Страница 288 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

11.8 a) $\sqrt{x+1} < x-1;$

б) $\sqrt{x+4} < x+2;$

в) $\sqrt{x+1} < x+1;$

г) $\sqrt{x+4} < x-2.$

a)

Решим неравенство $\sqrt{x+1} < x-1$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе неравенств, так как обе части неравенства должны быть неотрицательны для возведения в квадрат:

$ \begin{cases} x+1 \ge 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \\ x-1 > 0 & \text{(правая часть больше левой, которая неотрицательна)} \\ (\sqrt{x+1})^2 < (x-1)^2 & \text{(возводим в квадрат обе части)} \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

2. $x-1 > 0 \implies x > 1$.

3. $x+1 < (x-1)^2 \implies x+1 < x^2 - 2x + 1 \implies 0 < x^2 - 3x \implies x(x-3) > 0$.

Решением квадратного неравенства $x(x-3) > 0$ являются интервалы $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Из первых двух следует, что $x > 1$. Совместим это с решением третьего неравенства:

$x \in (1, \infty) \cap ((-\infty, 0) \cup (3, \infty))$.

Общим решением является интервал $(3, \infty)$.

Ответ: $x \in (3, \infty)$.

б)

Решим неравенство $\sqrt{x+4} < x+2$.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x+4 \ge 0 \\ x+2 > 0 \\ x+4 < (x+2)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1. $x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$.

2. $x+2 > 0 \implies x > -2$.

3. $x+4 < (x+2)^2 \implies x+4 < x^2 + 4x + 4 \implies 0 < x^2 + 3x \implies x(x+3) > 0$.

Решением квадратного неравенства $x(x+3) > 0$ являются интервалы $x \in (-\infty, -3) \cup (0, \infty)$.

Найдем пересечение решений. Из первых двух неравенств следует, что $x > -2$. Совместим это с решением третьего неравенства:

$x \in (-2, \infty) \cap ((-\infty, -3) \cup (0, \infty))$.

Общим решением является интервал $(0, \infty)$.

Ответ: $x \in (0, \infty)$.

в)

Решим неравенство $\sqrt{x+1} < x+1$.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x+1 > 0 \\ x+1 < (x+1)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1. $x+1 > 0 \implies x > -1$. (Это условие более строгое, чем $x+1 \ge 0$, поэтому используем его).

2. $x+1 < (x+1)^2$. Перенесем все в одну сторону и разложим на множители:

$(x+1)^2 - (x+1) > 0$

$(x+1)((x+1) - 1) > 0$

$(x+1)x > 0$.

Решением этого неравенства являются интервалы $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x > -1$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

$x \in (-1, \infty) \cap ((-\infty, -1) \cup (0, \infty))$.

Общим решением является интервал $(0, \infty)$.

Ответ: $x \in (0, \infty)$.

г)

Решим неравенство $\sqrt{x+4} < x-2$.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x+4 \ge 0 \\ x-2 > 0 \\ x+4 < (x-2)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1. $x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$.

2. $x-2 > 0 \implies x > 2$.

3. $x+4 < (x-2)^2 \implies x+4 < x^2 - 4x + 4 \implies 0 < x^2 - 5x \implies x(x-5) > 0$.

Решением квадратного неравенства $x(x-5) > 0$ являются интервалы $x \in (-\infty, 0) \cup (5, \infty)$.

Найдем пересечение решений. Из первых двух неравенств следует, что $x > 2$. Совместим это с решением третьего неравенства:

$x \in (2, \infty) \cap ((-\infty, 0) \cup (5, \infty))$.

Общим решением является интервал $(5, \infty)$.

Ответ: $x \in (5, \infty)$.

11.9 а) $\sqrt{x+1} > x-1;$

B) $\sqrt{2x+1} > x-1;$

б) $\sqrt{x+4} > x-2;$

Г) $\sqrt{3x+4} > x-2.$

а) Решим иррациональное неравенство $\sqrt{x+1} > x-1$.
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем.

1. Первый случай, когда правая часть неравенства отрицательна. Неравенство будет верным для всех $x$ из области допустимых значений (ОДЗ) подкоренного выражения.
$ \begin{cases} x-1 < 0 \\ x+1 \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 1 \\ x \ge -1 \end{cases} $
Решением этой системы является промежуток $x \in [-1, 1)$.

2. Второй случай, когда правая часть неравенства неотрицательна. В этом случае обе части неравенства можно возвести в квадрат.
$ \begin{cases} x-1 \ge 0 \\ (\sqrt{x+1})^2 > (x-1)^2 \end{cases} $
Решаем второе неравенство системы:
$x+1 > x^2 - 2x + 1$
$0 > x^2 - 3x$
$x(x-3) < 0$
Решением этого квадратного неравенства является интервал $(0, 3)$.
Теперь вернемся к системе и найдем пересечение полученного решения с условием $x-1 \ge 0$:
$ \begin{cases} x \ge 1 \\ 0 < x < 3 \end{cases} $
Решением этой системы является промежуток $x \in [1, 3)$.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, получаем окончательный ответ:
$[-1, 1) \cup [1, 3) = [-1, 3)$.
Ответ: $x \in [-1, 3)$.

б) Решим иррациональное неравенство $\sqrt{x+4} > x-2$.
Неравенство равносильно совокупности двух систем.

1. Случай, когда $x-2 < 0$.
$ \begin{cases} x-2 < 0 \\ x+4 \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 2 \\ x \ge -4 \end{cases} $
Решение системы: $x \in [-4, 2)$.

