Страница 277 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

10.25 а) $ \log_2 x = \log_4 (x + 2); $

б) $ \log_9 (x + 8) = \log_3 (x + 2); $

в) $ \log_{25} (9x + 7) = \log_5 (3 + x); $

г) $ \log_4 (x + 9) = \log_2 (x - 3); $

д) $ \log_2 (x + 3) - \log_{\frac{1}{2}} (x + 3) = 4; $

е) $ \log_3 (x + 2) - \log_{\frac{1}{3}} (x + 2) = 2. $

а) $\log_2 x = \log_4 (x + 2)$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:
$\left\{\begin{aligned}x > 0 \\x + 2 > 0\end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned}x > 0 \\x > -2\end{aligned}\right. \Rightarrow x > 0$.
Приведем логарифм в правой части к основанию 2, используя формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:
$\log_4 (x + 2) = \log_{2^2} (x + 2) = \frac{1}{2} \log_2 (x + 2)$.
Уравнение принимает вид:
$\log_2 x = \frac{1}{2} \log_2 (x + 2)$
$2 \log_2 x = \log_2 (x + 2)$
Используя свойство $k \log_a b = \log_a b^k$, получаем:
$\log_2 x^2 = \log_2 (x + 2)$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$x^2 = x + 2$
$x^2 - x - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Проверим корни по ОДЗ ($x > 0$).
$x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 > 0$.
$x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 > 0$, это посторонний корень.
Ответ: $x = 2$.

б) $\log_9 (x + 8) = \log_3 (x + 2)$
Найдем ОДЗ:
$\left\{\begin{aligned}x + 8 > 0 \\x + 2 > 0\end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned}x > -8 \\x > -2\end{aligned}\right. \Rightarrow x > -2$.
Приведем логарифм в левой части к основанию 3:
$\log_9 (x + 8) = \log_{3^2} (x + 8) = \frac{1}{2} \log_3 (x + 8)$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{1}{2} \log_3 (x + 8) = \log_3 (x + 2)$
$\log_3 (x + 8) = 2 \log_3 (x + 2)$
$\log_3 (x + 8) = \log_3 (x + 2)^2$
Приравниваем аргументы:
$x + 8 = (x + 2)^2$
$x + 8 = x^2 + 4x + 4$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
Проверим корни по ОДЗ ($x > -2$).
$x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 > -2$.
$x_2 = -4$ не удовлетворяет условию $-4 > -2$, это посторонний корень.
Ответ: $x = 1$.

в) $\log_{25} (9x + 7) = \log_5 (3 + x)$
Найдем ОДЗ:
$\left\{\begin{aligned}9x + 7 > 0 \\3 + x > 0\end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned}x > -7/9 \\x > -3\end{aligned}\right. \Rightarrow x > -7/9$.
Приведем логарифм в левой части к основанию 5:
$\log_{25} (9x + 7) = \log_{5^2} (9x + 7) = \frac{1}{2} \log_5 (9x + 7)$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{1}{2} \log_5 (9x + 7) = \log_5 (3 + x)$
$\log_5 (9x + 7) = 2 \log_5 (3 + x)$
$\log_5 (9x + 7) = \log_5 (3 + x)^2$
Приравниваем аргументы:
$9x + 7 = (3 + x)^2$
$9x + 7 = 9 + 6x + x^2$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Проверим корни по ОДЗ ($x > -7/9$).
$x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 > -7/9$.
$x_2 = 2$ удовлетворяет условию $2 > -7/9$.
Оба корня подходят.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 2$.

