Номер 11.22, страница 290 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.22, страница 290.

Условие.

11.22* a) $\frac{2}{\sqrt{\sin x}} > \frac{x^2 - x}{\sqrt{\sin x}};$

б) $\frac{6}{\sqrt{\cos x}} > \frac{x^2 + x}{\sqrt{\cos x}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\frac{2}{\sqrt{\sin x}} > \frac{x^2 - x}{\sqrt{\sin x}}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, стоящее под знаком корня в знаменателе, должно быть строго положительным:

$\sin x > 0$

Это неравенство выполняется для всех $x$, принадлежащих интервалам вида $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. На области допустимых значений знаменатель $\sqrt{\sin x}$ положителен. Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $\sqrt{\sin x}$, сохранив знак неравенства:

$2 > x^2 - x$

Перепишем это в виде стандартного квадратного неравенства:

$x^2 - x - 2 < 0$

3. Решим квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Так как парабола $y = x^2 - x - 2$ ветвями направлена вверх, неравенство $x^2 - x - 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями:

$x \in (-1, 2)$

4. Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ. То есть, мы ищем такие значения $x$, для которых одновременно выполняются два условия:

$\begin{cases} x \in (-1, 2) \\ \sin x > 0 \end{cases}$

Условие $\sin x > 0$ выполняется на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$. Найдем, какой из этих интервалов пересекается с интервалом $(-1, 2)$.

При $k=0$, получаем интервал $(0, \pi)$. Приближенное значение $\pi \approx 3.14$, так что это интервал $(0, 3.14)$.

Пересечение интервалов $(-1, 2)$ и $(0, \pi)$ есть интервал $(0, 2)$.

При других целых значениях $k$ (например, $k=1$ или $k=-1$) интервалы $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$ не имеют общих точек с интервалом $(-1, 2)$.

Таким образом, окончательное решение — это интервал $(0, 2)$.

Ответ: $x \in (0, 2)$.

б) $\frac{6}{\sqrt{\cos x}} > \frac{x^2 + x}{\sqrt{\cos x}}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:

$\cos x > 0$

Это неравенство выполняется для всех $x$, принадлежащих интервалам вида $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Так как на ОДЗ знаменатель $\sqrt{\cos x}$ положителен, умножим обе части неравенства на него:

$6 > x^2 + x$

Перепишем неравенство в стандартном виде:

$x^2 + x - 6 < 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 + x - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + x - 6 < 0$ выполняется между корнями:

$x \in (-3, 2)$

4. Найдем пересечение этого решения с ОДЗ. Ищем значения $x$, удовлетворяющие системе:

$\begin{cases} x \in (-3, 2) \\ \cos x > 0 \end{cases}$

Условие $\cos x > 0$ выполняется на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$. Найдем пересечение этих интервалов с интервалом $(-3, 2)$.

При $k=0$, получаем интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Приближенные значения: $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$. Таким образом, это интервал $(-1.57, 1.57)$.

Пересечение интервалов $(-3, 2)$ и $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ есть интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

При других целых $k$ интервалы ОДЗ не пересекаются с интервалом $(-3, 2)$.

Следовательно, решением является интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.