Страница 267 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

10.1 a) Какие уравнения называют равносильными на множестве $M$?

б) Что называют равносильным на множестве $M$ переходом от одного уравнения к другому?

в) Какие преобразования приводят к уравнению, равносильному исходному на некотором множестве $M$?

г) В каком случае говорят, что уравнения равносильны?

а) Два уравнения называют равносильными на множестве $M$, если множества их корней, принадлежащих этому множеству $M$, совпадают. Другими словами, если $K_1$ — множество корней первого уравнения, а $K_2$ — множество корней второго уравнения, то уравнения равносильны на множестве $M$, если $K_1 \cap M = K_2 \cap M$. Это включает и случай, когда оба уравнения не имеют корней на множестве $M$.

Ответ: Уравнения называют равносильными на множестве $M$, если множества их корней, принадлежащих этому множеству, совпадают.

б) Равносильным на множестве $M$ переходом от одного уравнения к другому называют преобразование (или последовательность преобразований), в результате которого из исходного уравнения получается новое уравнение, равносильное исходному на множестве $M$. Такой переход гарантирует, что не произойдет ни потери корней, принадлежащих $M$, ни появления посторонних корней на этом множестве.

Ответ: Равносильным на множестве $M$ переходом называют преобразование одного уравнения в другое, в результате которого новое уравнение равносильно исходному на множестве $M$.

в) Преобразования, которые приводят к уравнению, равносильному исходному на некотором множестве $M$, называют равносильными или тождественными преобразованиями на этом множестве. К ним относятся:

• Замена любой части уравнения выражением, тождественно равным ему на множестве $M$.
• Перенос любого члена уравнения из одной его части в другую с противоположным знаком.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение $h(x)$, которое определено и не обращается в нуль ни для одного значения $x$ из множества $M$.
• Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень.
• Возведение обеих частей уравнения $f(x) = g(x)$ в одну и ту же четную натуральную степень, если на множестве $M$ обе части уравнения $f(x)$ и $g(x)$ неотрицательны.
• Логарифмирование обеих частей уравнения по одному и тому же основанию $a$ ($a>0, a \ne 1$), если на множестве $M$ обе части уравнения положительны.

Ответ: К равносильному на множестве $M$ уравнению приводят равносильные преобразования, такие как: перенос слагаемых, умножение/деление на ненулевое число или на выражение, не обращающееся в нуль на $M$, тождественные замены выражений, возведение в нечетную степень, а также возведение в четную степень или логарифмирование при соблюдении соответствующих условий (неотрицательность или положительность частей уравнения на $M$).

г) Говорят, что уравнения равносильны (когда множество $M$ не указывается), если они имеют одно и то же множество корней. Это частный случай равносильности на множестве всех действительных чисел $R$. То есть, каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, и наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого. Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Ответ: Говорят, что уравнения равносильны, если множества их корней совпадают.

10.2 Определите множество M, на котором равносильны уравнения:

а) $ \frac{x^2 + x - 2}{x + 2} = 0 $ и $ x^2 + x - 2 = 0; $

б) $ \sqrt{x} = 1 $ и $ x^2 = 1; $

в) $ x^3 + 2x^2 - 1 = 0 $ и $ \sqrt{x}(x^3 + 2x^2 - 1) = 0; $

г) $ x^2 + 5x + \sqrt{x} = \sqrt{x} - 4 $ и $ x^2 + 5x + 4 = 0; $

д) $ \lg(x^2 - 1) = \lg x $ и $ x^2 - 1 = x; $

е) $ \log_2 x + \log_2(x + 2) = 3 $ и $ \log_2 x(x + 2) = 3; $

ж) $ \log_2 x - \log_2(x - 3) = 2 $ и $ \log_2 \frac{x}{x - 3} = 2; $

з) $ \frac{\sqrt{2x - 3}}{\sqrt{x - 2}} = 1 $ и $ \sqrt{\frac{2x - 3}{x - 2}} = 1. $

Два уравнения называются равносильными на множестве $M$, если множества их решений, принадлежащих множеству $M$, совпадают. Для нахождения множества $M$ мы определим множества решений $S_1$ и $S_2$ для каждого уравнения, а затем найдем наибольшее множество $M$, для которого выполняется условие $S_1 \cap M = S_2 \cap M$. Как правило, это множество также должно быть подмножеством пересечения областей определения обоих уравнений.