г) $\log_4 (x + 9) = \log_2 (x - 3)$
Найдем ОДЗ:
$\left\{\begin{aligned}x + 9 > 0 \\x - 3 > 0\end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned}x > -9 \\x > 3\end{aligned}\right. \Rightarrow x > 3$.
Приведем логарифм в левой части к основанию 2:
$\log_4 (x + 9) = \log_{2^2} (x + 9) = \frac{1}{2} \log_2 (x + 9)$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{1}{2} \log_2 (x + 9) = \log_2 (x - 3)$
$\log_2 (x + 9) = 2 \log_2 (x - 3)$
$\log_2 (x + 9) = \log_2 (x - 3)^2$
Приравниваем аргументы:
$x + 9 = (x - 3)^2$
$x + 9 = x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 7x = 0$
$x(x - 7) = 0$
Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Проверим корни по ОДЗ ($x > 3$).
$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 > 3$, это посторонний корень.
$x_2 = 7$ удовлетворяет условию $7 > 3$.
Ответ: $x = 7$.

д) $\log_2 (x + 3) - \log_{\frac{1}{2}} (x + 3) = 4$
Найдем ОДЗ: $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$.
Приведем второй логарифм к основанию 2, используя формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ и то, что $\frac{1}{2} = 2^{-1}$:
$\log_{\frac{1}{2}} (x + 3) = \log_{2^{-1}} (x + 3) = \frac{1}{-1} \log_2 (x + 3) = -\log_2 (x + 3)$.
Подставим в исходное уравнение:
$\log_2 (x + 3) - (-\log_2 (x + 3)) = 4$
$\log_2 (x + 3) + \log_2 (x + 3) = 4$
$2 \log_2 (x + 3) = 4$
$\log_2 (x + 3) = 2$
По определению логарифма:
$x + 3 = 2^2$
$x + 3 = 4$
$x = 1$
Проверим корень по ОДЗ ($x > -3$).
$x = 1$ удовлетворяет условию $1 > -3$.
Ответ: $x = 1$.

е) $\log_3 (x + 2) - \log_{\frac{1}{3}} (x + 2) = 2$
Найдем ОДЗ: $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$.
Приведем второй логарифм к основанию 3, используя то, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$:
$\log_{\frac{1}{3}} (x + 2) = \log_{3^{-1}} (x + 2) = -\log_3 (x + 2)$.
Подставим в исходное уравнение:
$\log_3 (x + 2) - (-\log_3 (x + 2)) = 2$
$\log_3 (x + 2) + \log_3 (x + 2) = 2$
$2 \log_3 (x + 2) = 2$
$\log_3 (x + 2) = 1$
По определению логарифма:
$x + 2 = 3^1$
$x + 2 = 3$
$x = 1$
Проверим корень по ОДЗ ($x > -2$).
$x = 1$ удовлетворяет условию $1 > -2$.
Ответ: $x = 1$.

10.26* a) $\frac{1}{\sqrt{x - 2}} = (x - 2)^{\cos x};$

Б) $(x^2 + 2)^{\sin x} = (x^2 + 2)^{\cos x};$

В) $x^{\log_{\sqrt{x}} 2x} = 4;$

Г) $x^2 - \lg^2 x - \lg x^2 - \frac{1}{x} = 0.$

а) $\frac{1}{\sqrt{x-2}} = (x-2)^{\cos x}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля: $x-2 > 0 \implies x > 2$. Основание степени $(x-2)$ также должно быть положительным, что уже учтено в условии выше.

Теперь преобразуем левую часть уравнения, используя свойства степеней: $\frac{1}{\sqrt{x-2}} = \frac{1}{(x-2)^{1/2}} = (x-2)^{-1/2}$.

Теперь уравнение принимает вид: $(x-2)^{-1/2} = (x-2)^{\cos x}$.

Так как основания степеней равны и больше 0 (согласно ОДЗ $x>2$, значит $x-2 > 0$), мы можем приравнять показатели степеней: $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Решим это тригонометрическое уравнение. Общее решение имеет вид: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем две серии решений: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Теперь необходимо отобрать корни, удовлетворяющие условию ОДЗ: $x > 2$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$, тогда $\frac{2\pi}{3} \approx 2.09$.

