Страница 270 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

10.9* a) $\sqrt{2 - 2\sin^2 \frac{x}{2}} = 1$;

б) $\sqrt{2\cos 3x + 2} = 1.$

а) Исходное уравнение: $\sqrt{2 - 2\sin\frac{x}{2}} = 1$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$2 - 2\sin\frac{x}{2} \ge 0$

$2 \ge 2\sin\frac{x}{2}$

$1 \ge \sin\frac{x}{2}$

Это неравенство справедливо для любого действительного значения $x$, поскольку область значений синуса от -1 до 1. Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Теперь решим уравнение. Возведем обе части в квадрат, так как обе части неотрицательны:

$(\sqrt{2 - 2\sin\frac{x}{2}})^2 = 1^2$

$2 - 2\sin\frac{x}{2} = 1$

Выразим $\sin\frac{x}{2}$:

$-2\sin\frac{x}{2} = 1 - 2$

$-2\sin\frac{x}{2} = -1$

$\sin\frac{x}{2} = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решения имеют вид:

$\frac{x}{2} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{2\cos3x + 2} = 1$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем не может быть отрицательным:

$2\cos3x + 2 \ge 0$

$2\cos3x \ge -2$

$\cos3x \ge -1$

Это неравенство верно для любого действительного $x$, так как область значений косинуса $[-1; 1]$. Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2\cos3x + 2})^2 = 1^2$

$2\cos3x + 2 = 1$

Выразим $\cos3x$:

$2\cos3x = 1 - 2$

$2\cos3x = -1$

$\cos3x = -\frac{1}{2}$

Решим полученное тригонометрическое уравнение:

$3x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Поскольку $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, имеем:

$3x = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$3x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