Рассмотрим уравнения $\frac{x^2+x-2}{x+2} = 0$ и $x^2+x-2 = 0$.

Для первого уравнения $\frac{x^2+x-2}{x+2} = 0$ область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Уравнение равносильно системе:$\begin{cases} x^2+x-2=0 \\ x \neq -2 \end{cases}$.Корни числителя $x^2+x-2=0$ (или $(x+2)(x-1)=0$) — это $x_1=1$ и $x_2=-2$. Учитывая ОДЗ, единственным решением является $x=1$. Таким образом, множество решений первого уравнения $S_1 = \{1\}$.

Второе уравнение $x^2+x-2=0$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Его корни $x_1=1$ и $x_2=-2$. Множество решений второго уравнения $S_2 = \{-2, 1\}$.

Уравнения равносильны на множестве $M$, если $S_1 \cap M = S_2 \cap M$. В данном случае: $\{1\} \cap M = \{-2, 1\} \cap M$. Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $-2 \notin M$. Наибольшим таким множеством является множество всех действительных чисел, кроме $-2$.

Ответ: $M = (-\infty, -2) \cup (-2, \infty)$.

Рассмотрим уравнения $\sqrt{x} = 1$ и $x^2 = 1$.

Для первого уравнения $\sqrt{x} = 1$ ОДЗ: $x \ge 0$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x=1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Множество решений $S_1 = \{1\}$.

Для второго уравнения $x^2 = 1$ ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$. Его решениями являются $x=1$ и $x=-1$. Множество решений $S_2 = \{-1, 1\}$.

Уравнения равносильны на множестве $M$, если $\{1\} \cap M = \{-1, 1\} \cap M$. Это верно, если $-1 \notin M$. Кроме того, для корректности первого уравнения необходимо, чтобы $M$ было подмножеством его ОДЗ, то есть $M \subseteq [0, \infty)$. Это условие автоматически исключает $-1$ из $M$. Таким образом, наибольшее множество, на котором уравнения равносильны, — это ОДЗ первого уравнения.

Ответ: $M = [0, \infty)$.

Рассмотрим уравнения $x^3 + 2x^2 - 1 = 0$ и $\sqrt{x}(x^3 + 2x^2 - 1) = 0$.

Первое уравнение $x^3 + 2x^2 - 1 = 0$ является многочленом и определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Обозначим его множество решений как $S_1$.

Для второго уравнения $\sqrt{x}(x^3 + 2x^2 - 1) = 0$ ОДЗ: $x \ge 0$. Уравнение распадается на два: $\sqrt{x}=0$ или $x^3 + 2x^2 - 1 = 0$. Отсюда получаем $x=0$ или $x \in S_1$. Множество решений второго уравнения $S_2 = \{0\} \cup (S_1 \cap [0, \infty))$.

Заметим, что $x=0$ не является корнем первого уравнения, так как $0^3 + 2(0)^2 - 1 = -1 \neq 0$. Значит, $0 \notin S_1$. Уравнения равносильны на множестве $M$, если $S_1 \cap M = S_2 \cap M$. Подставляя $S_2$, получаем $S_1 \cap M = (\{0\} \cup (S_1 \cap [0, \infty))) \cap M$. Для выполнения этого равенства необходимо, чтобы корень $x=0$ не принадлежал множеству решений на $M$, то есть $0 \notin M$. Учитывая, что второе уравнение определено только для $x \ge 0$, получаем, что $M \subseteq (0, \infty)$. Наибольшим таким множеством является $M = (0, \infty)$.

Ответ: $M = (0, \infty)$.

Рассмотрим уравнения $x^2 + 5x + \sqrt{x} = \sqrt{x} - 4$ и $x^2 + 5x + 4 = 0$.

Для первого уравнения ОДЗ: $x \ge 0$. На этой области можно вычесть $\sqrt{x}$ из обеих частей, что является равносильным преобразованием. Получаем $x^2 + 5x = -4$, или $x^2 + 5x + 4 = 0$. Корни этого уравнения: $(x+1)(x+4)=0$, то есть $x_1=-1$, $x_2=-4$. Ни один из этих корней не удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$). Следовательно, множество решений первого уравнения пусто: $S_1 = \emptyset$.

