Номер 11.17, страница 289 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.17, страница 289.
№11.17 (с. 289)
Условие. №11.17 (с. 289)
скриншот условия

11.17 Докажите утверждение об умножении неравенства на функцию.
Решение 1. №11.17 (с. 289)

Решение 2. №11.17 (с. 289)

Решение 4. №11.17 (с. 289)
Утверждение об умножении неравенства на функцию заключается в том, как изменяется знак неравенства в зависимости от знака функции-множителя. Докажем это утверждение, рассмотрев все возможные случаи для знака функции, на которую производится умножение.
Пусть дано неравенство $f(x) > g(x)$, определенное на некотором множестве $D$. Мы хотим умножить обе части этого неравенства на функцию $h(x)$, также определенную на множестве $D$.
Доказательство для случая, когда $h(x) > 0$
Исходное неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) - g(x) > 0$. Это означает, что разность $(f(x) - g(x))$ является положительной величиной для всех $x$ из области определения, где выполняется исходное неравенство.
Рассмотрим произведение $(f(x) - g(x)) \cdot h(x)$. По условию данного случая, мы рассматриваем те $x$, для которых $h(x) > 0$. Таким образом, мы перемножаем два положительных числа: $(f(x) - g(x)) > 0$ и $h(x) > 0$. Произведение двух положительных чисел всегда положительно.
Следовательно, $(f(x) - g(x)) \cdot h(x) > 0$.
Раскроем скобки в левой части полученного неравенства:
$f(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h(x) > 0$
Теперь перенесем слагаемое $- g(x) \cdot h(x)$ в правую часть, изменив его знак на противоположный:
$f(x) \cdot h(x) > g(x) \cdot h(x)$
Мы видим, что при умножении обеих частей исходного неравенства на положительную функцию $h(x)$ знак неравенства не изменился. Утверждение для этого случая доказано.
Ответ: Если $h(x) > 0$, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \cdot h(x) > g(x) \cdot h(x)$.
Доказательство для случая, когда $h(x) < 0$
Снова начнем с равносильной формы исходного неравенства: $f(x) - g(x) > 0$. Разность $(f(x) - g(x))$ является положительной величиной.
Рассмотрим произведение $(f(x) - g(x)) \cdot h(x)$. По условию данного случая, мы рассматриваем те $x$, для которых $h(x) < 0$. Таким образом, мы перемножаем положительное число $(f(x) - g(x)) > 0$ и отрицательное число $h(x) < 0$. Произведение положительного и отрицательного чисел всегда отрицательно.
Следовательно, $(f(x) - g(x)) \cdot h(x) < 0$.
Раскроем скобки:
$f(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h(x) < 0$
Перенесем слагаемое $- g(x) \cdot h(x)$ в правую часть:
$f(x) \cdot h(x) < g(x) \cdot h(x)$
Мы видим, что при умножении обеих частей исходного неравенства на отрицательную функцию $h(x)$ знак неравенства изменился на противоположный. Утверждение для этого случая доказано.
Ответ: Если $h(x) < 0$, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \cdot h(x) < g(x) \cdot h(x)$.
Доказательство для случая, когда $h(x) = 0$
В этом случае мы умножаем обе части исходного неравенства $f(x) > g(x)$ на ноль.
Левая часть станет $f(x) \cdot h(x) = f(x) \cdot 0 = 0$.
Правая часть станет $g(x) \cdot h(x) = g(x) \cdot 0 = 0$.
В результате умножения мы получаем равенство $0 = 0$, которое является верным для любых $x$, для которых $h(x)=0$. Исходное неравенство при этом преобразуется в верное числовое равенство.
Ответ: Если $h(x) = 0$, то неравенство $f(x) > g(x)$ преобразуется в равенство $f(x) \cdot h(x) = g(x) \cdot h(x)$ (которое верно и принимает вид $0=0$).
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 11.17 расположенного на странице 289 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.17 (с. 289), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.