2. Случай, когда $x-2 \ge 0$. Возводим обе части в квадрат.
$ \begin{cases} x-2 \ge 0 \\ x+4 > (x-2)^2 \end{cases} $
Решаем второе неравенство:
$x+4 > x^2 - 4x + 4$
$0 > x^2 - 5x$
$x(x-5) < 0$
Решение: $x \in (0, 5)$.
Находим пересечение с условием $x-2 \ge 0$:
$ \begin{cases} x \ge 2 \\ x \in (0, 5) \end{cases} $
Решение системы: $x \in [2, 5)$.

Объединяем решения из двух случаев:
$[-4, 2) \cup [2, 5) = [-4, 5)$.
Ответ: $x \in [-4, 5)$.

в) Решим иррациональное неравенство $\sqrt{2x+1} > x-1$.
Неравенство равносильно совокупности двух систем.

1. Случай, когда $x-1 < 0$.
$ \begin{cases} x-1 < 0 \\ 2x+1 \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 1 \\ x \ge -1/2 \end{cases} $
Решение системы: $x \in [-1/2, 1)$.

2. Случай, когда $x-1 \ge 0$. Возводим обе части в квадрат.
$ \begin{cases} x-1 \ge 0 \\ 2x+1 > (x-1)^2 \end{cases} $
Решаем второе неравенство:
$2x+1 > x^2 - 2x + 1$
$0 > x^2 - 4x$
$x(x-4) < 0$
Решение: $x \in (0, 4)$.
Находим пересечение с условием $x-1 \ge 0$:
$ \begin{cases} x \ge 1 \\ x \in (0, 4) \end{cases} $
Решение системы: $x \in [1, 4)$.

Объединяем решения из двух случаев:
$[-1/2, 1) \cup [1, 4) = [-1/2, 4)$.
Ответ: $x \in [-1/2, 4)$.

г) Решим иррациональное неравенство $\sqrt{3x+4} > x-2$.
Неравенство равносильно совокупности двух систем.

1. Случай, когда $x-2 < 0$.
$ \begin{cases} x-2 < 0 \\ 3x+4 \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 2 \\ x \ge -4/3 \end{cases} $
Решение системы: $x \in [-4/3, 2)$.

2. Случай, когда $x-2 \ge 0$. Возводим обе части в квадрат.
$ \begin{cases} x-2 \ge 0 \\ 3x+4 > (x-2)^2 \end{cases} $
Решаем второе неравенство:
$3x+4 > x^2 - 4x + 4$
$0 > x^2 - 7x$
$x(x-7) < 0$
Решение: $x \in (0, 7)$.
Находим пересечение с условием $x-2 \ge 0$:
$ \begin{cases} x \ge 2 \\ x \in (0, 7) \end{cases} $
Решение системы: $x \in [2, 7)$.

Объединяем решения из двух случаев:
$[-4/3, 2) \cup [2, 7) = [-4/3, 7)$.
Ответ: $x \in [-4/3, 7)$.

11.10 a) $\sqrt{3-x} > x-1;$

В) $\sqrt{5-x} > x-3;$

б) $\sqrt{6-x} > 3x-4;$

г) $\sqrt{4-x} > 2x-5.$

а) $\sqrt{3 - x} > x - 1$

Решение данного иррационального неравенства равносильно совокупности двух систем.
Система 1: Правая часть неравенства отрицательна, а подкоренное выражение неотрицательно.
$ \begin{cases} x - 1 < 0 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 1 \\ x \le 3 \end{cases} $
Решением этой системы является интервал $x \in (-\infty; 1)$.
Система 2: Правая часть неравенства неотрицательна, и мы можем возвести обе части в квадрат.
$ \begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ (\sqrt{3 - x})^2 > (x - 1)^2 \end{cases} $
$ \begin{cases} x \ge 1 \\ 3 - x > x^2 - 2x + 1 \end{cases} $
Решим второе неравенство системы: $3 - x > x^2 - 2x + 1$ $x^2 - x - 2 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - x - 2 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-1; 2)$.
Теперь найдем пересечение решений системы 2:
$ \begin{cases} x \ge 1 \\ -1 < x < 2 \end{cases} $
Решением этой системы является полуинтервал $x \in [1; 2)$.
Объединение решений:
Объединяем решения обеих систем: $(-\infty; 1) \cup [1; 2) = (-\infty; 2)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

б) $\sqrt{6 - x} > 3x - 4$

Решаем аналогично, рассматривая совокупность двух систем.
Система 1:
$ \begin{cases} 3x - 4 < 0 \\ 6 - x \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} 3x < 4 \\ x \le 6 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < \frac{4}{3} \\ x \le 6 \end{cases} $
Решением этой системы является $x \in (-\infty; \frac{4}{3})$.
Система 2:
$ \begin{cases} 3x - 4 \ge 0 \\ 6 - x > (3x - 4)^2 \end{cases} $
$ \begin{cases} x \ge \frac{4}{3} \\ 6 - x > 9x^2 - 24x + 16 \end{cases} $
Решим второе неравенство: $9x^2 - 23x + 10 < 0$.
Найдем корни уравнения $9x^2 - 23x + 10 = 0$.
Дискриминант $D = (-23)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 10 = 529 - 360 = 169 = 13^2$.
$x_1 = \frac{23 - 13}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$
$x_2 = \frac{23 + 13}{18} = \frac{36}{18} = 2$
Неравенство выполняется между корнями: $x \in (\frac{5}{9}; 2)$.
Найдем пересечение решений системы 2:
$ \begin{cases} x \ge \frac{4}{3} \\ \frac{5}{9} < x < 2 \end{cases} $
Так как $\frac{4}{3} = \frac{12}{9}$, то $\frac{4}{3} > \frac{5}{9}$. Решением является $x \in [\frac{4}{3}; 2)$.
Объединение решений:
$(-\infty; \frac{4}{3}) \cup [\frac{4}{3}; 2) = (-\infty; 2)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

