Страница 284 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

11.1° Какие неравенства называют равносильными на множестве $M$?

11.1° Два неравенства называют равносильными (или эквивалентными) на множестве $M$, если множества их решений, принадлежащих этому множеству $M$, совпадают. Иными словами, любое число из множества $M$, которое обращает одно неравенство в верное числовое неравенство, обращает в верное и другое, и наоборот.

Если $X_1$ — это множество всех решений первого неравенства, а $X_2$ — множество всех решений второго, то их равносильность на множестве $M$ означает, что выполняется равенство $X_1 \cap M = X_2 \cap M$. Если два неравенства не имеют решений на множестве $M$, они также считаются равносильными на этом множестве, так как их множества решений на $M$ оба являются пустыми.

Пример:
Рассмотрим неравенства $x^2 > 9$ и $x > 3$.
Решением неравенства $x^2 > 9$ является множество $X_1 = (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.
Решением неравенства $x > 3$ является множество $X_2 = (3; +\infty)$.
На множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$ эти неравенства не равносильны, так как их множества решений $X_1$ и $X_2$ не совпадают.
Однако, если рассмотреть эти неравенства на множестве положительных чисел $M = (0; +\infty)$, то мы получим:
- Для первого неравенства: $X_1 \cap M = ((-\infty; -3) \cup (3; +\infty)) \cap (0; +\infty) = (3; +\infty)$.
- Для второго неравенства: $X_2 \cap M = (3; +\infty) \cap (0; +\infty) = (3; +\infty)$.
Поскольку множества решений на множестве $M$ совпадают, данные неравенства являются равносильными на множестве $M = (0; +\infty)$.

Ответ: Два неравенства называются равносильными на множестве $M$, если множество решений первого неравенства, принадлежащих $M$, совпадает с множеством решений второго неравенства, принадлежащих $M$.

11.2° a) Что называют равносильным переходом на множестве $M$ от одного неравенства к другому?

б) В каком случае говорят, что неравенства равносильны?

а) Пусть даны два неравенства с одной переменной $x$, например, $f_1(x) > g_1(x)$ и $f_2(x) > g_2(x)$, и задано некоторое числовое множество $M$, которое является подмножеством области допустимых значений (ОДЗ) для обоих неравенств. Переход от первого неравенства ко второму называют равносильным на множестве $M$, если множество решений первого неравенства, принадлежащих $M$, в точности совпадает с множеством решений второго неравенства, также принадлежащих $M$.

Другими словами, если обозначить множество решений первого неравенства как $X_1$, а второго — как $X_2$, то переход от первого неравенства ко второму является равносильным на множестве $M$, если выполняется равенство $X_1 \cap M = X_2 \cap M$.

Ответ: Равносильным переходом на множестве $M$ от одного неравенства к другому называют такой переход, при котором множество решений первого неравенства, входящих в $M$, совпадает с множеством решений второго неравенства, входящих в $M$.

б) Два неравенства называют равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Это значит, что любое решение первого неравенства является решением второго, и, наоборот, любое решение второго неравенства является решением первого. Обычно равносильность рассматривается на общей области определения этих неравенств.

Например, неравенства $5x > 10$ и $x - 2 > 0$ являются равносильными, поскольку решением каждого из них является множество всех чисел, больших 2, то есть интервал $(2; +\infty)$.

Также важно отметить, что два неравенства, не имеющие решений, также считаются равносильными. Например, неравенства $x^2 < -1$ и $|x| < -5$ равносильны, так как множество решений у обоих пустое (обозначается как $\emptyset$).

Ответ: Говорят, что неравенства равносильны, если множества их решений совпадают.

11.3° Приведите пример неравенств, равносильных:

a) на множестве положительных чисел;

б) на множестве отрицательных чисел;

в) на множестве всех действительных чисел.

а) на множестве положительных чисел;

Два неравенства называются равносильными на некотором множестве, если множества их решений, принадлежащие этому множеству, совпадают. Рассмотрим в качестве примера неравенства $x > 2$ и $x^2 > 4$ на множестве положительных чисел, то есть при $x > 0$.

1. Множество решений неравенства $x > 2$ — это интервал $(2, +\infty)$. Все числа из этого интервала положительны, поэтому на множестве положительных чисел решение не меняется: $(2, +\infty)$.