10.10* a) $ \frac{1 + \cos x}{\sqrt{1 - \cos x}} = |\sin x|; $

$ \frac{1 - \sin x}{\sqrt{1 + \sin x}} = |\cos x|; $

$ \frac{1 - \cos x}{\sqrt{1 - \cos x}} = |\sin x|; $

$ \frac{1 + \sin x}{\sqrt{1 + \sin x}} = |\cos x|. $

а) Решим уравнение $ \frac{1+\cos x}{\sqrt{1-\cos x}} = |\sin x| $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием подкоренного выражения в знаменателе: $ 1 - \cos x > 0 $, что означает $ \cos x < 1 $. Это условие выполняется для всех $ x $, кроме $ x = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Правая часть уравнения $ |\sin x| $ неотрицательна. Левая часть также должна быть неотрицательной. Знаменатель $ \sqrt{1-\cos x} $ положителен в ОДЗ, а числитель $ 1+\cos x \ge 0 $ для всех $ x $. Следовательно, обе части уравнения неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат: $ \frac{(1+\cos x)^2}{1-\cos x} = (|\sin x|)^2 $
$ \frac{(1+\cos x)^2}{1-\cos x} = \sin^2 x $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = (1-\cos x)(1+\cos x) $, получаем: $ \frac{(1+\cos x)^2}{1-\cos x} = (1-\cos x)(1+\cos x) $
Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель $ (1+\cos x) $: $ (1+\cos x) \left( \frac{1+\cos x}{1-\cos x} - (1-\cos x) \right) = 0 $
Это равенство выполняется в двух случаях:
1) $ 1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1 $. Отсюда $ x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти значения входят в ОДЗ.
2) $ \frac{1+\cos x}{1-\cos x} - (1-\cos x) = 0 $
$ 1+\cos x = (1-\cos x)^2 $
$ 1+\cos x = 1 - 2\cos x + \cos^2 x $
$ \cos^2 x - 3\cos x = 0 $
$ \cos x (\cos x - 3) = 0 $
Так как $ \cos x \neq 3 $, то $ \cos x = 0 $. Отсюда $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти значения также входят в ОДЗ.
Объединяя решения, получаем ответ.
Ответ: $ x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Решим уравнение $ \frac{1-\sin x}{\sqrt{1+\sin x}} = |\cos x| $.
ОДЗ: $ 1 + \sin x > 0 \implies \sin x > -1 $. Это условие выполняется для всех $ x $, кроме $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Обе части уравнения неотрицательны (числитель $ 1-\sin x \ge 0 $ для всех $x$), поэтому можно возвести их в квадрат: $ \frac{(1-\sin x)^2}{1+\sin x} = \cos^2 x $
Используя тождество $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = (1-\sin x)(1+\sin x) $, получаем: $ \frac{(1-\sin x)^2}{1+\sin x} = (1-\sin x)(1+\sin x) $
Равенство выполняется в двух случаях:
1) $ 1 - \sin x = 0 \implies \sin x = 1 $. Отсюда $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти значения входят в ОДЗ.
2) Если $ 1 - \sin x \neq 0 $, можно разделить на него обе части: $ \frac{1-\sin x}{1+\sin x} = 1+\sin x $
$ 1-\sin x = (1+\sin x)^2 $
$ 1-\sin x = 1 + 2\sin x + \sin^2 x $
$ \sin^2 x + 3\sin x = 0 $
$ \sin x (\sin x + 3) = 0 $
Так как $ \sin x \neq -3 $, то $ \sin x = 0 $. Отсюда $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти значения также входят в ОДЗ.
Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в) Решим уравнение $ \sqrt{1-\cos x} = |\sin x| $.
ОДЗ: $ 1 - \cos x \ge 0 $, что верно для любого $ x \in \mathbb{R} $, так как $ \cos x \le 1 $.
Обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат: $ (\sqrt{1-\cos x})^2 = (|\sin x|)^2 $
$ 1 - \cos x = \sin^2 x $
Используем тождество $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $: $ 1 - \cos x = 1 - \cos^2 x $
$ \cos^2 x - \cos x = 0 $
$ \cos x (\cos x - 1) = 0 $
Получаем два случая:
1) $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
2) $ \cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1 \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г) Решим уравнение $ \sqrt{1+\sin x} = |\cos x| $.
ОДЗ: $ 1 + \sin x \ge 0 $, что верно для любого $ x \in \mathbb{R} $, так как $ \sin x \ge -1 $.
Обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат: $ (\sqrt{1+\sin x})^2 = (|\cos x|)^2 $
$ 1 + \sin x = \cos^2 x $
Используем тождество $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $: $ 1 + \sin x = 1 - \sin^2 x $
$ \sin^2 x + \sin x = 0 $
$ \sin x (\sin x + 1) = 0 $
Получаем два случая:
1) $ \sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
2) $ \sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

10.11 a) $\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-5}\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+5} = \sqrt{6};$

В) $\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}-5}\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+5} = \sqrt{2};$

б) $\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2} = \sqrt{5};$

Г) $\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2} = \sqrt{8}.$

а)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x-4}\sqrt{x+4} = \sqrt{6} $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:

$ x-4 \ge 0 \implies x \ge 4 $

$ x+4 \ge 0 \implies x \ge -4 $

Общей областью, удовлетворяющей обоим условиям, является $ x \ge 4 $.

Теперь приступим к решению уравнения. Используем свойство произведения корней $ \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} $:

$ \sqrt{(x-4)(x+4)} = \sqrt{6} $

В левой части под корнем находится произведение разности и суммы, которое равно разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:

$ \sqrt{x^2 - 4^2} = \sqrt{6} $

$ \sqrt{x^2 - 16} = \sqrt{6} $

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знаков корня:

$ (\sqrt{x^2 - 16})^2 = (\sqrt{6})^2 $

$ x^2 - 16 = 6 $

Решим полученное квадратное уравнение:

$ x^2 = 6 + 16 $

$ x^2 = 22 $

$ x = \pm\sqrt{22} $

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($ x \ge 4 $).
Корень $ x = -\sqrt{22} $ является отрицательным числом, следовательно, не удовлетворяет ОДЗ.
Сравним корень $ x = \sqrt{22} $ с числом 4. Так как $ (\sqrt{22})^2 = 22 $ и $ 4^2 = 16 $, а $ 22 > 16 $, то $ \sqrt{22} > 4 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ \sqrt{22} $.

б)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x-3}\sqrt{x+3} = \sqrt{5} $.

ОДЗ: $ x-3 \ge 0 \implies x \ge 3 $ и $ x+3 \ge 0 \implies x \ge -3 $. Общая область: $ x \ge 3 $.

