Номер 11.22, страница 290 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.22, страница 290.
№11.22 (с. 290)
Условие. №11.22 (с. 290)
скриншот условия

11.22* a) $\frac{2}{\sqrt{\sin x}} > \frac{x^2 - x}{\sqrt{\sin x}};$
б) $\frac{6}{\sqrt{\cos x}} > \frac{x^2 + x}{\sqrt{\cos x}}.$
Решение 1. №11.22 (с. 290)


Решение 2. №11.22 (с. 290)

Решение 4. №11.22 (с. 290)
а) $\frac{2}{\sqrt{\sin x}} > \frac{x^2 - x}{\sqrt{\sin x}}$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, стоящее под знаком корня в знаменателе, должно быть строго положительным:
$\sin x > 0$
Это неравенство выполняется для всех $x$, принадлежащих интервалам вида $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. На области допустимых значений знаменатель $\sqrt{\sin x}$ положителен. Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $\sqrt{\sin x}$, сохранив знак неравенства:
$2 > x^2 - x$
Перепишем это в виде стандартного квадратного неравенства:
$x^2 - x - 2 < 0$
3. Решим квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Так как парабола $y = x^2 - x - 2$ ветвями направлена вверх, неравенство $x^2 - x - 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями:
$x \in (-1, 2)$
4. Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ. То есть, мы ищем такие значения $x$, для которых одновременно выполняются два условия:
$\begin{cases} x \in (-1, 2) \\ \sin x > 0 \end{cases}$
Условие $\sin x > 0$ выполняется на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$. Найдем, какой из этих интервалов пересекается с интервалом $(-1, 2)$.
При $k=0$, получаем интервал $(0, \pi)$. Приближенное значение $\pi \approx 3.14$, так что это интервал $(0, 3.14)$.
Пересечение интервалов $(-1, 2)$ и $(0, \pi)$ есть интервал $(0, 2)$.
При других целых значениях $k$ (например, $k=1$ или $k=-1$) интервалы $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$ не имеют общих точек с интервалом $(-1, 2)$.
Таким образом, окончательное решение — это интервал $(0, 2)$.
Ответ: $x \in (0, 2)$.
б) $\frac{6}{\sqrt{\cos x}} > \frac{x^2 + x}{\sqrt{\cos x}}$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$\cos x > 0$
Это неравенство выполняется для всех $x$, принадлежащих интервалам вида $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Так как на ОДЗ знаменатель $\sqrt{\cos x}$ положителен, умножим обе части неравенства на него:
$6 > x^2 + x$
Перепишем неравенство в стандартном виде:
$x^2 + x - 6 < 0$
3. Решим полученное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Парабола $y = x^2 + x - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + x - 6 < 0$ выполняется между корнями:
$x \in (-3, 2)$
4. Найдем пересечение этого решения с ОДЗ. Ищем значения $x$, удовлетворяющие системе:
$\begin{cases} x \in (-3, 2) \\ \cos x > 0 \end{cases}$
Условие $\cos x > 0$ выполняется на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$. Найдем пересечение этих интервалов с интервалом $(-3, 2)$.
При $k=0$, получаем интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Приближенные значения: $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$. Таким образом, это интервал $(-1.57, 1.57)$.
Пересечение интервалов $(-3, 2)$ и $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ есть интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
При других целых $k$ интервалы ОДЗ не пересекаются с интервалом $(-3, 2)$.
Следовательно, решением является интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 11.22 расположенного на странице 290 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.22 (с. 290), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.