Рассмотрим первую серию $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: При $k=0$, $x = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09$. Это значение больше 2, значит, оно является решением. При $k > 0$ (например, $k=1$, $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} > 2$), все значения будут больше 2. При $k < 0$ (например, $k=-1$, $x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3} < 2$), значения не подходят. Следовательно, из этой серии подходят корни при $k \ge 0$, $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим вторую серию $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: При $k=0$, $x = -\frac{2\pi}{3} < 2$, не подходит. При $k=1$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \approx 4.18 > 2$. Это решение. При $k > 1$, все значения будут еще больше и, следовательно, подходят. При $k < 1$, значения не подходят. Следовательно, из этой серии подходят корни при $k \ge 1$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$; $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 1$.

б) $(x^2+2)^{\sin x} = (x^2+2)^{\cos x}$

Уравнение вида $a^{f(x)} = a^{g(x)}$. Основание степени $a = x^2+2$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2+2 \ge 2$. Основание всегда положительно, поэтому ОДЗ для $x$ - все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Решения уравнения $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ существуют в двух случаях: 1. Основание $a=1$. 2. Показатели степеней равны $f(x)=g(x)$.

Рассмотрим первый случай: $x^2+2 = 1 \implies x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим второй случай: $\sin x = \cos x$.

Решим это тригонометрическое уравнение. Заметим, что $\cos x \neq 0$, так как если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и равенство не выполняется. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$: $\frac{\sin x}{\cos x} = 1$ $\tan x = 1$.

Общее решение этого уравнения: $x = \arctan(1) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Все найденные корни принадлежат ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) $x^{\log_{\sqrt{x}} 2x} = 4$

Определим ОДЗ. 1. Основание степени $x > 0$. 2. Аргумент логарифма $2x > 0 \implies x > 0$. 3. Основание логарифма $\sqrt{x} > 0 \implies x > 0$. 4. Основание логарифма $\sqrt{x} \neq 1 \implies x \neq 1$. Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Преобразуем показатель степени, используя тождество $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$: $x^{\log_{\sqrt{x}} 2x} = (2x)^{\log_{\sqrt{x}} x}$.

Теперь вычислим значение нового показателя степени $\log_{\sqrt{x}} x$. Пусть $\log_{\sqrt{x}} x = y$. По определению логарифма, $(\sqrt{x})^y = x$. $(x^{1/2})^y = x^1 \implies x^{y/2} = x^1$. Отсюда $y/2 = 1 \implies y=2$. Значит, $\log_{\sqrt{x}} x = 2$.

Подставим найденное значение обратно в уравнение: $(2x)^2 = 4$ $4x^2 = 4$ $x^2 = 1$ $x = 1$ или $x = -1$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$). $x=1$ не удовлетворяет условию $x \neq 1$. $x=-1$ не удовлетворяет условию $x > 0$. Таким образом, ни один из полученных корней не входит в ОДЗ.

Ответ: нет решений.

г) $x^2 - \lg^2 x - \lg x^2 - \frac{1}{x} = 0$

Определим ОДЗ. 1. Для $\lg x$ и $\lg^2 x$ требуется $x > 0$. 2. Для $\lg x^2$ требуется $x^2 > 0 \implies x \neq 0$. 3. Для $\frac{1}{x}$ требуется $x \neq 0$. Итоговое ОДЗ: $x > 0$.

Упростим уравнение, используя свойство логарифма $\lg x^2 = 2\lg x$ (это преобразование корректно, так как по ОДЗ $x>0$): $x^2 - \lg^2 x - 2\lg x - \frac{1}{x} = 0$.

Это трансцендентное уравнение, которое сложно решить аналитически. Попробуем найти корень подбором. Проверим простые значения, например $x=1$: $1^2 - \lg^2 1 - 2\lg 1 - \frac{1}{1} = 1 - 0^2 - 2 \cdot 0 - 1 = 1 - 0 - 0 - 1 = 0$. Равенство верное, значит $x=1$ является корнем уравнения.

Докажем, что других корней нет. Перепишем уравнение в виде: $x^2 - \frac{1}{x} = \lg^2 x + 2\lg x$. Рассмотрим две функции: $f(x) = x^2 - \frac{1}{x}$ и $g(x) = \lg^2 x + 2\lg x$. Мы ищем точки их пересечения.