Решаем уравнение, используя свойство произведения корней и формулу разности квадратов:

$ \sqrt{(x-3)(x+3)} = \sqrt{5} $

$ \sqrt{x^2 - 3^2} = \sqrt{5} $

$ \sqrt{x^2 - 9} = \sqrt{5} $

Возводим обе части в квадрат:

$ x^2 - 9 = 5 $

$ x^2 = 5 + 9 $

$ x^2 = 14 $

$ x = \pm\sqrt{14} $

Проверяем корни по ОДЗ ($ x \ge 3 $).
Корень $ x = -\sqrt{14} $ не подходит.
Корень $ x = \sqrt{14} $: так как $ (\sqrt{14})^2 = 14 $, а $ 3^2 = 9 $, и $ 14 > 9 $, то $ \sqrt{14} > 3 $. Корень подходит.

Ответ: $ \sqrt{14} $.

в)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x-5}\sqrt{x+5} = \sqrt{2} $.

ОДЗ: $ x-5 \ge 0 \implies x \ge 5 $ и $ x+5 \ge 0 \implies x \ge -5 $. Общая область: $ x \ge 5 $.

Решаем уравнение:

$ \sqrt{(x-5)(x+5)} = \sqrt{2} $

$ \sqrt{x^2 - 5^2} = \sqrt{2} $

$ \sqrt{x^2 - 25} = \sqrt{2} $

Возводим обе части в квадрат:

$ x^2 - 25 = 2 $

$ x^2 = 2 + 25 $

$ x^2 = 27 $

$ x = \pm\sqrt{27} = \pm\sqrt{9 \cdot 3} = \pm3\sqrt{3} $.

Проверяем корни по ОДЗ ($ x \ge 5 $).
Корень $ x = -3\sqrt{3} $ не подходит.
Корень $ x = 3\sqrt{3} $: так как $ (3\sqrt{3})^2 = 27 $, а $ 5^2 = 25 $, и $ 27 > 25 $, то $ 3\sqrt{3} > 5 $. Корень подходит.

Ответ: $ 3\sqrt{3} $.

г)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x-2}\sqrt{x+2} = \sqrt{8} $.

ОДЗ: $ x-2 \ge 0 \implies x \ge 2 $ и $ x+2 \ge 0 \implies x \ge -2 $. Общая область: $ x \ge 2 $.

Решаем уравнение:

$ \sqrt{(x-2)(x+2)} = \sqrt{8} $

$ \sqrt{x^2 - 2^2} = \sqrt{8} $

$ \sqrt{x^2 - 4} = \sqrt{8} $

Возводим обе части в квадрат:

$ x^2 - 4 = 8 $

$ x^2 = 8 + 4 $

$ x^2 = 12 $

$ x = \pm\sqrt{12} = \pm\sqrt{4 \cdot 3} = \pm2\sqrt{3} $.

Проверяем корни по ОДЗ ($ x \ge 2 $).
Корень $ x = -2\sqrt{3} $ не подходит.
Корень $ x = 2\sqrt{3} $: так как $ (2\sqrt{3})^2 = 12 $, а $ 2^2 = 4 $, и $ 12 > 4 $, то $ 2\sqrt{3} > 2 $. Корень подходит.

Ответ: $ 2\sqrt{3} $.

10.12* а) $\sqrt[3]{x} = \sqrt{x - 4};$

б) $\sqrt[3]{x} = \sqrt{2 - x};$

В) $\sqrt[3]{x + 3} = \sqrt{x - 1};$

Г) $\sqrt[3]{x + 2} = \sqrt{-x}.$

а) $\sqrt[3]{x} = \sqrt{x-4}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x-4 \ge 0$, откуда $x \ge 4$.
Так как правая часть уравнения ($\sqrt{x-4}$) неотрицательна, то и левая часть ($\sqrt[3]{x}$) должна быть неотрицательной: $\sqrt[3]{x} \ge 0$, откуда $x \ge 0$.
Пересекая условия $x \ge 4$ и $x \ge 0$, получаем ОДЗ: $x \ge 4$.

