Номер 11.12, страница 288 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.12, страница 288.

Условие.

11.12 a) $\sqrt{-x^2 - 5x} > \sqrt{-x - 3};$

Б) $\sqrt{x^2 - x} > \sqrt{3x - 1};$

б) $\sqrt{x^2 - 6x} > \sqrt{-x - 1};$

г) $\sqrt{x^2 - 7x} > \sqrt{-x - 2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой подкоренное выражение $g(x)$ неотрицательно, а подкоренное выражение $f(x)$ больше, чем $g(x)$.
Исходное неравенство $\sqrt{-x^2 - 5x} > \sqrt{-x - 3}$ равносильно системе:
$\begin{cases}-x^2 - 5x > -x - 3 \\-x - 3 \ge 0\end{cases}$
Решим первое неравенство системы:
$-x^2 - 5x > -x - 3$
$-x^2 - 4x + 3 > 0$
$x^2 + 4x - 3 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-3) = 16 + 12 = 28$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -2 \pm \sqrt{7}$
Ветви параболы $y = x^2 + 4x - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 4x - 3 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-2 - \sqrt{7}; -2 + \sqrt{7})$.
Решим второе неравенство системы:
$-x - 3 \ge 0$
$-x \ge 3$
$x \le -3$
Найдем пересечение полученных решений: $x \in (-2 - \sqrt{7}; -2 + \sqrt{7})$ и $x \le -3$.
Оценим значения корней. Так как $2 < \sqrt{7} < 3$, то $-2 - 3 < -2 - \sqrt{7} < -2 - 2$, то есть $-5 < -2 - \sqrt{7} < -4$.
Пересечением множеств является промежуток $(-2 - \sqrt{7}; -3]$.
Ответ: $x \in (-2 - \sqrt{7}; -3]$.

б) Исходное неравенство $\sqrt{x^2 - 6x} > \sqrt{-x - 1}$ равносильно системе:
$\begin{cases}x^2 - 6x > -x - 1 \\-x - 1 \ge 0\end{cases}$
Решим первое неравенство:
$x^2 - 5x + 1 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 1 = 0$.
$D = (-5)^2 - 4(1)(1) = 25 - 4 = 21$
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 5x + 1 > 0$ выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty; \frac{5 - \sqrt{21}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{21}}{2}; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$-x - 1 \ge 0$
$x \le -1$
Найдем пересечение множеств. Оценим значение $\frac{5 - \sqrt{21}}{2}$. Так как $4 < \sqrt{21} < 5$, то $0 < 5 - \sqrt{21} < 1$, и $0 < \frac{5 - \sqrt{21}}{2} < 0.5$.
Следовательно, $-1 < \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$.
Пересечением множеств $(-\infty; \frac{5 - \sqrt{21}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{21}}{2}; +\infty)$ и $(-\infty; -1]$ является промежуток $(-\infty; -1]$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1]$.

в) Исходное неравенство $\sqrt{x^2 - x} > \sqrt{3x - 1}$ равносильно системе:
$\begin{cases}x^2 - x > 3x - 1 \\3x - 1 \ge 0\end{cases}$
Решим первое неравенство:
$x^2 - 4x + 1 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$.
$D = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12$
$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$
Решение неравенства $x^2 - 4x + 1 > 0$ есть $x \in (-\infty; 2 - \sqrt{3}) \cup (2 + \sqrt{3}; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$3x - 1 \ge 0$
$3x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{3}$
Найдем пересечение. Сравним $2 - \sqrt{3}$ и $\frac{1}{3}$.
$2 - \sqrt{3} \vee \frac{1}{3} \iff 2 - \frac{1}{3} \vee \sqrt{3} \iff \frac{5}{3} \vee \sqrt{3}$.
Возведем в квадрат, так как обе части положительны: $\frac{25}{9} \vee 3 \iff 25 \vee 27$. Так как $25 < 27$, то $2 - \sqrt{3} < \frac{1}{3}$.
Пересечением множеств $(-\infty; 2 - \sqrt{3}) \cup (2 + \sqrt{3}; +\infty)$ и $[\frac{1}{3}; +\infty)$ является промежуток $(2 + \sqrt{3}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (2 + \sqrt{3}; +\infty)$.

г) Исходное неравенство $\sqrt{x^2 - 7x} > \sqrt{-x - 2}$ равносильно системе:
$\begin{cases}x^2 - 7x > -x - 2 \\-x - 2 \ge 0\end{cases}$
Решим первое неравенство:
$x^2 - 6x + 2 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 2 = 0$.
$D = (-6)^2 - 4(1)(2) = 36 - 8 = 28$
$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 3 \pm \sqrt{7}$
Решение неравенства $x^2 - 6x + 2 > 0$ есть $x \in (-\infty; 3 - \sqrt{7}) \cup (3 + \sqrt{7}; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$-x - 2 \ge 0$
$x \le -2$
Найдем пересечение. Сравним $3 - \sqrt{7}$ и $-2$.
$3 - \sqrt{7} \vee -2 \iff 5 \vee \sqrt{7}$.
Возведем в квадрат: $25 \vee 7$. Так как $25 > 7$, то $3 - \sqrt{7} > -2$.
Пересечением множеств $(-\infty; 3 - \sqrt{7}) \cup (3 + \sqrt{7}; +\infty)$ и $(-\infty; -2]$ является промежуток $(-\infty; -2]$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2]$.