Номер 11.29, страница 293 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.29, страница 293.

Условие.

11.29 a) $ \text{tg } x + x^2 < \text{tg } x + 2x + 3; $

б) $ \text{tg } x + x^2 + 2x > \text{tg } x + 3; $

в) $ \text{ctg } x + x^2 < \text{ctg } x + x + 6; $

г) $ \text{ctg } x + x^2 + x > \text{ctg } x + 6. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Исходное неравенство: $tg x + x^2 < tg x + 2x + 3$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства определяется областью определения тангенса: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Упростим неравенство, вычитая $tg x$ из обеих частей:

$x^2 < 2x + 3$

$x^2 - 2x - 3 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 2x - 3 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решение квадратного неравенства: $x \in (-1; 3)$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ. Мы должны исключить из интервала $(-1; 3)$ точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

При $k=0$, $x = \frac{\pi}{2} \approx 1,57$. Это значение попадает в интервал $(-1; 3)$, поэтому его нужно исключить.

При $k=1$, $x = \frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, что больше 3.

При $k=-1$, $x = -\frac{\pi}{2} \approx -1,57$, что меньше -1.

Следовательно, единственная точка, которую нужно исключить из интервала $(-1; 3)$, это $x = \frac{\pi}{2}$.

Итоговое решение является объединением интервалов, полученных после исключения точки $\frac{\pi}{2}$ из интервала $(-1; 3)$.

Ответ: $x \in (-1; \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}; 3)$.

б)

Исходное неравенство: $tg x + x^2 + 2x > tg x + 3$.

ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Упростим неравенство, вычитая $tg x$ из обеих частей:

$x^2 + 2x > 3$

$x^2 + 2x - 3 > 0$

Находим корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. Корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Парабола $y = x^2 + 2x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + 2x - 3 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Решение квадратного неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.

Учтем ОДЗ. Необходимо из полученного решения исключить все точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, которые попадают в эти интервалы.

Эти точки необходимо исключить из решения $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$, при этом $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Исходное неравенство: $ctg x + x^2 < ctg x + x + 6$.

ОДЗ для этого неравенства определяется областью определения котангенса: $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Упростим неравенство, вычитая $ctg x$ из обеих частей:

$x^2 < x + 6$

$x^2 - x - 6 < 0$

Находим корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. Корни равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Парабола $y = x^2 - x - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 6 < 0$ выполняется между корнями.

Решение квадратного неравенства: $x \in (-2; 3)$.

Теперь учтем ОДЗ. Мы должны исключить из интервала $(-2; 3)$ точки вида $x = \pi k$.

При $k=0$, $x = 0$. Это значение попадает в интервал $(-2; 3)$.

При $k=1$, $x = \pi \approx 3,14$, что не попадает в интервал.

При $k=-1$, $x = -\pi \approx -3,14$, что не попадает в интервал.

Следовательно, единственная точка, которую нужно исключить, это $x=0$.

Итоговое решение - это интервал $(-2; 3)$ с исключенной точкой 0.

Ответ: $x \in (-2; 0) \cup (0; 3)$.

г)

Исходное неравенство: $ctg x + x^2 + x > ctg x + 6$.

ОДЗ: $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Упростим неравенство, вычитая $ctg x$ из обеих частей:

$x^2 + x > 6$

$x^2 + x - 6 > 0$

Находим корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. Корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Парабола $y = x^2 + x - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + x - 6 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Решение квадратного неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

Учтем ОДЗ. Необходимо из полученного решения исключить все точки вида $x = \pi k$, которые попадают в эти интервалы.

Для интервала $(-\infty; -3)$: точки $x = \pi k$ при $k \le -1$ (например, $-\pi \approx -3,14$, $-2\pi \approx -6,28$ и т.д.).

Для интервала $(2; +\infty)$: точки $x = \pi k$ при $k \ge 1$ (например, $\pi \approx 3,14$, $2\pi \approx 6,28$ и т.д.).

Точка $x=0$ (при $k=0$) не попадает в решение $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

Следовательно, нужно исключить все точки $x = \pi k$ для всех ненулевых целых $k$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$, при этом $x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$.