2. Решим неравенство $x^2 > 4$. Оно равносильно $x^2 - 4 > 0$, или $(x-2)(x+2) > 0$. Решением является объединение интервалов $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$. Чтобы найти решение на множестве положительных чисел, найдем пересечение этого множества с интервалом $(0, +\infty)$: $((-\infty, -2) \cup (2, +\infty)) \cap (0, +\infty) = (2, +\infty)$.

Поскольку множества решений обоих неравенств на множестве положительных чисел совпадают, данные неравенства равносильны на этом множестве. При этом на множестве всех действительных чисел они не равносильны, так как их множества решений $(2, +\infty)$ и $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ не совпадают.

Ответ: $x > 2$ и $x^2 > 4$.

б) на множестве отрицательных чисел;

Рассмотрим в качестве примера неравенства $x < -3$ и $x^2 > -3x$ на множестве отрицательных чисел, то есть при $x < 0$.

1. Множество решений неравенства $x < -3$ — это интервал $(-\infty, -3)$. Все числа из этого интервала являются отрицательными, поэтому это и есть решение на множестве отрицательных чисел.

2. Решим неравенство $x^2 > -3x$. Перенесем все слагаемые в левую часть: $x^2 + 3x > 0$. Разложим на множители: $x(x+3) > 0$. Решением является объединение интервалов $(-\infty, -3) \cup (0, +\infty)$. Чтобы найти решение на множестве отрицательных чисел, найдем пересечение этого множества с интервалом $(-\infty, 0)$: $((-\infty, -3) \cup (0, +\infty)) \cap (-\infty, 0) = (-\infty, -3)$.

Множества решений обоих неравенств на множестве отрицательных чисел совпадают и равны $(-\infty, -3)$, следовательно, неравенства равносильны на этом множестве.

Ответ: $x < -3$ и $x^2 > -3x$.

в) на множестве всех действительных чисел.

На множестве всех действительных чисел неравенства равносильны, если их множества решений полностью совпадают. Такие неравенства получаются друг из друга с помощью равносильных преобразований.

Рассмотрим в качестве примера неравенства $2x > 8$ и $x - 1 > 3$.

1. Решим неравенство $2x > 8$. Разделим обе части на положительное число 2, знак неравенства при этом сохраняется: $x > 4$. Множество решений — интервал $(4, +\infty)$.

2. Решим неравенство $x - 1 > 3$. Прибавим к обеим частям 1: $x > 3 + 1$, что дает $x > 4$. Множество решений — интервал $(4, +\infty)$.

Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, они являются равносильными на множестве всех действительных чисел.

Ответ: $2x > 8$ и $x - 1 > 3$.

11.4° Перечислите основные преобразования неравенств, приводящие данное неравенство к неравенству, равносильному ему на некотором множестве чисел.

Равносильным преобразованием неравенства на некотором множестве $M$ называется переход от одного неравенства к другому, имеющему то же самое множество решений, что и исходное, на множестве $M$. Обычно в качестве множества $M$ выступает область допустимых значений (ОДЗ) исходного неравенства.

Основные равносильные преобразования неравенств:

1. Перенос слагаемых из одной части неравенства в другую

Любой член неравенства можно перенести из одной его части в другую, изменив при этом его знак на противоположный. Это преобразование не меняет ОДЗ неравенства. Например, неравенство $f(x) + h(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) > g(x) - h(x)$.

Ответ: Перенос любого слагаемого из одной части неравенства в другую с противоположным знаком является равносильным преобразованием.

2. Умножение (деление) обеих частей неравенства на положительное число или выражение

Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя при этом знака неравенства. Также можно умножить (разделить) обе части неравенства на выражение $h(x)$, если известно, что на ОДЗ исходного неравенства $h(x) > 0$. Знак неравенства при этом сохраняется. Например, если $h(x) > 0$ на ОДЗ, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \cdot h(x) > g(x) \cdot h(x)$.

Ответ: Умножение или деление обеих частей неравенства на строго положительное число или выражение сохраняет знак неравенства и является равносильным преобразованием (на множестве, где это выражение определено и положительно).

3. Умножение (деление) обеих частей неравенства на отрицательное число или выражение

Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный. Также можно умножить (разделить) обе части неравенства на выражение $h(x)$, если известно, что на ОДЗ исходного неравенства $h(x) < 0$. Знак неравенства при этом необходимо изменить на противоположный. Например, если $h(x) < 0$ на ОДЗ, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \cdot h(x) < g(x) \cdot h(x)$.