Проанализируем поведение функции $f(x) = x^2 - \frac{1}{x}$ на ОДЗ ($x>0$). Ее производная $f'(x) = 2x + \frac{1}{x^2}$. При $x>0$ оба слагаемых $2x$ и $\frac{1}{x^2}$ положительны, следовательно, $f'(x) > 0$. Это значит, что функция $f(x)$ строго возрастает на всей области определения.

Проанализируем поведение функции $g(x) = \lg^2 x + 2\lg x$. Ее производная $g'(x) = 2(\lg x) \cdot \frac{1}{x \ln 10} + \frac{2}{x \ln 10} = \frac{2(\lg x + 1)}{x \ln 10}$. При $x>0$ знаменатель $x \ln 10$ положителен. Знак производной зависит от выражения $(\lg x + 1)$: - $g'(x) < 0$ при $\lg x < -1 \implies 0 < x < 0.1$ (функция убывает). - $g'(x) > 0$ при $\lg x > -1 \implies x > 0.1$ (функция возрастает). - $g'(x) = 0$ при $x = 0.1$ (точка минимума).

Сравним поведение функций: - На интервале $(0, 0.1)$ функция $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает. При $x \to 0^+$, $f(x) \to -\infty$, а $g(x) \to +\infty$. Так как на этом интервале $f(x) < 0$, а $g(x) = \lg x(\lg x+2) > 0$, пересечений нет. - На интервале $[0.1, \infty)$ обе функции возрастают. - Мы уже нашли, что в точке $x=1$ их значения совпадают: $f(1)=0$, $g(1)=0$. - Сравним "скорость" роста функций при $x \ge 1$. $f(x)$ растет как степенная функция $x^2$, а $g(x)$ — как логарифмическая $\lg^2 x$. Степенная функция растет значительно быстрее логарифмической. Поскольку в точке $x=1$ функции встретились, а затем $f(x)$ начала расти быстрее, чем $g(x)$, новых пересечений при $x>1$ не будет. - На интервале $(0.1, 1)$ обе функции возрастают к общей точке $(1, 0)$. В точке $x=0.1$ имеем $f(0.1)=0.01-10=-9.99$, а $g(0.1)=(-1)^2+2(-1)=-1$. Поскольку $f(0.1) < g(0.1)$, и $f(x)$ растет быстрее $g(x)$ на этом интервале, они пересекутся только в конечной точке $x=1$.

Таким образом, $x=1$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $x = 1$.

10.27 a) $x^2 + 2x + \log_2(x + 1) = 15 + \log_2(x + 1);$

б) $x^2 - 6x - \log_3(1 - x) = 7 - \log_3(1 - x);$

в) $x^2 + \log_4 x = 7x + \log_4 x;$

г) $x^2 - \log_5 (-x) = -6x - \log_5 (-x).$

а) $x^2 + 2x + \log_2(x + 1) = 15 + \log_2(x + 1)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$x + 1 > 0$
$x > -1$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1; +\infty)$.

2. В обеих частях уравнения присутствует одинаковый член $\log_2(x + 1)$. Вычтем его из обеих частей уравнения:
$x^2 + 2x + \log_2(x + 1) - \log_2(x + 1) = 15 + \log_2(x + 1) - \log_2(x + 1)$
$x^2 + 2x = 15$

3. Мы получили квадратное уравнение. Перенесем все члены в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 2x - 15 = 0$

4. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

5. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > -1$):
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 > -1$.
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию $-5 > -1$, поэтому является посторонним.

Ответ: $3$

б) $x^2 - 6x - \log_3(1 - x) = 7 - \log_3(1 - x)$

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$1 - x > 0$
$1 > x$ или $x < 1$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 1)$.