Второе уравнение $x^2 + 5x + 4 = 0$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Его множество решений $S_2 = \{-1, -4\}$.

Уравнения равносильны на множестве $M$, если $S_1 \cap M = S_2 \cap M$, то есть $\emptyset \cap M = \{-1, -4\} \cap M$. Это означает, что $\{-1, -4\} \cap M = \emptyset$, то есть $-1 \notin M$ и $-4 \notin M$. Так как первое уравнение определено только при $x \ge 0$, то $M \subseteq [0, \infty)$. Это условие автоматически исключает $-1$ и $-4$. Наибольшим таким множеством является $M = [0, \infty)$.

Ответ: $M = [0, \infty)$.

Рассмотрим уравнения $\lg(x^2 - 1) = \lg x$ и $x^2 - 1 = x$.

Для первого уравнения $\lg(x^2 - 1) = \lg x$ ОДЗ определяется системой неравенств: $\begin{cases} x^2 - 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases}$. Решая систему, получаем $x > 1$. На ОДЗ $(1, \infty)$ уравнение равносильно $x^2 - 1 = x$, или $x^2 - x - 1 = 0$. Корни этого уравнения: $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Условию $x>1$ удовлетворяет только корень $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Итак, $S_1 = \{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\}$.

Второе уравнение $x^2 - 1 = x$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Его множество решений $S_2 = \{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\}$.

Уравнения равносильны на $M$, если $S_1 \cap M = S_2 \cap M$. Это верно, если $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} \notin M$. Так как первое уравнение определено только при $x>1$, то $M \subseteq (1, \infty)$. Это условие гарантирует, что $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ (отрицательное число) не принадлежит $M$. Наибольшим таким множеством является $M = (1, \infty)$.

Ответ: $M = (1, \infty)$.

Рассмотрим уравнения $\log_2 x + \log_2 (x+2) = 3$ и $\log_2 x(x+2) = 3$.

Для первого уравнения ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ x+2 > 0 \end{cases}$, что дает $x > 0$. На ОДЗ $(0, \infty)$ уравнение равносильно $\log_2(x(x+2)) = 3$, откуда $x(x+2) = 2^3=8$. Решаем $x^2+2x-8=0$, или $(x+4)(x-2)=0$. Корни $x_1=-4, x_2=2$. ОДЗ удовлетворяет только $x=2$. Итак, $S_1 = \{2\}$.

Для второго уравнения ОДЗ: $x(x+2) > 0$, что выполняется при $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$. Решение $x^2+2x-8=0$ дает корни $x_1=-4$ и $x_2=2$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Итак, $S_2 = \{-4, 2\}$.

Уравнения равносильны на $M$, если $\{2\} \cap M = \{-4, 2\} \cap M$. Это верно, если $-4 \notin M$. Первое уравнение определено только при $x > 0$, поэтому $M \subseteq (0, \infty)$. Это условие исключает $-4$ из $M$. Наибольшим таким множеством является $M = (0, \infty)$.

Ответ: $M = (0, \infty)$.

Рассмотрим уравнения $\log_2 x - \log_2 (x-3) = 2$ и $\log_2 \frac{x}{x-3} = 2$.

Для первого уравнения ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases}$, что дает $x > 3$. На ОДЗ $(3, \infty)$ уравнение равносильно $\log_2 \frac{x}{x-3} = 2$. Отсюда $\frac{x}{x-3} = 2^2=4$. Решаем: $x = 4(x-3) \Rightarrow x=4x-12 \Rightarrow 3x=12 \Rightarrow x=4$. Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ. Итак, $S_1=\{4\}$.

Для второго уравнения ОДЗ: $\frac{x}{x-3} > 0$, что выполняется при $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$. Решение $x=4$ также удовлетворяет этой ОДЗ. Итак, $S_2=\{4\}$.

Множества решений $S_1$ и $S_2$ совпадают. Уравнения равносильны на множестве, где они оба определены. Это пересечение их ОДЗ: $M = (3, \infty) \cap ((-\infty, 0) \cup (3, \infty)) = (3, \infty)$.

Ответ: $M = (3, \infty)$.

Рассмотрим уравнения $\frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-2}} = 1$ и $\sqrt{\frac{2x-3}{x-2}} = 1$.