Ответ: Умножение или деление обеих частей неравенства на строго отрицательное число или выражение с обязательным изменением знака неравенства на противоположный является равносильным преобразованием (на множестве, где это выражение определено и отрицательно).

4. Возведение обеих частей неравенства в нечетную степень

Обе части неравенства можно возвести в одну и ту же нечетную натуральную степень, при этом знак неравенства не изменится. Это следует из того, что функция $y=t^n$ при нечетном натуральном $n$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $(f(x))^{2k+1} > (g(x))^{2k+1}$, где $k \in \mathbb{N}$. Это преобразование не изменяет ОДЗ.

Ответ: Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную натуральную степень является равносильным преобразованием, сохраняющим знак неравенства.

5. Возведение обеих частей неравенства в четную степень

Если обе части неравенства $f(x) > g(x)$ неотрицательны на некотором множестве $M$ (входящем в ОДЗ), то на этом множестве оно равносильно неравенству $(f(x))^{2k} > (g(x))^{2k}$, где $k \in \mathbb{N}$. Если хотя бы одна из частей может быть отрицательной, такое преобразование не является равносильным. То есть, преобразование $f(x) > g(x) \Leftrightarrow f^{2k}(x) > g^{2k}(x)$ равносильно при условии $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$.

Ответ: Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же четную натуральную степень является равносильным преобразованием только на том множестве, где обе части неравенства неотрицательны; знак неравенства при этом сохраняется.

6. Применение монотонно возрастающей функции к обеим частям неравенства

Если функция $\phi(t)$ является монотонно возрастающей, то применение её к обеим частям неравенства сохраняет знак неравенства. Неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $\phi(f(x)) > \phi(g(x))$. При этом необходимо учитывать изменение ОДЗ: новое ОДЗ будет пересечением старого ОДЗ и условий, при которых выражения $\phi(f(x))$ и $\phi(g(x))$ имеют смысл. Примеры таких функций: $y = a^t$ при $a > 1$; $y = \log_a t$ при $a > 1$ (требует $f(x)>0, g(x)>0$).

Ответ: Применение монотонно возрастающей функции к обеим частям неравенства является равносильным преобразованием (с учетом ОДЗ), сохраняющим знак неравенства.

7. Применение монотонно убывающей функции к обеим частям неравенства

Если функция $\psi(t)$ является монотонно убывающей, то применение её к обеим частям неравенства изменяет знак неравенства на противоположный. Неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $\psi(f(x)) < \psi(g(x))$. Как и в предыдущем пункте, нужно учитывать ОДЗ. Примеры таких функций: $y = a^t$ при $0 < a < 1$; $y = \log_a t$ при $0 < a < 1$ (требует $f(x)>0, g(x)>0$).

Ответ: Применение монотонно убывающей функции к обеим частям неравенства является равносильным преобразованием (с учетом ОДЗ), которое изменяет знак неравенства на противоположный.

11.5 Объясните, в результате какого преобразования из первого неравенства получено второе:

а) $sin x > cos x, sin^2 x > cos^2 x;$

б) $x^4 > 5, x > \sqrt[4]{5};$

в) $\log_3 tg x > \log_3 \sqrt{3}, tg x > \sqrt{3};$

г) $\log_{0.2} (x^2 + 3) > \log_{0.2} 4x, x^2 + 3 < 4x;$

д) $sin x + \sqrt{x} > sin 2x + \sqrt{x}, sin x > sin 2x;$

е) $\frac{x^2 - 5x}{\lg x} > \frac{-6}{\lg x}, x^2 - 5x > -6;$

ж) $\frac{x^2 - 5x}{\lg x} > \frac{-6}{\lg x}, x^2 - 5x < -6;$

з) $\log_2 x + \log_2 (x + 1) > 1, \log_2 (x^2 + x) > 1;$

и) $\sqrt{x} \sqrt{x + 1} < \sqrt{2}, \sqrt{x^2 + x} < \sqrt{2}.$

В каждом случае выясните, на каком множестве равносильны первое и второе неравенства.