в) $\sqrt{5 - x} > x - 3$

Рассмотрим совокупность двух систем.
Система 1:
$ \begin{cases} x - 3 < 0 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 3 \\ x \le 5 \end{cases} $
Решение: $x \in (-\infty; 3)$.
Система 2:
$ \begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ 5 - x > (x - 3)^2 \end{cases} $
$ \begin{cases} x \ge 3 \\ 5 - x > x^2 - 6x + 9 \end{cases} $
Решим второе неравенство: $x^2 - 5x + 4 < 0$.
Корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ равны $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Неравенство выполняется при $x \in (1; 4)$.
Найдем пересечение решений системы 2:
$ \begin{cases} x \ge 3 \\ 1 < x < 4 \end{cases} $
Решение: $x \in [3; 4)$.
Объединение решений:
$(-\infty; 3) \cup [3; 4) = (-\infty; 4)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 4)$.

г) $\sqrt{4 - x} > 2x - 5$

Рассмотрим совокупность двух систем.
Система 1:
$ \begin{cases} 2x - 5 < 0 \\ 4 - x \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} 2x < 5 \\ x \le 4 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 2.5 \\ x \le 4 \end{cases} $
Решение: $x \in (-\infty; 2.5)$.
Система 2:
$ \begin{cases} 2x - 5 \ge 0 \\ 4 - x > (2x - 5)^2 \end{cases} $
$ \begin{cases} x \ge 2.5 \\ 4 - x > 4x^2 - 20x + 25 \end{cases} $
Решим второе неравенство: $4x^2 - 19x + 21 < 0$.
Найдем корни уравнения $4x^2 - 19x + 21 = 0$.
Дискриминант $D = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 21 = 361 - 336 = 25 = 5^2$.
$x_1 = \frac{19 - 5}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1.75$
$x_2 = \frac{19 + 5}{8} = \frac{24}{8} = 3$
Неравенство выполняется при $x \in (1.75; 3)$.
Найдем пересечение решений системы 2:
$ \begin{cases} x \ge 2.5 \\ 1.75 < x < 3 \end{cases} $
Решение: $x \in [2.5; 3)$.
Объединение решений:
$(-\infty; 2.5) \cup [2.5; 3) = (-\infty; 3)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

11.11 а) $\sqrt{6x + 7} > x + 2$;

б) $\sqrt{5x + 6} > x + 2$;

В) $\sqrt{6x - 2} > x + 1$;

Г) $\sqrt{5x - 1} > x + 1$.

а) Решим неравенство $\sqrt{6x+7} > x+2$.
Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности (объединению решений) двух систем:
1) Случай, когда правая часть отрицательна. Неравенство будет верным для всех $x$ из области определения подкоренного выражения.
$\left\{ \begin{array}{l} x+2 < 0 \\ 6x+7 \ge 0 \end{array} \right. \implies \left\{ \begin{array}{l} x < -2 \\ x \ge -7/6 \end{array} \right.$
Эта система не имеет решений, так как интервалы $x < -2$ и $x \ge -1.1(6)$ не пересекаются.

2) Случай, когда правая часть неотрицательна. Можно возвести обе части в квадрат.
$\left\{ \begin{array}{l} x+2 \ge 0 \\ 6x+7 > (x+2)^2 \end{array} \right.$
Из первого неравенства получаем $x \ge -2$.
Решим второе неравенство:
$6x+7 > x^2 + 4x + 4$
$0 > x^2 - 2x - 3$
$x^2 - 2x - 3 < 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Так как ветви параболы $y=x^2 - 2x - 3$ направлены вверх, решение неравенства $x^2 - 2x - 3 < 0$ есть интервал $(-1, 3)$.
Теперь найдем пересечение решений системы: $x \ge -2$ и $-1 < x < 3$. Пересечением является интервал $(-1, 3)$.

Общее решение неравенства — это объединение решений обеих систем. Так как первая система не имеет решений, итоговый ответ — решение второй системы.
Ответ: $x \in (-1, 3)$.

б) Решим неравенство $\sqrt{5x+6} > x+2$.
Неравенство равносильно совокупности двух систем:
1) $\left\{ \begin{array}{l} x+2 < 0 \\ 5x+6 \ge 0 \end{array} \right. \implies \left\{ \begin{array}{l} x < -2 \\ x \ge -6/5 \end{array} \right.$
Система не имеет решений, так как $-2 < -1.2$.

2) $\left\{ \begin{array}{l} x+2 \ge 0 \\ 5x+6 > (x+2)^2 \end{array} \right.$
Из первого неравенства: $x \ge -2$.
Решим второе неравенство:
$5x+6 > x^2 + 4x + 4$
$0 > x^2 - x - 2$
$x^2 - x - 2 < 0$
Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Решение квадратного неравенства: $x \in (-1, 2)$.
Пересекая с условием $x \ge -2$, получаем $x \in (-1, 2)$.

Объединяя решения двух систем, получаем итоговый результат.
Ответ: $x \in (-1, 2)$.

в) Решим неравенство $\sqrt{6x-2} > x+1$.
Неравенство равносильно совокупности двух систем:
1) $\left\{ \begin{array}{l} x+1 < 0 \\ 6x-2 \ge 0 \end{array} \right. \implies \left\{ \begin{array}{l} x < -1 \\ x \ge 1/3 \end{array} \right.$
Система не имеет решений.