2. Возведем обе части уравнения в шестую степень, чтобы избавиться от корней: $(\sqrt[3]{x})^6 = (\sqrt{x-4})^6$
$x^2 = (x-4)^3$

3. Раскроем скобки в правой части и решим полученное уравнение:
$x^2 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 4 + 3 \cdot x \cdot 4^2 - 4^3$
$x^2 = x^3 - 12x^2 + 48x - 64$
$x^3 - 13x^2 + 48x - 64 = 0$

4. Для решения этого кубического уравнения можно сделать замену в исходном уравнении. Пусть $y = \sqrt[3]{x}$, тогда $x = y^3$. С учетом ОДЗ, $y = \sqrt[3]{x} \ge \sqrt[3]{4}$. Исходное уравнение примет вид:
$y = \sqrt{y^3 - 4}$
Возведем обе части в квадрат:
$y^2 = y^3 - 4$
$y^3 - y^2 - 4 = 0$
Подбором находим целый корень среди делителей числа -4. Проверим $y=2$:
$2^3 - 2^2 - 4 = 8 - 4 - 4 = 0$.
Корень $y=2$ удовлетворяет условию $y \ge \sqrt[3]{4}$ (так как $2=\sqrt[3]{8}$ и $8 > 4$).
Разделим многочлен $y^3 - y^2 - 4$ на $(y-2)$:
$(y-2)(y^2+y+2) = 0$
Квадратное уравнение $y^2+y+2=0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7 < 0$.
Следовательно, единственное действительное решение для $y$ - это $y=2$.

5. Вернемся к переменной $x$:
$\sqrt[3]{x} = 2$
$x = 2^3 = 8$

6. Проверим найденный корень. Он удовлетворяет ОДЗ ($8 \ge 4$).
Подставим в исходное уравнение: $\sqrt[3]{8} = \sqrt{8-4}$, то есть $2 = \sqrt{4}$, $2 = 2$. Равенство верное.

Ответ: 8.

б) $\sqrt[3]{x} = \sqrt{2-x}$

1. Найдем ОДЗ.
Из-за квадратного корня: $2-x \ge 0$, откуда $x \le 2$.
Правая часть $\sqrt{2-x} \ge 0$, значит, и левая часть $\sqrt[3]{x} \ge 0$, откуда $x \ge 0$.
ОДЗ: $0 \le x \le 2$.

2. Возведем обе части уравнения в шестую степень:
$(\sqrt[3]{x})^6 = (\sqrt{2-x})^6$
$x^2 = (2-x)^3$

3. Раскроем скобки и решим уравнение:
$x^2 = 8 - 12x + 6x^2 - x^3$
$x^3 - 5x^2 + 12x - 8 = 0$

4. Найдем корни кубического уравнения. Попробуем целые корни из делителей числа -8. Проверим $x=1$, который входит в ОДЗ.
$1^3 - 5(1)^2 + 12(1) - 8 = 1 - 5 + 12 - 8 = 0$.
Значит, $x=1$ является корнем. Разделим многочлен на $(x-1)$:
$(x-1)(x^2 - 4x + 8) = 0$
Уравнение $x^2 - 4x + 8 = 0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16 < 0$.
Единственный действительный корень - это $x=1$.

5. Проверим корень. $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \le 1 \le 2$).
Подставим в исходное уравнение: $\sqrt[3]{1} = \sqrt{2-1}$, то есть $1 = \sqrt{1}$, $1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: 1.

в) $\sqrt[3]{x+3} = \sqrt{x-1}$

1. Найдем ОДЗ.
Из-за квадратного корня: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.
Правая часть $\sqrt{x-1} \ge 0$, значит, и левая часть $\sqrt[3]{x+3} \ge 0$, откуда $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
ОДЗ: $x \ge 1$.

2. Возведем обе части уравнения в шестую степень:
$(\sqrt[3]{x+3})^6 = (\sqrt{x-1})^6$
$(x+3)^2 = (x-1)^3$

3. Раскроем скобки и решим уравнение:
$x^2 + 6x + 9 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$
$x^3 - 4x^2 - 3x - 10 = 0$

4. Найдем корни кубического уравнения. Попробуем целые корни из делителей числа -10. Проверим $x=5$, который входит в ОДЗ.
$5^3 - 4(5)^2 - 3(5) - 10 = 125 - 100 - 15 - 10 = 0$.
Значит, $x=5$ является корнем. Разделим многочлен на $(x-5)$:
$(x-5)(x^2 + x + 2) = 0$
Уравнение $x^2 + x + 2 = 0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7 < 0$.
Единственный действительный корень - это $x=5$.