а) $sin x > cos x, sin^2 x > cos^2 x$

Второе неравенство $sin^2 x > cos^2 x$ получено из первого $sin x > cos x$ путем возведения обеих частей в квадрат. Возведение в квадрат обеих частей неравенства $a > b$ является равносильным преобразованием (то есть приводит к верному неравенству $a^2 > b^2$) тогда и только тогда, когда сумма $a+b$ имеет тот же знак, что и разность $a-b$. В нашем случае неравенство $sin x > cos x$ означает, что разность $sin x - cos x$ положительна. Следовательно, для равносильности необходимо, чтобы сумма $sin x + cos x$ также была положительна.

Неравенство $sin^2 x > cos^2 x$ равносильно $sin^2 x - cos^2 x > 0$, или $(sin x - cos x)(sin x + cos x) > 0$. Так как по условию первого неравенства $sin x - cos x > 0$, то равносильность двух неравенств будет соблюдаться на множестве, где $sin x + cos x > 0$.

Решим неравенство $sin x + cos x > 0$:

$ \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}cos x) > 0 $

$ \sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4}) > 0 $

$ sin(x + \frac{\pi}{4}) > 0 $

Это выполняется, когда $2\pi k < x + \frac{\pi}{4} < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда, $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Преобразование — возведение обеих частей неравенства в квадрат. Неравенства равносильны на множестве $x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

б) $x^4 > 5, x > \sqrt[4]{5}$

Второе неравенство $x > \sqrt[4]{5}$ получено из первого $x^4 > 5$ путем извлечения корня четвертой степени из обеих частей. Это преобразование не является равносильным в общем случае, так как функция $y=x^4$ не является монотонной на всей числовой оси. Преобразование было бы равносильным, если бы мы искали решения на множестве $x \ge 0$.

Чтобы найти множество, на котором неравенства равносильны, нужно найти все значения $x$, для которых утверждения $x^4 > 5$ и $x > \sqrt[4]{5}$ имеют одинаковое значение истинности (оба истинны или оба ложны).

1. Оба неравенства истинны. Решение $x^4 > 5$ это $x \in (-\infty; -\sqrt[4]{5}) \cup (\sqrt[4]{5}; +\infty)$. Решение $x > \sqrt[4]{5}$ это $x \in (\sqrt[4]{5}; +\infty)$. Пересечение этих множеств: $x \in (\sqrt[4]{5}; +\infty)$.

2. Оба неравенства ложны. Утверждение $x^4 > 5$ ложно, когда $x^4 \le 5$, то есть $x \in [-\sqrt[4]{5}; \sqrt[4]{5}]$. Утверждение $x > \sqrt[4]{5}$ ложно, когда $x \le \sqrt[4]{5}$. Пересечение этих множеств: $x \in [-\sqrt[4]{5}; \sqrt[4]{5}]$.

Объединяя оба случая, получаем множество, на котором неравенства равносильны: $[-\sqrt[4]{5}; \sqrt[4]{5}] \cup (\sqrt[4]{5}; +\infty)$, что равно $x \ge -\sqrt[4]{5}$.

Ответ: Преобразование — извлечение корня четвертой степени из обеих частей, что сужает множество решений. Неравенства равносильны на множестве $x \in [-\sqrt[4]{5}; +\infty)$.

в) $\log_3 \tg x > \log_3 \sqrt{3}, \tg x > \sqrt{3}$

Второе неравенство получено из первого путем потенцирования. Так как логарифмическая функция с основанием $a=3 > 1$ является строго возрастающей, то из неравенства $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ следует $f(x) > g(x)$ на области определения исходного неравенства.

Область определения неравенства $\log_3 \tg x > \log_3 \sqrt{3}$ задается условием $\tg x > 0$ (так как под вторым логарифмом стоит $\sqrt{3} > 0$). Любое решение второго неравенства $\tg x > \sqrt{3}$ удовлетворяет условию $\tg x > 0$. Следовательно, преобразование является равносильным, и неравенства равносильны на всей области определения первого неравенства.

$\tg x > 0$ при $x \in (k\pi; \frac{\pi}{2} + k\pi)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Преобразование — потенцирование по основанию 3. Неравенства равносильны на области определения первого неравенства, то есть на множестве $x \in (k\pi; \frac{\pi}{2} + k\pi)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

г) $\log_{0,2} (x^2 + 3) > \log_{0,2} 4x, x^2 + 3 < 4x$

Второе неравенство получено из первого путем потенцирования. Так как логарифмическая функция с основанием $a=0,2$, где $0 < a < 1$, является строго убывающей, то из неравенства $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ следует $f(x) < g(x)$ на области определения исходного неравенства.