2) $\left\{ \begin{array}{l} x+1 \ge 0 \\ 6x-2 > (x+1)^2 \end{array} \right.$
Из первого неравенства: $x \ge -1$.
Решим второе неравенство:
$6x-2 > x^2 + 2x + 1$
$0 > x^2 - 4x + 3$
$x^2 - 4x + 3 < 0$
Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Решение квадратного неравенства: $x \in (1, 3)$.
Пересекая с условием $x \ge -1$, получаем $x \in (1, 3)$.

Объединяя решения двух систем, получаем итоговый результат.
Ответ: $x \in (1, 3)$.

г) Решим неравенство $\sqrt{5x-1} > x+1$.
Неравенство равносильно совокупности двух систем:
1) $\left\{ \begin{array}{l} x+1 < 0 \\ 5x-1 \ge 0 \end{array} \right. \implies \left\{ \begin{array}{l} x < -1 \\ x \ge 1/5 \end{array} \right.$
Система не имеет решений.

2) $\left\{ \begin{array}{l} x+1 \ge 0 \\ 5x-1 > (x+1)^2 \end{array} \right.$
Из первого неравенства: $x \ge -1$.
Решим второе неравенство:
$5x-1 > x^2 + 2x + 1$
$0 > x^2 - 3x + 2$
$x^2 - 3x + 2 < 0$
Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Решение квадратного неравенства: $x \in (1, 2)$.
Пересекая с условием $x \ge -1$, получаем $x \in (1, 2)$.

Объединяя решения двух систем, получаем итоговый результат.
Ответ: $x \in (1, 2)$.

11.12 a) $\sqrt{-x^2 - 5x} > \sqrt{-x - 3};$

Б) $\sqrt{x^2 - x} > \sqrt{3x - 1};$

б) $\sqrt{x^2 - 6x} > \sqrt{-x - 1};$

г) $\sqrt{x^2 - 7x} > \sqrt{-x - 2}.$

а) Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой подкоренное выражение $g(x)$ неотрицательно, а подкоренное выражение $f(x)$ больше, чем $g(x)$.
Исходное неравенство $\sqrt{-x^2 - 5x} > \sqrt{-x - 3}$ равносильно системе:
$\begin{cases}-x^2 - 5x > -x - 3 \\-x - 3 \ge 0\end{cases}$
Решим первое неравенство системы:
$-x^2 - 5x > -x - 3$
$-x^2 - 4x + 3 > 0$
$x^2 + 4x - 3 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-3) = 16 + 12 = 28$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -2 \pm \sqrt{7}$
Ветви параболы $y = x^2 + 4x - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 4x - 3 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-2 - \sqrt{7}; -2 + \sqrt{7})$.
Решим второе неравенство системы:
$-x - 3 \ge 0$
$-x \ge 3$
$x \le -3$
Найдем пересечение полученных решений: $x \in (-2 - \sqrt{7}; -2 + \sqrt{7})$ и $x \le -3$.
Оценим значения корней. Так как $2 < \sqrt{7} < 3$, то $-2 - 3 < -2 - \sqrt{7} < -2 - 2$, то есть $-5 < -2 - \sqrt{7} < -4$.
Пересечением множеств является промежуток $(-2 - \sqrt{7}; -3]$.
Ответ: $x \in (-2 - \sqrt{7}; -3]$.

б) Исходное неравенство $\sqrt{x^2 - 6x} > \sqrt{-x - 1}$ равносильно системе:
$\begin{cases}x^2 - 6x > -x - 1 \\-x - 1 \ge 0\end{cases}$
Решим первое неравенство:
$x^2 - 5x + 1 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 1 = 0$.
$D = (-5)^2 - 4(1)(1) = 25 - 4 = 21$
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 5x + 1 > 0$ выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty; \frac{5 - \sqrt{21}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{21}}{2}; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$-x - 1 \ge 0$
$x \le -1$
Найдем пересечение множеств. Оценим значение $\frac{5 - \sqrt{21}}{2}$. Так как $4 < \sqrt{21} < 5$, то $0 < 5 - \sqrt{21} < 1$, и $0 < \frac{5 - \sqrt{21}}{2} < 0.5$.
Следовательно, $-1 < \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$.
Пересечением множеств $(-\infty; \frac{5 - \sqrt{21}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{21}}{2}; +\infty)$ и $(-\infty; -1]$ является промежуток $(-\infty; -1]$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1]$.

в) Исходное неравенство $\sqrt{x^2 - x} > \sqrt{3x - 1}$ равносильно системе:
$\begin{cases}x^2 - x > 3x - 1 \\3x - 1 \ge 0\end{cases}$
Решим первое неравенство:
$x^2 - 4x + 1 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$.
$D = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12$
$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$
Решение неравенства $x^2 - 4x + 1 > 0$ есть $x \in (-\infty; 2 - \sqrt{3}) \cup (2 + \sqrt{3}; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$3x - 1 \ge 0$
$3x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{3}$
Найдем пересечение. Сравним $2 - \sqrt{3}$ и $\frac{1}{3}$.
$2 - \sqrt{3} \vee \frac{1}{3} \iff 2 - \frac{1}{3} \vee \sqrt{3} \iff \frac{5}{3} \vee \sqrt{3}$.
Возведем в квадрат, так как обе части положительны: $\frac{25}{9} \vee 3 \iff 25 \vee 27$. Так как $25 < 27$, то $2 - \sqrt{3} < \frac{1}{3}$.
Пересечением множеств $(-\infty; 2 - \sqrt{3}) \cup (2 + \sqrt{3}; +\infty)$ и $[\frac{1}{3}; +\infty)$ является промежуток $(2 + \sqrt{3}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (2 + \sqrt{3}; +\infty)$.