5. Проверим корень. $x=5$ удовлетворяет ОДЗ ($5 \ge 1$).
Подставим в исходное уравнение: $\sqrt[3]{5+3} = \sqrt{5-1}$, то есть $\sqrt[3]{8} = \sqrt{4}$, $2 = 2$. Равенство верное.

Ответ: 5.

г) $\sqrt[3]{x+2} = \sqrt{-x}$

1. Найдем ОДЗ.
Из-за квадратного корня: $-x \ge 0$, откуда $x \le 0$.
Правая часть $\sqrt{-x} \ge 0$, значит, и левая часть $\sqrt[3]{x+2} \ge 0$, откуда $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
ОДЗ: $-2 \le x \le 0$.

2. Возведем обе части уравнения в шестую степень:
$(\sqrt[3]{x+2})^6 = (\sqrt{-x})^6$
$(x+2)^2 = (-x)^3$

3. Раскроем скобки и решим уравнение:
$x^2 + 4x + 4 = -x^3$
$x^3 + x^2 + 4x + 4 = 0$

4. Решим кубическое уравнение методом группировки:
$x^2(x+1) + 4(x+1) = 0$
$(x+1)(x^2+4) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
$x+1 = 0 \implies x = -1$
$x^2+4 = 0 \implies x^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней.
Единственный действительный корень - это $x=-1$.

5. Проверим корень. $x=-1$ удовлетворяет ОДЗ ($-2 \le -1 \le 0$).
Подставим в исходное уравнение: $\sqrt[3]{-1+2} = \sqrt{-(-1)}$, то есть $\sqrt[3]{1} = \sqrt{1}$, $1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: -1.

10.13* a) $\sqrt[3]{3 - 2x} = \sqrt{2 - x}$;

б) $\sqrt[3]{5 - 2x} = \sqrt{3 - x}$;

в) $\sqrt[3]{x + 1} = \sqrt{x - 3}$;

г) $\sqrt[3]{2x + 3} = \sqrt{x + 2}$.

а) Дано иррациональное уравнение $\sqrt[3]{3-2x} = \sqrt{2-x}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:
$2-x \ge 0$
$x \le 2$
Возведем обе части уравнения в 6-ю степень, чтобы избавиться от корней:
$(\sqrt[3]{3-2x})^6 = (\sqrt{2-x})^6$
$(3-2x)^2 = (2-x)^3$
Раскроем скобки:
$9 - 12x + 4x^2 = 8 - 12x + 6x^2 - x^3$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$x^3 + 4x^2 - 6x^2 - 12x + 12x + 9 - 8 = 0$
$x^3 - 2x^2 + 1 = 0$
Найдем корни этого кубического уравнения. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (1), то есть $\pm 1$.
При $x=1$: $1^3 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем.
Разделим многочлен $x^3 - 2x^2 + 1$ на $(x-1)$:
$(x^3 - 2x^2 + 1) \div (x-1) = x^2 - x - 1$
Таким образом, уравнение можно записать в виде:
$(x-1)(x^2 - x - 1) = 0$
Отсюда получаем два уравнения:
1) $x-1 = 0 \implies x_1 = 1$
2) $x^2 - x - 1 = 0$. Решим квадратное уравнение:
$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
$x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_3 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \le 2$):
$x_1=1$: $1 \le 2$ (верно).
$x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1+2.236}{2} \approx 1.618$: $1.618 \le 2$ (верно).
$x_3 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1-2.236}{2} \approx -0.618$: $-0.618 \le 2$ (верно).
Все три корня подходят.
Ответ: $1; \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