Область определения первого неравенства задается системой условий: $x^2+3 > 0$ (верно для всех $x \in \mathbb{R}$) и $4x > 0$, что дает $x > 0$. На этом множестве данное преобразование является равносильным.

Ответ: Преобразование — потенцирование по основанию 0,2 с изменением знака неравенства на противоположный. Неравенства равносильны на области определения первого неравенства, то есть на множестве $x \in (0; +\infty)$.

д) $\sin x + \sqrt{x} > \sin 2x + \sqrt{x}, \sin x > \sin 2x$

Второе неравенство получено из первого путем вычитания из обеих частей слагаемого $\sqrt{x}$. Это преобразование является равносильным на множестве тех $x$, для которых выражение $\sqrt{x}$ определено.

Выражение $\sqrt{x}$ определено при $x \ge 0$. Следовательно, это и есть множество, на котором данные неравенства равносильны.

Ответ: Преобразование — вычитание слагаемого $\sqrt{x}$ из обеих частей. Неравенства равносильны на области определения первого неравенства, то есть на множестве $x \in [0; +\infty)$.

e) $\frac{x^2 - 5x}{\lg x} > \frac{-6}{\lg x}, x^2 - 5x > -6$

Второе неравенство получено из первого путем умножения обеих частей на $\lg x$. При умножении неравенства на некоторое выражение знак неравенства сохраняется, если это выражение положительно.

Неравенство $\lg x > 0$ выполняется при $x > 1$. Область определения исходного неравенства: $x>0$ и $x \ne 1$. Таким образом, преобразование, сохраняющее знак, было выполнено в предположении, что $x>1$. На этом множестве неравенства равносильны.

Ответ: Преобразование — умножение на $\lg x$ при условии $\lg x > 0$. Неравенства равносильны на множестве $x \in (1; +\infty)$.

ж) $\frac{x^2 - 5x}{\lg x} > \frac{-6}{\lg x}, x^2 - 5x < -6$

Второе неравенство получено из первого путем умножения обеих частей на $\lg x$. При умножении неравенства на некоторое выражение знак неравенства меняется на противоположный, если это выражение отрицательно.

Неравенство $\lg x < 0$ выполняется при $0 < x < 1$. На этом множестве данное преобразование является равносильным.

Ответ: Преобразование — умножение на $\lg x$ при условии $\lg x < 0$. Неравенства равносильны на множестве $x \in (0; 1)$.

з) $\log_2 x + \log_2 (x + 1) > 1, \log_2(x^2 + x) > 1$

Второе неравенство получено из первого с использованием свойства логарифмов $\log_a M + \log_a N = \log_a(MN)$. Это преобразование является равносильным тогда и только тогда, когда оба выражения под знаком логарифма в левой части положительны, то есть $M>0$ и $N>0$.

В данном случае $M=x, N=x+1$. Условия равносильности: $x>0$ и $x+1>0$. Решением этой системы является $x>0$. Это множество и является областью определения первого неравенства и множеством, на котором неравенства равносильны.

Ответ: Преобразование — применение свойства суммы логарифмов. Неравенства равносильны на общей области определения слагаемых $\log_2 x$ и $\log_2 (x+1)$, то есть на множестве $x \in (0; +\infty)$.

и) $\sqrt{x} \sqrt{x+1} < \sqrt{2}, \sqrt{x^2+x} < \sqrt{2}$

Второе неравенство получено из первого с использованием свойства произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$. Это преобразование является равносильным тогда и только тогда, когда оба подкоренных выражения неотрицательны, то есть $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

В данном случае $a=x, b=x+1$. Условия равносильности: $x \ge 0$ и $x+1 \ge 0$. Решением этой системы является $x \ge 0$. Это множество является областью определения первого неравенства и множеством, на котором неравенства равносильны.

Ответ: Преобразование — применение свойства произведения квадратных корней. Неравенства равносильны на общей области определения множителей $\sqrt{x}$ и $\sqrt{x+1}$, то есть на множестве $x \in [0; +\infty)$.