г) Исходное неравенство $\sqrt{x^2 - 7x} > \sqrt{-x - 2}$ равносильно системе:
$\begin{cases}x^2 - 7x > -x - 2 \\-x - 2 \ge 0\end{cases}$
Решим первое неравенство:
$x^2 - 6x + 2 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 2 = 0$.
$D = (-6)^2 - 4(1)(2) = 36 - 8 = 28$
$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 3 \pm \sqrt{7}$
Решение неравенства $x^2 - 6x + 2 > 0$ есть $x \in (-\infty; 3 - \sqrt{7}) \cup (3 + \sqrt{7}; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$-x - 2 \ge 0$
$x \le -2$
Найдем пересечение. Сравним $3 - \sqrt{7}$ и $-2$.
$3 - \sqrt{7} \vee -2 \iff 5 \vee \sqrt{7}$.
Возведем в квадрат: $25 \vee 7$. Так как $25 > 7$, то $3 - \sqrt{7} > -2$.
Пересечением множеств $(-\infty; 3 - \sqrt{7}) \cup (3 + \sqrt{7}; +\infty)$ и $(-\infty; -2]$ является промежуток $(-\infty; -2]$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2]$.

11.13 а) $|3x + 2| > |2x + 3|;$

В) $|\frac{3}{4}x - 2| > |2x - \frac{3}{4}|;$

б) $|3x - 4| < |x - 4|;$

Г) $|5x - 3| > |x - 3|.$

a)

Решим неравенство $|3x+2| > |2x+3|$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(3x+2)^2 > (2x+3)^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$(3x+2)^2 - (2x+3)^2 > 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$((3x+2) - (2x+3))((3x+2) + (2x+3)) > 0$

$(3x+2-2x-3)(3x+2+2x+3) > 0$

$(x-1)(5x+5) > 0$

$5(x-1)(x+1) > 0$

Разделив обе части на 5, получим:

$(x-1)(x+1) > 0$

Решим полученное квадратное неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x_1=1$ и $x_2=-1$. Парабола $y=(x-1)(x+1)$ ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

б)

Решим неравенство $|3x-4| < |x-4|$.

Возведем обе части в квадрат:

$(3x-4)^2 < (x-4)^2$

Перенесем все в левую часть и применим формулу разности квадратов:

$(3x-4)^2 - (x-4)^2 < 0$

$((3x-4) - (x-4))((3x-4) + (x-4)) < 0$

$(3x-4-x+4)(3x-4+x-4) < 0$

$(2x)(4x-8) < 0$

$8x(x-2) < 0$

Разделив на 8, получим:

$x(x-2) < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x_1=0$ и $x_2=2$. Парабола $y=x(x-2)$ ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (0, 2)$.

в)

Решим неравенство $|\frac{3}{4}x-2| > |2x-\frac{3}{4}|$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\frac{3}{4}x-2)^2 > (2x-\frac{3}{4})^2$

Перенесем все в левую часть и применим формулу разности квадратов:

$(\frac{3}{4}x-2)^2 - (2x-\frac{3}{4})^2 > 0$

$((\frac{3}{4}x-2) - (2x-\frac{3}{4}))((\frac{3}{4}x-2) + (2x-\frac{3}{4})) > 0$

$(\frac{3}{4}x-2-2x+\frac{3}{4})(\frac{3}{4}x-2+2x-\frac{3}{4}) > 0$

$(\frac{3-8}{4}x - \frac{8-3}{4})(\frac{3+8}{4}x - \frac{8+3}{4}) > 0$

$(-\frac{5}{4}x - \frac{5}{4})(\frac{11}{4}x - \frac{11}{4}) > 0$

Вынесем общие множители за скобки:

$-\frac{5}{4}(x+1) \cdot \frac{11}{4}(x-1) > 0$

$-\frac{55}{16}(x+1)(x-1) > 0$

Умножим обе части на отрицательное число $-\frac{16}{55}$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$(x+1)(x-1) < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x_1=-1$ и $x_2=1$. Парабола $y=(x+1)(x-1)$ ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

г)

Решим неравенство $|5x-3| > |x-3|$.

Возведем обе части в квадрат:

$(5x-3)^2 > (x-3)^2$

Перенесем все в левую часть и применим формулу разности квадратов:

$(5x-3)^2 - (x-3)^2 > 0$

$((5x-3) - (x-3))((5x-3) + (x-3)) > 0$

$(5x-3-x+3)(5x-3+x-3) > 0$

$(4x)(6x-6) > 0$

$24x(x-1) > 0$

Разделив на 24, получим:

$x(x-1) > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x_1=0$ и $x_2=1$. Парабола $y=x(x-1)$ ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

11.14 a) $\sqrt{6x-3} < |x+1|$;

б) $\sqrt{6+3x} > |2x+1|$;

B) $\sqrt{5x-1} > |3x-1|$;

Г) $\sqrt{7x+2} > |x+2|.$

а) $\sqrt{6x - 3} < |x + 1|$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$6x - 3 \ge 0$
$6x \ge 3$
$x \ge \frac{1}{2}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$.