Для первого уравнения ОДЗ: $\begin{cases} 2x-3 \ge 0 \\ x-2 > 0 \end{cases}$, что дает $\begin{cases} x \ge 1.5 \\ x > 2 \end{cases}$, то есть $x > 2$. На ОДЗ $(2, \infty)$ возводим в квадрат: $\frac{2x-3}{x-2}=1 \Rightarrow 2x-3=x-2 \Rightarrow x=1$. Этот корень не входит в ОДЗ. Значит, $S_1 = \emptyset$.

Для второго уравнения ОДЗ: $\frac{2x-3}{x-2} \ge 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, 1.5] \cup (2, \infty)$. Возводим в квадрат: $\frac{2x-3}{x-2}=1 \Rightarrow x=1$. Этот корень входит в ОДЗ. Итак, $S_2 = \{1\}$.

Уравнения равносильны на $M$, если $\emptyset \cap M = \{1\} \cap M$. Это верно, если $1 \notin M$. Первое уравнение определено при $x>2$, поэтому $M \subseteq (2, \infty)$. Это условие гарантирует, что $1 \notin M$. Наибольшим таким множеством является $M = (2, \infty)$.

Ответ: $M = (2, \infty)$.

10.3 Какими условиями задается множество M, на котором равносильны ($a > 0$, $a \ne 1$) уравнения:

а) $\frac{f(x)}{g(x)} = \varphi(x)$ и $f(x) = g(x) \varphi(x)$;

б) $\sqrt{f(x)} = \varphi(x)$ и $f(x) = \varphi^2(x)$;

в) $\sqrt{f(x)}\sqrt{g(x)} = \varphi(x)$ и $\sqrt{f(x) g(x)} = \varphi(x)$;

г) $\frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{g(x)}} = \varphi(x)$ и $\sqrt{\frac{f(x)}{g(x)}} = \varphi(x)$;

д) $f(x) + \sqrt{g(x)} = \varphi(x) + \sqrt{g(x)}$ и $f(x) = \varphi(x)$;

е) $(\sqrt{f(x)})^2 = \varphi(x)$ и $f(x) = \varphi(x)$;

ж) $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ и $f(x) = g(x)$;

з) $\log_a f(x) + \log_a g(x) = \varphi(x)$ и $\log_a (f(x)g(x)) = \varphi(x)$;

и) $\log_a f(x) - \log_a g(x) = \varphi(x)$ и $\log_a \frac{f(x)}{g(x)} = \varphi(x)$;

к) $\frac{1}{\log_{f(x)} a} = \varphi(x)$ и $\log_a f(x) = \varphi(x)$;

л) $\log_a (f(x))^2 = \varphi(x)$ и $2\log_a |f(x)| = \varphi(x)$;

м) $2\log_a f(x) = \varphi(x)$ и $\log_a (f(x))^2 = \varphi(x)$;

н) $a^{\log_a f(x)} = \varphi(x)$ и $f(x) = \varphi(x)$;

о) $\frac{1 - \operatorname{tg}^2 x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = \varphi(x)$ и $\cos 2x = \varphi(x)$;

п) $\frac{2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x} = \varphi(x)$ и $\operatorname{tg} 2x = \varphi(x)$?

Два уравнения называются равносильными на множестве $M$, если на этом множестве они имеют одинаковые множества решений. Чтобы найти множество $M$, на котором данная пара уравнений равносильна, необходимо сравнить их области допустимых значений (ОДЗ) и преобразования, связывающие их.

Первое уравнение $\frac{f(x)}{g(x)} = \varphi(x)$ имеет область допустимых значений (ОДЗ), заданную условием $g(x) \neq 0$. На этой области его можно преобразовать во второе уравнение $f(x) = g(x) \varphi(x)$ путем умножения обеих частей на $g(x)$. Второе уравнение определено и в тех случаях, когда $g(x)=0$, что может приводить к появлению посторонних корней, которых нет у первого уравнения. Для равносильности необходимо, чтобы множества решений совпадали, что достигается при ограничении на ОДЗ первого уравнения.

Ответ: Множество $M$ задается условием $g(x) \neq 0$.

