Страница 272 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Решите уравнение (10.14—10.22):

10.14 a) $ \frac{3}{(2x + 6)(x - 1)} + \frac{5}{(3x + 5)(x - 1)} = \frac{1}{x - 1}; $

б) $ \frac{1}{(3x + 5)(x - 1)} + \frac{7}{(x + 7)(x - 1)} = \frac{1}{x - 1}. $

a) Исходное уравнение: $ \frac{3}{(2x + 6)(x - 1)} + \frac{5}{(3x + 5)(x - 1)} = \frac{1}{x - 1} $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:

• $2x + 6 \neq 0 \implies 2x \neq -6 \implies x \neq -3$
• $3x + 5 \neq 0 \implies 3x \neq -5 \implies x \neq -\frac{5}{3}$
• $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-3, -\frac{5}{3}, 1\}$.

Заметим, что в знаменателе каждой дроби есть множитель $(x - 1)$. Так как $x \neq 1$, мы можем умножить обе части уравнения на $(x - 1)$, чтобы упростить его:

$ \frac{3}{2x + 6} + \frac{5}{3x + 5} = 1 $

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(2x + 6)(3x + 5)$:

$ \frac{3(3x + 5) + 5(2x + 6)}{(2x + 6)(3x + 5)} = 1 $

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

$ \frac{9x + 15 + 10x + 30}{6x^2 + 10x + 18x + 30} = 1 $

$ \frac{19x + 45}{6x^2 + 28x + 30} = 1 $

Так как знаменатель не равен нулю в ОДЗ, умножим обе части на него:

$ 19x + 45 = 6x^2 + 28x + 30 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$ 6x^2 + 28x - 19x + 30 - 45 = 0 $

$ 6x^2 + 9x - 15 = 0 $

Для упрощения разделим все уравнение на 3:

$ 2x^2 + 3x - 5 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5 $

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, следовательно, является посторонним корнем. Корень $x_2 = -2.5$ удовлетворяет всем условиям ОДЗ.

Ответ: $-2.5$

б) Исходное уравнение: $ \frac{1}{(3x + 5)(x - 1)} + \frac{7}{(x + 7)(x - 1)} = \frac{1}{x - 1} $.

Определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль:

• $3x + 5 \neq 0 \implies 3x \neq -5 \implies x \neq -\frac{5}{3}$
• $x + 7 \neq 0 \implies x \neq -7$
• $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-7, -\frac{5}{3}, 1\}$.

Умножим обе части уравнения на общий множитель $(x - 1)$, поскольку $x \neq 1$:

$ \frac{1}{3x + 5} + \frac{7}{x + 7} = 1 $

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(3x + 5)(x + 7)$:

$ \frac{1(x + 7) + 7(3x + 5)}{(3x + 5)(x + 7)} = 1 $

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

$ \frac{x + 7 + 21x + 35}{3x^2 + 21x + 5x + 35} = 1 $

$ \frac{22x + 42}{3x^2 + 26x + 35} = 1 $

Избавимся от дроби, умножив обе части на знаменатель:

$ 22x + 42 = 3x^2 + 26x + 35 $

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$ 3x^2 + 26x - 22x + 35 - 42 = 0 $

$ 3x^2 + 4x - 7 = 0 $

Решим полученное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$ D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 10}{6} = \frac{6}{6} = 1 $

$ x_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 10}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} $

Сравним найденные корни с ОДЗ. Корень $x_1 = 1$ является посторонним, так как не входит в ОДЗ. Корень $x_2 = -\frac{7}{3}$ удовлетворяет всем условиям ОДЗ.

Ответ: $-\frac{7}{3}$