2. Обе части неравенства неотрицательны ($\sqrt{6x - 3} \ge 0$ и $|x + 1| \ge 0$), поэтому мы можем возвести обе части в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{6x - 3})^2 < (|x + 1|)^2$
$6x - 3 < (x + 1)^2$
$6x - 3 < x^2 + 2x + 1$
$0 < x^2 + 2x - 6x + 1 + 3$
$x^2 - 4x + 4 > 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство:
$x^2 - 4x + 4 > 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности:
$(x - 2)^2 > 0$
Квадрат любого числа, кроме нуля, является положительным числом. Выражение $(x - 2)^2$ равно нулю при $x = 2$. Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x = 2$.
Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
Необходимо, чтобы $x \ge \frac{1}{2}$ и $x \neq 2$.
Объединяя эти условия, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}, 2) \cup (2, +\infty)$.

б) $\sqrt{6 + 3x} > |2x + 1|$

1. Найдем ОДЗ:
$6 + 3x \ge 0$
$3x \ge -6$
$x \ge -2$
ОДЗ: $x \in [-2, +\infty)$.

2. Обе части неравенства неотрицательны, поэтому возводим их в квадрат:
$(\sqrt{6 + 3x})^2 > (|2x + 1|)^2$
$6 + 3x > (2x + 1)^2$
$6 + 3x > 4x^2 + 4x + 1$
$0 > 4x^2 + 4x - 3x + 1 - 6$
$4x^2 + x - 5 < 0$

3. Решим квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения $4x^2 + x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2$
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm 9}{2 \cdot 4}$
$x_1 = \frac{-1 - 9}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$
$x_2 = \frac{-1 + 9}{8} = \frac{8}{8} = 1$
Парабола $y = 4x^2 + x - 5$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $4x^2 + x - 5 < 0$ выполняется между корнями.
Решение: $x \in (-\frac{5}{4}, 1)$.

4. Учтем ОДЗ $x \ge -2$.
Поскольку $-2 < -\frac{5}{4}$, интервал $(-\frac{5}{4}, 1)$ полностью входит в область допустимых значений.

Ответ: $x \in (-\frac{5}{4}, 1)$.

в) $\sqrt{5x - 1} > |3x - 1|$

1. Найдем ОДЗ:
$5x - 1 \ge 0$
$5x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{5}$
ОДЗ: $x \in [\frac{1}{5}, +\infty)$.

2. Возведем в квадрат обе неотрицательные части неравенства:
$(\sqrt{5x - 1})^2 > (|3x - 1|)^2$
$5x - 1 > (3x - 1)^2$
$5x - 1 > 9x^2 - 6x + 1$
$0 > 9x^2 - 6x - 5x + 1 + 1$
$9x^2 - 11x + 2 < 0$

3. Решим квадратное неравенство $9x^2 - 11x + 2 < 0$. Найдем корни уравнения $9x^2 - 11x + 2 = 0$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 121 - 72 = 49 = 7^2$
$x_{1,2} = \frac{11 \pm 7}{2 \cdot 9}$
$x_1 = \frac{11 - 7}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$
$x_2 = \frac{11 + 7}{18} = \frac{18}{18} = 1$
Ветви параболы направлены вверх, значит, неравенство выполняется между корнями.
Решение: $x \in (\frac{2}{9}, 1)$.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ $x \ge \frac{1}{5}$.
Сравним $\frac{1}{5}$ и $\frac{2}{9}$. $\frac{1}{5} = \frac{9}{45}$, а $\frac{2}{9} = \frac{10}{45}$.
Так как $\frac{1}{5} < \frac{2}{9}$, ОДЗ $x \in [\frac{1}{5}, +\infty)$ и решение $x \in (\frac{2}{9}, 1)$ пересекаются на интервале $(\frac{2}{9}, 1)$.

Ответ: $x \in (\frac{2}{9}, 1)$.

г) $\sqrt{7x + 2} > |x + 2|$

1. Найдем ОДЗ:
$7x + 2 \ge 0$
$7x \ge -2$
$x \ge -\frac{2}{7}$
ОДЗ: $x \in [-\frac{2}{7}, +\infty)$.

2. Возведем в квадрат обе неотрицательные части неравенства:
$(\sqrt{7x + 2})^2 > (|x + 2|)^2$
$7x + 2 > (x + 2)^2$
$7x + 2 > x^2 + 4x + 4$
$0 > x^2 + 4x - 7x + 4 - 2$
$x^2 - 3x + 2 < 0$

3. Решим квадратное неравенство $x^2 - 3x + 2 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.
Решение: $x \in (1, 2)$.

4. Учтем ОДЗ $x \ge -\frac{2}{7}$.
Интервал $(1, 2)$ полностью содержится в области допустимых значений, так как $-\frac{2}{7} < 1$.

Ответ: $x \in (1, 2)$.

11.15 a) $\sqrt{x} < \sqrt[4]{x+3}$;

б) $\sqrt{x} > \sqrt[4]{x+4}$;

В) $\sqrt{x+1} > \sqrt[3]{2x+1}$;

Г) $\sqrt{x} < \sqrt[3]{3x-2}$.

а) Исходное неравенство: $\sqrt{x} < \sqrt[4]{x+3}$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого выражения под корнями должны быть неотрицательными:
$x \geq 0$
$x+3 \geq 0 \implies x \geq -3$
Пересечением этих условий является ОДЗ: $x \geq 0$.
2. На ОДЗ обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести обе части в 4-ю степень (наименьшее общее кратное степеней корней 2 и 4), знак неравенства при этом не изменится:
$(\sqrt{x})^4 < (\sqrt[4]{x+3})^4$
$x^2 < x+3$
$x^2 - x - 3 < 0$
3. Решим полученное квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = (-1)^2 - 4(1)(-3) = 1 + 12 = 13$
$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{13}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$
Так как ветви параболы $y = x^2 - x - 3$ направлены вверх, неравенство $x^2 - x - 3 < 0$ выполняется для значений $x$, находящихся между корнями:
$\frac{1 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$
4. Совместим полученное решение с ОДЗ ($x \geq 0$).
Заметим, что $\frac{1 - \sqrt{13}}{2} < 0$ (поскольку $\sqrt{13} > \sqrt{1} = 1$).
Пересечением множеств $x \in (\frac{1 - \sqrt{13}}{2}, \frac{1 + \sqrt{13}}{2})$ и $x \in [0, +\infty)$ является полуинтервал $[0, \frac{1 + \sqrt{13}}{2})$.
Ответ: $x \in [0, \frac{1 + \sqrt{13}}{2})$.

