tan^2 x - 3 \tan x + 1 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $t = \tan x$. Тогда уравнение становится квадратным относительно $t$:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

1) $\tan x = t_1 = 1 \implies x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = t_2 = \frac{1}{2} \implies x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Дано уравнение $3 \sin^2 x - 5 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x = 0$.

Это также однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Аналогично предыдущему пункту, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$.

$\frac{3 \sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{5 \sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{2 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$3 \tan^2 x - 5 \tan x + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$:

$3t^2 - 5t + 2 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Вернемся к замене:

1) $\tan x = t_1 = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = t_2 = \frac{2}{3} \implies x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

10.22 a) $4 \cos x \cos 2x = 1;$

B) $8 \cos x \cos 2x \cos 4x = 1;$

б) $4 \cos x \cos 2x = -1;$

Г) $8 \cos x \cos 2x \cos 4x = -1.$

а) $4 \cos x \cos 2x = 1$

Воспользуемся формулой произведения косинусов $2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)$.

$2 \cdot (2 \cos 2x \cos x) = 1$

$2 (\cos(2x - x) + \cos(2x + x)) = 1$

$2 (\cos x + \cos 3x) = 1$

Применим формулу косинуса тройного угла $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$.

$2 \cos x + 2 (4 \cos^3 x - 3 \cos x) = 1$

$2 \cos x + 8 \cos^3 x - 6 \cos x = 1$

$8 \cos^3 x - 4 \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$8t^3 - 4t - 1 = 0$

Подбором находим один из корней: $t_1 = -1/2$, так как $8(-1/8) - 4(-1/2) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$.

Разделив многочлен $8t^3 - 4t - 1$ на $2t + 1$, получим $4t^2 - 2t - 1$.

Таким образом, уравнение принимает вид $(2t + 1)(4t^2 - 2t - 1) = 0$.

Решаем два уравнения:

1) $2t + 1 = 0 \Rightarrow t_1 = -1/2$.

2) $4t^2 - 2t - 1 = 0$. Найдем корни через дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 20$.

$t_{2,3} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $\cos x = -1/2 \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$. Это табличное значение для $\cos(\pi/5)$.

$x = \pm \frac{\pi}{5} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos x = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$. Это табличное значение для $\cos(3\pi/5)$.

$x = \pm \frac{3\pi}{5} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k; x = \pm \frac{\pi}{5} + 2\pi k; x = \pm \frac{3\pi}{5} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $4 \cos x \cos 2x = -1$

Преобразования аналогичны пункту а):

$2(\cos x + \cos 3x) = -1$

$2 \cos x + 2(4 \cos^3 x - 3 \cos x) = -1$

$8 \cos^3 x - 4 \cos x + 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$.

$8t^3 - 4t + 1 = 0$

Подбором находим корень $t_1 = 1/2$. Разделив многочлен на $2t - 1$, получим $4t^2 + 2t - 1$.

Уравнение принимает вид $(2t - 1)(4t^2 + 2t - 1) = 0$.

1) $2t - 1 = 0 \Rightarrow t_1 = 1/2$.

2) $4t^2 + 2t - 1 = 0$. $D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 20$.

$t_{2,3} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $\cos x = 1/2 \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$. Это значение $\cos(2\pi/5)$.

$x = \pm \frac{2\pi}{5} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{4}$. Это значение $\cos(4\pi/5)$.

