Номер 11.17, страница 289 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.17, страница 289.

Условие.

11.17 Докажите утверждение об умножении неравенства на функцию.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Утверждение об умножении неравенства на функцию заключается в том, как изменяется знак неравенства в зависимости от знака функции-множителя. Докажем это утверждение, рассмотрев все возможные случаи для знака функции, на которую производится умножение.

Пусть дано неравенство $f(x) > g(x)$, определенное на некотором множестве $D$. Мы хотим умножить обе части этого неравенства на функцию $h(x)$, также определенную на множестве $D$.

Доказательство для случая, когда $h(x) > 0$

Исходное неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) - g(x) > 0$. Это означает, что разность $(f(x) - g(x))$ является положительной величиной для всех $x$ из области определения, где выполняется исходное неравенство.

Рассмотрим произведение $(f(x) - g(x)) \cdot h(x)$. По условию данного случая, мы рассматриваем те $x$, для которых $h(x) > 0$. Таким образом, мы перемножаем два положительных числа: $(f(x) - g(x)) > 0$ и $h(x) > 0$. Произведение двух положительных чисел всегда положительно.

Следовательно, $(f(x) - g(x)) \cdot h(x) > 0$.

Раскроем скобки в левой части полученного неравенства:

$f(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h(x) > 0$

Теперь перенесем слагаемое $- g(x) \cdot h(x)$ в правую часть, изменив его знак на противоположный:

$f(x) \cdot h(x) > g(x) \cdot h(x)$

Мы видим, что при умножении обеих частей исходного неравенства на положительную функцию $h(x)$ знак неравенства не изменился. Утверждение для этого случая доказано.

Ответ: Если $h(x) > 0$, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \cdot h(x) > g(x) \cdot h(x)$.

Доказательство для случая, когда $h(x) < 0$

Снова начнем с равносильной формы исходного неравенства: $f(x) - g(x) > 0$. Разность $(f(x) - g(x))$ является положительной величиной.

Рассмотрим произведение $(f(x) - g(x)) \cdot h(x)$. По условию данного случая, мы рассматриваем те $x$, для которых $h(x) < 0$. Таким образом, мы перемножаем положительное число $(f(x) - g(x)) > 0$ и отрицательное число $h(x) < 0$. Произведение положительного и отрицательного чисел всегда отрицательно.

Следовательно, $(f(x) - g(x)) \cdot h(x) < 0$.

Раскроем скобки:

$f(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h(x) < 0$

Перенесем слагаемое $- g(x) \cdot h(x)$ в правую часть:

$f(x) \cdot h(x) < g(x) \cdot h(x)$

Мы видим, что при умножении обеих частей исходного неравенства на отрицательную функцию $h(x)$ знак неравенства изменился на противоположный. Утверждение для этого случая доказано.

Ответ: Если $h(x) < 0$, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \cdot h(x) < g(x) \cdot h(x)$.

Доказательство для случая, когда $h(x) = 0$

В этом случае мы умножаем обе части исходного неравенства $f(x) > g(x)$ на ноль.

Левая часть станет $f(x) \cdot h(x) = f(x) \cdot 0 = 0$.

Правая часть станет $g(x) \cdot h(x) = g(x) \cdot 0 = 0$.

В результате умножения мы получаем равенство $0 = 0$, которое является верным для любых $x$, для которых $h(x)=0$. Исходное неравенство при этом преобразуется в верное числовое равенство.

Ответ: Если $h(x) = 0$, то неравенство $f(x) > g(x)$ преобразуется в равенство $f(x) \cdot h(x) = g(x) \cdot h(x)$ (которое верно и принимает вид $0=0$).