Первое уравнение $\sqrt{f(x)} = \varphi(x)$. Его ОДЗ: $f(x) \ge 0$ (подкоренное выражение) и $\varphi(x) \ge 0$ (так как арифметический квадратный корень неотрицателен). Второе уравнение $f(x) = \varphi^2(x)$. При возведении первого уравнения в квадрат получается второе. Это преобразование является равносильным только при условии $\varphi(x) \ge 0$. Для решений второго уравнения условие $f(x) \ge 0$ выполняется автоматически, так как $f(x)=\varphi^2(x) \ge 0$. Таким образом, для равносильности необходимо дополнительное условие $\varphi(x) \ge 0$.

Ответ: Множество $M$ задается условием $\varphi(x) \ge 0$.

Первое уравнение $\sqrt{f(x)}\sqrt{g(x)} = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$.Второе уравнение $\sqrt{f(x)g(x)} = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x)g(x) \ge 0$.Область определения второго уравнения шире: она включает случай, когда $f(x) \le 0$ и $g(x) \le 0$. На ОДЗ первого уравнения тождество $\sqrt{f(x)}\sqrt{g(x)} = \sqrt{f(x)g(x)}$ верно, и уравнения совпадают. Для равносильности уравнений необходимо ограничиться ОДЗ первого, более "узкого", уравнения.

Ответ: Множество $M$ задается условиями $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$.

Первое уравнение $\frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{g(x)}} = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x) \ge 0$ и $g(x) > 0$.Второе уравнение $\sqrt{\frac{f(x)}{g(x)}} = \varphi(x)$. ОДЗ: $\frac{f(x)}{g(x)} \ge 0$ (что включает $g(x) \neq 0$).Область определения второго уравнения шире: она включает случай, когда $f(x) \le 0$ и $g(x) < 0$. На ОДЗ первого уравнения тождество $\frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{g(x)}} = \sqrt{\frac{f(x)}{g(x)}}$ верно. Для равносильности уравнений необходимо работать на множестве, где выполняются условия ОДЗ первого уравнения.

Ответ: Множество $M$ задается условиями $f(x) \ge 0$ и $g(x) > 0$.

Первое уравнение $f(x) + \sqrt{g(x)} = \varphi(x) + \sqrt{g(x)}$. ОДЗ: $g(x) \ge 0$. На этой области можно вычесть $\sqrt{g(x)}$ из обеих частей, получая второе уравнение $f(x) = \varphi(x)$. Второе уравнение не имеет ограничения на $g(x)$. Для равносильности необходимо, чтобы решения второго уравнения удовлетворяли ОДЗ первого.

Ответ: Множество $M$ задается условием $g(x) \ge 0$.

Первое уравнение $(\sqrt{f(x)})^2 = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x) \ge 0$. На этой области $(\sqrt{f(x)})^2 = f(x)$, и уравнение превращается во второе: $f(x) = \varphi(x)$. Второе уравнение само по себе не требует неотрицательности $f(x)$. Для равносильности необходимо, чтобы решения второго уравнения удовлетворяли ОДЗ первого.

Ответ: Множество $M$ задается условием $f(x) \ge 0$.

Первое уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$. ОДЗ: $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$. На этой области в силу монотонности логарифмической функции уравнение равносильно второму уравнению $f(x) = g(x)$. Второе уравнение может иметь решения, для которых $f(x)$ и $g(x)$ не положительны. Для равносильности необходимо ограничиться ОДЗ первого уравнения.

Ответ: Множество $M$ задается условиями $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.

Первое уравнение $\log_a f(x) + \log_a g(x) = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.Второе уравнение $\log_a (f(x)g(x)) = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x)g(x) > 0$.ОДЗ второго уравнения шире, так как включает случай $f(x) < 0$ и $g(x) < 0$. На ОДЗ первого уравнения свойство логарифма $\log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a(f(x)g(x))$ выполняется, и уравнения совпадают. Для равносильности нужно работать на ОДЗ первого уравнения.

Ответ: Множество $M$ задается условиями $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.