б) Исходное неравенство: $\sqrt{x} > \sqrt[4]{x+4}$.
1. ОДЗ:
$x \geq 0$
$x+4 \geq 0 \implies x \geq -4$
Итоговая ОДЗ: $x \geq 0$.
2. На ОДЗ обе части неравенства неотрицательны. Возведем обе части в 4-ю степень:
$(\sqrt{x})^4 > (\sqrt[4]{x+4})^4$
$x^2 > x+4$
$x^2 - x - 4 > 0$
3. Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $x^2 - x - 4 = 0$:
$D = (-1)^2 - 4(1)(-4) = 1 + 16 = 17$
$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$
Ветви параболы $y = x^2 - x - 4$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется для значений $x$ вне интервала между корнями:
$x < \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$ или $x > \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$.
4. Совместим с ОДЗ ($x \geq 0$).
Корень $\frac{1 - \sqrt{17}}{2}$ отрицателен. Значит, промежуток $x < \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$ не имеет пересечения с ОДЗ.
Корень $\frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ положителен. Пересечение промежутка $x > \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ с ОДЗ $x \geq 0$ дает $x > \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$.
Ответ: $x \in (\frac{1 + \sqrt{17}}{2}, +\infty)$.

в) Исходное неравенство: $\sqrt{x+1} > \sqrt[3]{2x+1}$.
1. ОДЗ: $x+1 \geq 0 \implies x \geq -1$.
2. Левая часть $\sqrt{x+1}$ всегда неотрицательна. Знак правой части зависит от $x$. Рассмотрим два случая.
Случай 1: Правая часть отрицательна.
$\sqrt[3]{2x+1} < 0 \implies 2x+1 < 0 \implies x < -1/2$.
С учетом ОДЗ, этот случай соответствует промежутку $x \in [-1, -1/2)$. На этом промежутке неотрицательное число в левой части всегда больше отрицательного числа в правой. Следовательно, весь промежуток $[-1, -1/2)$ является решением.
Случай 2: Правая часть неотрицательна.
$\sqrt[3]{2x+1} \geq 0 \implies 2x+1 \geq 0 \implies x \geq -1/2$.
На этом промежутке обе части неравенства неотрицательны. Возведем обе части в 6-ю степень (НОК(2,3)=6):
$(\sqrt{x+1})^6 > (\sqrt[3]{2x+1})^6$
$(x+1)^3 > (2x+1)^2$
$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 > 4x^2 + 4x + 1$
$x^3 - x^2 - x > 0$
$x(x^2 - x - 1) > 0$
Найдем корни многочлена $x(x^2-x-1)$. Это $x=0$ и корни уравнения $x^2-x-1=0$, то есть $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Корни в порядке возрастания: $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.618$, $0$, $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$.
Решаем неравенство $x(x^2 - x - 1) > 0$ методом интервалов, получаем: $x \in (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$.
Теперь найдем пересечение этого решения с условием случая 2 ($x \geq -1/2$).
Поскольку $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < -1/2$, пересечение $(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0)$ с $[-1/2, +\infty)$ дает $[-1/2, 0)$.
Интервал $(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$ полностью входит в область $x \geq -1/2$.
Решение для случая 2: $x \in [-1/2, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$.
3. Объединим решения из обоих случаев:
$[-1, -1/2) \cup [-1/2, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty) = [-1, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$.
Ответ: $x \in [-1, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$.

г) Исходное неравенство: $\sqrt{x} < \sqrt[3]{3x-2}$.
1. ОДЗ: $x \geq 0$.
2. Рассмотрим знаки частей неравенства.
Случай 1: Правая часть отрицательна.
$\sqrt[3]{3x-2} < 0 \implies 3x-2 < 0 \implies x < 2/3$.
С учетом ОДЗ, рассматриваем $x \in [0, 2/3)$. На этом промежутке левая часть $\sqrt{x}$ неотрицательна. Неравенство "неотрицательное число < отрицательное число" ложно. Решений в этом случае нет.
Случай 2: Правая часть неотрицательна.
$\sqrt[3]{3x-2} \geq 0 \implies 3x-2 \geq 0 \implies x \geq 2/3$.
На этом промежутке обе части неравенства неотрицательны, можно возвести в 6-ю степень:
$(\sqrt{x})^6 < (\sqrt[3]{3x-2})^6$
$x^3 < (3x-2)^2$
$x^3 < 9x^2 - 12x + 4$
$x^3 - 9x^2 + 12x - 4 < 0$
3. Решим кубическое неравенство. Найдем корни многочлена $P(x) = x^3 - 9x^2 + 12x - 4$.
Подбором находим, что $x=1$ является корнем: $P(1)=1-9+12-4=0$.
Разделив $P(x)$ на $(x-1)$, получим $x^2 - 8x + 4$.
Найдем корни $x^2 - 8x + 4 = 0$: $x = \frac{8 \pm \sqrt{64-16}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$.
Корни многочлена $P(x)$: $4-2\sqrt{3}$, $1$, $4+2\sqrt{3}$.
Решаем неравенство $P(x) < 0$ методом интервалов:
$x \in (-\infty, 4-2\sqrt{3}) \cup (1, 4+2\sqrt{3})$.
4. Найдем пересечение этого решения с условием случая 2 ($x \geq 2/3$).
Так как $4-2\sqrt{3} \approx 0.536$ и $2/3 \approx 0.667$, то $4-2\sqrt{3} < 2/3$. Следовательно, первый интервал $(-\infty, 4-2\sqrt{3})$ не дает решений.
Интервал $(1, 4+2\sqrt{3})$ полностью удовлетворяет условию $x \geq 2/3$.
Общее решение - это решение из случая 2.
Ответ: $x \in (1, 4+2\sqrt{3})$.