$x = \pm \frac{4\pi}{5} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k; x = \pm \frac{2\pi}{5} + 2\pi k; x = \pm \frac{4\pi}{5} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $8 \cos x \cos 2x \cos 4x = 1$

Проверим, может ли $\sin x$ быть равным нулю. Если $\sin x = 0$, то $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Тогда $\cos x = (-1)^n$, $\cos 2x = 1$, $\cos 4x = 1$. Уравнение примет вид $8(-1)^n = 1$, что не имеет решений. Следовательно, $\sin x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $\sin x$:

$8 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x = \sin x$

$4 (2 \sin x \cos x) \cos 2x \cos 4x = \sin x$

$4 \sin 2x \cos 2x \cos 4x = \sin x$

$2 (2 \sin 2x \cos 2x) \cos 4x = \sin x$

$2 \sin 4x \cos 4x = \sin x$

$\sin 8x = \sin x$

Это уравнение равносильно двум сериям решений:

1) $8x = x + 2\pi k \implies 7x = 2\pi k \implies x = \frac{2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $8x = \pi - x + 2\pi k \implies 9x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi + 2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$.

Так как мы умножали на $\sin x$, нужно исключить корни, для которых $\sin x=0$, то есть $x = \pi m$.

Для первой серии: $\frac{2\pi k}{7} = \pi m \implies 2k=7m$. Так как 2 и 7 взаимно просты, $k$ должно быть кратно 7. Исключаем $k=7m$.

Для второй серии: $\frac{\pi(1+2k)}{9} = \pi m \implies 1+2k=9m \implies 2k \equiv -1 \pmod 9 \implies k \equiv 4 \pmod 9$. Исключаем $k=9m+4$.

Итоговые решения:

$x = \frac{2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}, k \not\equiv 0 \pmod 7 \implies x = \pm \frac{2\pi}{7} + 2\pi n; x = \pm \frac{4\pi}{7} + 2\pi n; x = \pm \frac{6\pi}{7} + 2\pi n$.

$x = \frac{\pi + 2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}, k \not\equiv 4 \pmod 9 \implies x = \pm \frac{\pi}{9} + 2\pi n; x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n; x = \pm \frac{5\pi}{9} + 2\pi n; x = \pm \frac{7\pi}{9} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{7} + 2\pi k; x = \pm \frac{4\pi}{7} + 2\pi k; x = \pm \frac{6\pi}{7} + 2\pi k; x = \pm \frac{\pi}{9} + 2\pi k; x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k; x = \pm \frac{5\pi}{9} + 2\pi k; x = \pm \frac{7\pi}{9} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) $8 \cos x \cos 2x \cos 4x = -1$

Как и в предыдущем пункте, $\sin x \neq 0$. Умножим обе части на $\sin x$:

$8 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x = -\sin x$

$\sin 8x = -\sin x$

$\sin 8x = \sin(-x)$

Это уравнение равносильно двум сериям решений:

1) $8x = -x + 2\pi k \implies 9x = 2\pi k \implies x = \frac{2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $8x = \pi - (-x) + 2\pi k \implies 7x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi + 2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$.

Исключаем корни, для которых $\sin x=0$.

Для первой серии: $\frac{2\pi k}{9} = \pi m \implies 2k=9m \implies k$ кратно 9. Исключаем $k=9m$.

Для второй серии: $\frac{\pi(1+2k)}{7} = \pi m \implies 1+2k=7m \implies 2k \equiv -1 \pmod 7 \implies k \equiv 3 \pmod 7$. Исключаем $k=7m+3$.

Итоговые решения:

$x = \frac{2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}, k \not\equiv 0 \pmod 9 \implies x = \pm \frac{2\pi}{9} + 2\pi n; x = \pm \frac{4\pi}{9} + 2\pi n; x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n; x = \pm \frac{8\pi}{9} + 2\pi n$.

$x = \frac{\pi + 2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}, k \not\equiv 3 \pmod 7 \implies x = \pm \frac{\pi}{7} + 2\pi n; x = \pm \frac{3\pi}{7} + 2\pi n; x = \pm \frac{5\pi}{7} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{7} + 2\pi k; x = \pm \frac{3\pi}{7} + 2\pi k; x = \pm \frac{5\pi}{7} + 2\pi k; x = \pm \frac{2\pi}{9} + 2\pi k; x = \pm \frac{4\pi}{9} + 2\pi k; x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k; x = \pm \frac{8\pi}{9} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.