б) Дано иррациональное уравнение $\sqrt[3]{5-2x} = \sqrt{3-x}$.
ОДЗ: $3-x \ge 0 \implies x \le 3$.
Возведем обе части уравнения в 6-ю степень:
$(\sqrt[3]{5-2x})^6 = (\sqrt{3-x})^6$
$(5-2x)^2 = (3-x)^3$
Раскроем скобки:
$25 - 20x + 4x^2 = 27 - 27x + 9x^2 - x^3$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^3 + 4x^2 - 9x^2 - 20x + 27x + 25 - 27 = 0$
$x^3 - 5x^2 + 7x - 2 = 0$
Найдем целые корни среди делителей свободного члена (-2), то есть $\pm 1, \pm 2$.
При $x=2$: $2^3 - 5(2)^2 + 7(2) - 2 = 8 - 20 + 14 - 2 = 0$. Значит, $x=2$ является корнем.
Разделим многочлен $x^3 - 5x^2 + 7x - 2$ на $(x-2)$:
$(x^3 - 5x^2 + 7x - 2) \div (x-2) = x^2 - 3x + 1$
Уравнение примет вид:
$(x-2)(x^2 - 3x + 1) = 0$
Отсюда:
1) $x-2 = 0 \implies x_1 = 2$
2) $x^2 - 3x + 1 = 0$. Решим квадратное уравнение:
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$, $x_3 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \le 3$):
$x_1=2$: $2 \le 3$ (верно).
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3+2.236}{2} \approx 2.618$: $2.618 \le 3$ (верно).
$x_3 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3-2.236}{2} \approx 0.382$: $0.382 \le 3$ (верно).
Все три корня подходят.
Ответ: $2; \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

в) Дано иррациональное уравнение $\sqrt[3]{x+1} = \sqrt{x-3}$.
ОДЗ: $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.
Возведем обе части уравнения в 6-ю степень:
$(\sqrt[3]{x+1})^6 = (\sqrt{x-3})^6$
$(x+1)^2 = (x-3)^3$
Раскроем скобки:
$x^2 + 2x + 1 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = x^3 - 9x^2 - x^2 + 27x - 2x - 27 - 1$
$x^3 - 10x^2 + 25x - 28 = 0$
Найдем целые корни среди делителей свободного члена (-28), учитывая ОДЗ ($x \ge 3$).
При $x=7$: $7^3 - 10(7)^2 + 25(7) - 28 = 343 - 490 + 175 - 28 = 518 - 518 = 0$. Значит, $x=7$ является корнем.
Разделим многочлен $x^3 - 10x^2 + 25x - 28$ на $(x-7)$:
$(x^3 - 10x^2 + 25x - 28) \div (x-7) = x^2 - 3x + 4$
Уравнение примет вид:
$(x-7)(x^2 - 3x + 4) = 0$
Отсюда:
1) $x-7 = 0 \implies x_1 = 7$
2) $x^2 - 3x + 4 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Проверим единственный корень по ОДЗ ($x \ge 3$):
$x_1=7$: $7 \ge 3$ (верно).
Ответ: $7$.

г) Дано иррациональное уравнение $\sqrt[3]{2x+3} = \sqrt{x+2}$.
ОДЗ: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Возведем обе части уравнения в 6-ю степень:
$(\sqrt[3]{2x+3})^6 = (\sqrt{x+2})^6$
$(2x+3)^2 = (x+2)^3$
Раскроем скобки:
$4x^2 + 12x + 9 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = x^3 + 6x^2 - 4x^2 + 12x - 12x + 8 - 9$
$x^3 + 2x^2 - 1 = 0$
Найдем целые корни среди делителей свободного члена (-1), то есть $\pm 1$.
При $x=-1$: $(-1)^3 + 2(-1)^2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$. Значит, $x=-1$ является корнем.
Разделим многочлен $x^3 + 2x^2 - 1$ на $(x+1)$:
$(x^3 + 2x^2 - 1) \div (x+1) = x^2 + x - 1$
Уравнение примет вид:
$(x+1)(x^2 + x - 1) = 0$
Отсюда:
1) $x+1 = 0 \implies x_1 = -1$
2) $x^2 + x - 1 = 0$. Решим квадратное уравнение:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_3 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \ge -2$):
$x_1=-1$: $-1 \ge -2$ (верно).
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1+2.236}{2} \approx 0.618$: $0.618 \ge -2$ (верно).
$x_3 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1-2.236}{2} \approx -1.618$: $-1.618 \ge -2$ (верно).
Все три корня подходят.
Ответ: $-1; \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.