11.16* а) $1 + \sin x > |\cos x|$;

Б) $1 - \cos x > |\sin x|$;

В) $1 - \sin x < |\cos x|$;

Г) $1 + \cos x < |\sin x|$.

a) Решим неравенство $1 + \sin x > |\cos x|$.

Заметим, что обе части неравенства неотрицательны, так как $1 + \sin x \ge 0$ и $|\cos x| \ge 0$ для всех $x$. Рассмотрим случай, когда левая часть равна нулю: $1 + \sin x = 0$, что означает $\sin x = -1$. Это происходит при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках $\cos x = 0$, и неравенство принимает вид $0 > 0$, что неверно. Следовательно, $1 + \sin x > 0$.

Поскольку обе части неравенства строго положительны (кроме точек, где $\cos x = 0$, но там неравенство $1 \pm 1 > 0$ очевидно выполняется), мы можем возвести их в квадрат, не меняя знак неравенства:

$(1 + \sin x)^2 > (|\cos x|)^2$

$1 + 2\sin x + \sin^2 x > \cos^2 x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$1 + 2\sin x + \sin^2 x > 1 - \sin^2 x$

$2\sin^2 x + 2\sin x > 0$

$2\sin x(\sin x + 1) > 0$

Как мы установили ранее, $\sin x \neq -1$, поэтому выражение $\sin x + 1$ всегда положительно. Мы можем разделить обе части неравенства на $2(\sin x + 1) > 0$:

$\sin x > 0$

Решением этого неравенства являются интервалы, на которых синус положителен, то есть I и II координатные четверти.

Ответ: $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $1 - \cos x > |\sin x|$.

Обе части неравенства неотрицательны: $1 - \cos x \ge 0$ и $|\sin x| \ge 0$. Рассмотрим случай, когда $1 - \cos x = 0$, то есть $\cos x = 1$. Это происходит при $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках $\sin x = 0$, и неравенство принимает вид $0 > 0$, что неверно. Следовательно, $1 - \cos x > 0$.

Возводим обе части в квадрат:

$(1 - \cos x)^2 > (|\sin x|)^2$

$1 - 2\cos x + \cos^2 x > \sin^2 x$

Заменим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$1 - 2\cos x + \cos^2 x > 1 - \cos^2 x$

$2\cos^2 x - 2\cos x > 0$

$2\cos x(\cos x - 1) > 0$

Мы знаем, что $\cos x \neq 1$, поэтому выражение $\cos x - 1$ всегда отрицательно. Разделим обе части неравенства на $2(\cos x - 1) < 0$, изменив знак неравенства на противоположный:

$\cos x < 0$

Решением этого неравенства являются интервалы, на которых косинус отрицателен, то есть II и III координатные четверти.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $1 - \sin x < |\cos x|$.

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$(1 - \sin x)^2 < (|\cos x|)^2$

$1 - 2\sin x + \sin^2 x < \cos^2 x$

Используя $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, получаем:

$1 - 2\sin x + \sin^2 x < 1 - \sin^2 x$

$2\sin^2 x - 2\sin x < 0$

$2\sin x(\sin x - 1) < 0$

Произведение двух множителей отрицательно, когда они имеют разные знаки. Так как $\sin x \le 1$, то множитель $\sin x - 1 \le 0$. Чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы $\sin x - 1 \neq 0$ и $\sin x > 0$.

Таким образом, мы получаем систему условий:

$\begin{cases} \sin x > 0 \\ \sin x - 1 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x > 0 \\ \sin x < 1 \end{cases}$

Это соответствует двойному неравенству $0 < \sin x < 1$.

$\sin x > 0$ при $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$. Из этого интервала нужно исключить точки, где $\sin x = 1$, то есть $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Ответ: $x \in (2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k) \cup (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $1 + \cos x < |\sin x|$.

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:

$(1 + \cos x)^2 < (|\sin x|)^2$

$1 + 2\cos x + \cos^2 x < \sin^2 x$

Заменим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$1 + 2\cos x + \cos^2 x < 1 - \cos^2 x$

$2\cos^2 x + 2\cos x < 0$

$2\cos x(\cos x + 1) < 0$

Произведение отрицательно, когда множители имеют разные знаки. Поскольку $\cos x \ge -1$, множитель $\cos x + 1 \ge 0$. Чтобы произведение было отрицательным, нужно, чтобы $\cos x + 1 \neq 0$ и $\cos x < 0$.

Получаем систему условий:

$\begin{cases} \cos x < 0 \\ \cos x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \cos x < 0 \\ \cos x > -1 \end{cases}$

Это соответствует двойному неравенству $-1 < \cos x < 0$.

$\cos x < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$. Из этого интервала нужно исключить точки, где $\cos x = -1$, то есть $x = \pi + 2\pi k$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k) \cup (\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.