2. Прибавим $\log_3(1 - x)$ к обеим частям уравнения, чтобы сократить логарифмические члены:
$x^2 - 6x - \log_3(1 - x) + \log_3(1 - x) = 7 - \log_3(1 - x) + \log_3(1 - x)$
$x^2 - 6x = 7$

3. Приведем полученное квадратное уравнение к стандартному виду:
$x^2 - 6x - 7 = 0$

4. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:
Сумма корней $x_1 + x_2 = 6$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -7$.
Подбором находим корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -1$.

5. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x < 1$):
Корень $x_1 = 7$ не удовлетворяет условию $7 < 1$, поэтому является посторонним.
Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет условию $-1 < 1$.

Ответ: $-1$

в) $x^2 + \log_4 x = 7x + \log_4 x$

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$x > 0$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.

2. Вычтем $\log_4 x$ из обеих частей уравнения:
$x^2 + \log_4 x - \log_4 x = 7x + \log_4 x - \log_4 x$
$x^2 = 7x$

3. Решим полученное неполное квадратное уравнение:
$x^2 - 7x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 7) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x - 7 = 0 \implies x_2 = 7$.

4. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$):
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x > 0$, так как неравенство строгое. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = 7$ удовлетворяет условию $7 > 0$.

Ответ: $7$

г) $x^2 - \log_5(-x) = -6x - \log_5(-x)$

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$-x > 0$
$x < 0$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0)$.

2. Прибавим $\log_5(-x)$ к обеим частям уравнения:
$x^2 - \log_5(-x) + \log_5(-x) = -6x - \log_5(-x) + \log_5(-x)$
$x^2 = -6x$

3. Решим полученное неполное квадратное уравнение:
$x^2 + 6x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x + 6) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x + 6 = 0 \implies x_2 = -6$.

4. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x < 0$):
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x < 0$, так как неравенство строгое. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = -6$ удовлетворяет условию $-6 < 0$.

Ответ: $-6$

10.28 a) $4^{\log_4 (2x + 1)} = x^2 + 3x - 5;$

б) $5^{\log_5 (x - 2)} = x^2 + 4x - 30;$

в) $6^{\log_6 (1 - x)} = x^2 + 3x - 20;$

г) $7^{\log_7 (2 - x)} = x^2 - 3x - 13.$

а)

Исходное уравнение: $4^{\log_4(2x+1)} = x^2 + 3x - 5$.
Для решения используется основное логарифмическое тождество $a^{\log_a(b)} = b$. Это тождество справедливо при условии, что выражение под знаком логарифма строго положительно ($b > 0$).

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть больше нуля:
$2x + 1 > 0$
$2x > -1$
$x > -0.5$

2. Упростим уравнение, используя тождество:
$2x + 1 = x^2 + 3x - 5$

3. Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$ и решим его:
$x^2 + 3x - 2x - 5 - 1 = 0$
$x^2 + x - 6 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Корнями являются:
$x_1 = 2$
$x_2 = -3$

4. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x > -0.5$):
- Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 > -0.5$.
- Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию, так как $-3 \ngtr -0.5$. Этот корень является посторонним.

Следовательно, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: $2$.

б)

Исходное уравнение: $5^{\log_5(x-2)} = x^2 + 4x - 30$.
Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a(b)} = b$.

1. ОДЗ: аргумент логарифма должен быть больше нуля.
$x - 2 > 0$
$x > 2$

2. Упрощаем уравнение:
$x - 2 = x^2 + 4x - 30$

3. Решаем полученное квадратное уравнение:
$x^2 + 4x - x - 30 + 2 = 0$
$x^2 + 3x - 28 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, произведение равно $-28$.
$x_1 = 4$
$x_2 = -7$

4. Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 2$):
- Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию, так как $4 > 2$.
- Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет условию, так как $-7 \ngtr 2$. Это посторонний корень.

Единственное решение уравнения - это $x=4$.
Ответ: $4$.

в)

Исходное уравнение: $6^{\log_6(1-x)} = x^2 + 3x - 20$.
Используем тождество $a^{\log_a(b)} = b$.