Первое уравнение $\log_a f(x) - \log_a g(x) = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.Второе уравнение $\log_a \frac{f(x)}{g(x)} = \varphi(x)$. ОДЗ: $\frac{f(x)}{g(x)} > 0$.Ситуация аналогична предыдущему пункту. ОДЗ второго уравнения шире, так как включает случай $f(x) < 0$ и $g(x) < 0$. На ОДЗ первого уравнения свойство логарифма $\log_a f(x) - \log_a g(x) = \log_a \frac{f(x)}{g(x)}$ выполняется. Равносильность достигается на ОДЗ первого уравнения.

Ответ: Множество $M$ задается условиями $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.

Первое уравнение $\frac{1}{\log_{f(x)} a} = \varphi(x)$. ОДЗ: основание логарифма $f(x) > 0$ и $f(x) \neq 1$.Второе уравнение $\log_a f(x) = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x) > 0$.На ОДЗ первого уравнения по формуле перехода к новому основанию $\frac{1}{\log_{f(x)} a} = \log_a f(x)$, поэтому уравнения совпадают. Однако ОДЗ второго уравнения шире, так как оно определено при $f(x)=1$ (тогда $\log_a 1 = 0$), в то время как первое уравнение при $f(x)=1$ не определено. Для равносильности нужно работать на ОДЗ первого уравнения.

Ответ: Множество $M$ задается условиями $f(x) > 0$ и $f(x) \neq 1$.

Первое уравнение $\log_a ((f(x))^2) = \varphi(x)$. ОДЗ: $(f(x))^2 > 0$, что равносильно $f(x) \neq 0$.Второе уравнение $2\log_a |f(x)| = \varphi(x)$. ОДЗ: $|f(x)| > 0$, что также равносильно $f(x) \neq 0$.Тождество $\log_a(b^2) = 2\log_a|b|$ верно для всех $b \neq 0$. Так как области определения уравнений и сами выражения на этой области совпадают, уравнения равносильны на всей их общей области определения.

Ответ: Множество $M$ задается условием $f(x) \neq 0$.

Первое уравнение $2\log_a f(x) = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x) > 0$.Второе уравнение $\log_a ((f(x))^2) = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x) \neq 0$.ОДЗ второго уравнения шире, так как включает отрицательные значения $f(x)$. На ОДЗ первого уравнения ($f(x)>0$) верно тождество $2\log_a f(x) = \log_a((f(x))^2)$, и уравнения совпадают. Для равносильности нужно ограничиться ОДЗ первого уравнения.

Ответ: Множество $M$ задается условием $f(x) > 0$.

Первое уравнение $a^{\log_a f(x)} = \varphi(x)$. ОДЗ: $f(x) > 0$. На этой области по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a f(x)} = f(x)$, и уравнение превращается во второе: $f(x) = \varphi(x)$. Второе уравнение не требует положительности $f(x)$. Для равносильности необходимо, чтобы решения второго уравнения удовлетворяли ОДЗ первого.

Ответ: Множество $M$ задается условием $f(x) > 0$.

Первое уравнение $\frac{1 - \tg^2 x}{1 + \tg^2 x} = \varphi(x)$. ОДЗ: $\tg x$ должен быть определен, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.Второе уравнение $\cos 2x = \varphi(x)$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$.Тригонометрическое тождество $\cos 2x = \frac{1 - \tg^2 x}{1 + \tg^2 x}$ верно на всей области определения $\tg x$. Таким образом, уравнения равносильны на ОДЗ первого уравнения.

Ответ: Множество $M$ задается условием $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ (или $\cos x \neq 0$).

Первое уравнение $\frac{2 \tg x}{1 - \tg^2 x} = \varphi(x)$. ОДЗ: $\tg x$ должен быть определен ($x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$) и знаменатель не равен нулю $1 - \tg^2 x \neq 0$ ($x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}$).Второе уравнение $\tg 2x = \varphi(x)$. ОДЗ: $2x \neq \frac{\pi}{2} + m\pi \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{m\pi}{2}, m \in \mathbb{Z}$.ОДЗ второго уравнения шире, так как $\tg 2x$ определен при $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ (равен 0), а $\tg x$ в этих точках не определен. Тождество $\tg 2x = \frac{2 \tg x}{1 - \tg^2 x}$ верно на ОДЗ первого уравнения. Следовательно, для равносильности необходимо работать на ОДЗ первого уравнения.

Ответ: Множество $M$ задается условиями $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ и $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}$ (или $\cos x \neq 0$ и $\cos 2x \neq 0$).