Номер 11.17, страница 289 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.17, страница 289.

№11.17 (с. 289)
Условие. №11.17 (с. 289)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 289, номер 11.17, Условие

11.17 Докажите утверждение об умножении неравенства на функцию.

Решение 1. №11.17 (с. 289)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 289, номер 11.17, Решение 1
Решение 2. №11.17 (с. 289)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 289, номер 11.17, Решение 2
Решение 4. №11.17 (с. 289)

Утверждение об умножении неравенства на функцию заключается в том, как изменяется знак неравенства в зависимости от знака функции-множителя. Докажем это утверждение, рассмотрев все возможные случаи для знака функции, на которую производится умножение.

Пусть дано неравенство $f(x) > g(x)$, определенное на некотором множестве $D$. Мы хотим умножить обе части этого неравенства на функцию $h(x)$, также определенную на множестве $D$.

Доказательство для случая, когда $h(x) > 0$

Исходное неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) - g(x) > 0$. Это означает, что разность $(f(x) - g(x))$ является положительной величиной для всех $x$ из области определения, где выполняется исходное неравенство.

Рассмотрим произведение $(f(x) - g(x)) \cdot h(x)$. По условию данного случая, мы рассматриваем те $x$, для которых $h(x) > 0$. Таким образом, мы перемножаем два положительных числа: $(f(x) - g(x)) > 0$ и $h(x) > 0$. Произведение двух положительных чисел всегда положительно.

Следовательно, $(f(x) - g(x)) \cdot h(x) > 0$.

Раскроем скобки в левой части полученного неравенства:

$f(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h(x) > 0$

Теперь перенесем слагаемое $- g(x) \cdot h(x)$ в правую часть, изменив его знак на противоположный:

$f(x) \cdot h(x) > g(x) \cdot h(x)$

Мы видим, что при умножении обеих частей исходного неравенства на положительную функцию $h(x)$ знак неравенства не изменился. Утверждение для этого случая доказано.

Ответ: Если $h(x) > 0$, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \cdot h(x) > g(x) \cdot h(x)$.

Доказательство для случая, когда $h(x) < 0$

Снова начнем с равносильной формы исходного неравенства: $f(x) - g(x) > 0$. Разность $(f(x) - g(x))$ является положительной величиной.

Рассмотрим произведение $(f(x) - g(x)) \cdot h(x)$. По условию данного случая, мы рассматриваем те $x$, для которых $h(x) < 0$. Таким образом, мы перемножаем положительное число $(f(x) - g(x)) > 0$ и отрицательное число $h(x) < 0$. Произведение положительного и отрицательного чисел всегда отрицательно.

Следовательно, $(f(x) - g(x)) \cdot h(x) < 0$.

Раскроем скобки:

$f(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h(x) < 0$

Перенесем слагаемое $- g(x) \cdot h(x)$ в правую часть:

$f(x) \cdot h(x) < g(x) \cdot h(x)$

Мы видим, что при умножении обеих частей исходного неравенства на отрицательную функцию $h(x)$ знак неравенства изменился на противоположный. Утверждение для этого случая доказано.

Ответ: Если $h(x) < 0$, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \cdot h(x) < g(x) \cdot h(x)$.

Доказательство для случая, когда $h(x) = 0$

В этом случае мы умножаем обе части исходного неравенства $f(x) > g(x)$ на ноль.

Левая часть станет $f(x) \cdot h(x) = f(x) \cdot 0 = 0$.

Правая часть станет $g(x) \cdot h(x) = g(x) \cdot 0 = 0$.

В результате умножения мы получаем равенство $0 = 0$, которое является верным для любых $x$, для которых $h(x)=0$. Исходное неравенство при этом преобразуется в верное числовое равенство.

Ответ: Если $h(x) = 0$, то неравенство $f(x) > g(x)$ преобразуется в равенство $f(x) \cdot h(x) = g(x) \cdot h(x)$ (которое верно и принимает вид $0=0$).

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 11.17 расположенного на странице 289 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.17 (с. 289), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.