1. ОДЗ: аргумент логарифма должен быть больше нуля.
$1 - x > 0$
$x < 1$

2. Упрощаем уравнение:
$1 - x = x^2 + 3x - 20$

3. Решаем полученное квадратное уравнение:
$x^2 + 3x + x - 20 - 1 = 0$
$x^2 + 4x - 21 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, произведение равно $-21$.
$x_1 = 3$
$x_2 = -7$

4. Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x < 1$):
- Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию, так как $3 \nless 1$. Это посторонний корень.
- Корень $x_2 = -7$ удовлетворяет условию, так как $-7 < 1$.

Таким образом, решением является $x=-7$.
Ответ: $-7$.

г)

Исходное уравнение: $7^{\log_7(2-x)} = x^2 - 3x - 13$.
Воспользуемся тождеством $a^{\log_a(b)} = b$.

1. ОДЗ: аргумент логарифма должен быть больше нуля.
$2 - x > 0$
$x < 2$

2. Упрощаем уравнение:
$2 - x = x^2 - 3x - 13$

3. Решаем полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 3x + x - 13 - 2 = 0$
$x^2 - 2x - 15 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $2$, произведение равно $-15$.
$x_1 = 5$
$x_2 = -3$

4. Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x < 2$):
- Корень $x_1 = 5$ не удовлетворяет условию, так как $5 \nless 2$. Это посторонний корень.
- Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет условию, так как $-3 < 2$.

Следовательно, решением уравнения является $x=-3$.
Ответ: $-3$.

10.29 a) $log_3 x = 4 - 3log_x 3;$

B) $log_3 x - 2 = 3log_x 3;$

б) $log_4 x + 2 = 3log_x 4;$

г) $log_2 x + 6log_x 2 = 5.$

а) $\log_3 x = 4 - 3\log_x 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть больше нуля, а основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице. Таким образом, $x > 0$ и $x \ne 1$.

Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
Заменим $\log_x 3$ на $\frac{1}{\log_3 x}$:
$\log_3 x = 4 - 3 \cdot \frac{1}{\log_3 x}$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_3 x$. Тогда уравнение примет вид:
$y = 4 - \frac{3}{y}$

Умножим обе части уравнения на $y$ (при условии, что $y \ne 0$, что соответствует $x \ne 1$):
$y^2 = 4y - 3$
$y^2 - 4y + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:
$y_1 + y_2 = 4$
$y_1 \cdot y_2 = 3$
Отсюда корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.

Вернемся к исходной переменной $x$:
1) $\log_3 x = 1 \implies x = 3^1 = 3$.
2) $\log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0, x \ne 1$).
Ответ: $x=3, x=27$.

б) $\log_4 x + 2 = 3\log_x 4$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$.

Заменим $\log_x 4$ на $\frac{1}{\log_4 x}$:
$\log_4 x + 2 = 3 \cdot \frac{1}{\log_4 x}$

Сделаем замену $y = \log_4 x$ ($y \ne 0$):
$y + 2 = \frac{3}{y}$

Умножим на $y$:
$y^2 + 2y = 3$
$y^2 + 2y - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$y_1 + y_2 = -2$
$y_1 \cdot y_2 = -3$
Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.

Вернемся к переменной $x$:
1) $\log_4 x = 1 \implies x = 4^1 = 4$.
2) $\log_4 x = -3 \implies x = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x=4, x=\frac{1}{64}$.

в) $\log_3 x - 2 = 3\log_x 3$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$.

Заменим $\log_x 3$ на $\frac{1}{\log_3 x}$:
$\log_3 x - 2 = 3 \cdot \frac{1}{\log_3 x}$

Сделаем замену $y = \log_3 x$ ($y \ne 0$):
$y - 2 = \frac{3}{y}$

Умножим на $y$:
$y^2 - 2y = 3$
$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$y_1 + y_2 = 2$
$y_1 \cdot y_2 = -3$
Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.

Вернемся к переменной $x$:
1) $\log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27$.
2) $\log_3 x = -1 \implies x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x=27, x=\frac{1}{3}$.

г) $\log_2 x + 6\log_x 2 = 5$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$.

Заменим $\log_x 2$ на $\frac{1}{\log_2 x}$:
$\log_2 x + 6 \cdot \frac{1}{\log_2 x} = 5$

Сделаем замену $y = \log_2 x$ ($y \ne 0$):
$y + \frac{6}{y} = 5$

Умножим на $y$:
$y^2 + 6 = 5y$
$y^2 - 5y + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$y_1 + y_2 = 5$
$y_1 \cdot y_2 = 6$
Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$.

Вернемся к переменной $x$:
1) $\log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$.
2) $\log_2 x = 3 \implies x = 2^3 = 8$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x=4, x=8$.

10.30* a) $\frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \sin x;$

б) $\frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \cos x - 1;$

В) $\frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} = \cos x;$

г) $\frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} = \sin x.$

a)

Исходное уравнение: $ \frac{1 - \text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x} = \sin x $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования тангенса: $ \cos x \neq 0 $, то есть $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла через тангенс: $ \cos(2x) = \frac{1 - \text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x} $.

Тогда уравнение принимает вид: $ \cos(2x) = \sin x $.

Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x $:

$ 1 - 2\sin^2 x = \sin x $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $ \sin x $:

$ 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 $

Сделаем замену $ t = \sin x $, где $ |t| \le 1 $:

$ 2t^2 + t - 1 = 0 $

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 $.

Корни: $ t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $ и $ t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1 $.

Возвращаемся к замене:

1. $ \sin x = \frac{1}{2} $. Решения: $ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти решения удовлетворяют ОДЗ, так как $ \cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0 $.

2. $ \sin x = -1 $. Решения: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $. Для этих значений $ \cos x = 0 $, что не входит в ОДЗ. Следовательно, это посторонние корни.

Ответ: $ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

б)

Исходное уравнение: $ \frac{1 - \text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x} = \cos x - 1 $.

ОДЗ: $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Используем формулу $ \cos(2x) = \frac{1 - \text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x} $:

$ \cos(2x) = \cos x - 1 $

Применим формулу $ \cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 $:

$ 2\cos^2 x - 1 = \cos x - 1 $

$ 2\cos^2 x - \cos x = 0 $

$ \cos x (2\cos x - 1) = 0 $

Получаем два случая:

1. $ \cos x = 0 $. Решения $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти значения не входят в ОДЗ, так как тангенс для них не определен. Это посторонние корни.

2. $ 2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} $. Решения: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $. Эти решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

в)

Исходное уравнение: $ \frac{2 \text{tg} x}{1 + \text{tg}^2 x} = \cos x $.

ОДЗ: $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла через тангенс: $ \sin(2x) = \frac{2 \text{tg} x}{1 + \text{tg}^2 x} $.

Уравнение принимает вид: $ \sin(2x) = \cos x $.

Применим формулу $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $:

$ 2\sin x \cos x = \cos x $

$ 2\sin x \cos x - \cos x = 0 $

$ \cos x (2\sin x - 1) = 0 $

Получаем два случая:

1. $ \cos x = 0 $. Решения $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти значения не входят в ОДЗ. Это посторонние корни.

2. $ 2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} $. Решения: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $. Эти решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

г)

Исходное уравнение: $ \frac{2 \text{tg} x}{1 + \text{tg}^2 x} = \sin x $.

ОДЗ: $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Используем формулу $ \sin(2x) = \frac{2 \text{tg} x}{1 + \text{tg}^2 x} $:

$ \sin(2x) = \sin x $

Применим формулу $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $:

$ 2\sin x \cos x = \sin x $

$ 2\sin x \cos x - \sin x = 0 $

$ \sin x (2\cos x - 1) = 0 $

Получаем два случая:

1. $ \sin x = 0 $. Решения: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $. Для этих значений $ \cos x = \cos(\pi n) = (-1)^n \neq 0 $. Решения удовлетворяют ОДЗ.

2. $ 2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} $. Решения: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти решения также удовлетворяют ОДЗ.

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $