Номер 11.29, страница 293 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.29, страница 293.
№11.29 (с. 293)
Условие. №11.29 (с. 293)
скриншот условия

11.29 a) $ \text{tg } x + x^2 < \text{tg } x + 2x + 3; $
б) $ \text{tg } x + x^2 + 2x > \text{tg } x + 3; $
в) $ \text{ctg } x + x^2 < \text{ctg } x + x + 6; $
г) $ \text{ctg } x + x^2 + x > \text{ctg } x + 6. $
Решение 1. №11.29 (с. 293)




Решение 2. №11.29 (с. 293)


Решение 3. №11.29 (с. 293)

Решение 4. №11.29 (с. 293)
а)
Исходное неравенство: $tg x + x^2 < tg x + 2x + 3$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства определяется областью определения тангенса: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Упростим неравенство, вычитая $tg x$ из обеих частей:
$x^2 < 2x + 3$
$x^2 - 2x - 3 < 0$
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 2x - 3 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Таким образом, решение квадратного неравенства: $x \in (-1; 3)$.
Теперь необходимо учесть ОДЗ. Мы должны исключить из интервала $(-1; 3)$ точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{2} \approx 1,57$. Это значение попадает в интервал $(-1; 3)$, поэтому его нужно исключить.
При $k=1$, $x = \frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, что больше 3.
При $k=-1$, $x = -\frac{\pi}{2} \approx -1,57$, что меньше -1.
Следовательно, единственная точка, которую нужно исключить из интервала $(-1; 3)$, это $x = \frac{\pi}{2}$.
Итоговое решение является объединением интервалов, полученных после исключения точки $\frac{\pi}{2}$ из интервала $(-1; 3)$.
Ответ: $x \in (-1; \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}; 3)$.
б)
Исходное неравенство: $tg x + x^2 + 2x > tg x + 3$.
ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Упростим неравенство, вычитая $tg x$ из обеих частей:
$x^2 + 2x > 3$
$x^2 + 2x - 3 > 0$
Находим корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. Корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.
Парабола $y = x^2 + 2x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + 2x - 3 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.
Решение квадратного неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.
Учтем ОДЗ. Необходимо из полученного решения исключить все точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, которые попадают в эти интервалы.
Эти точки необходимо исключить из решения $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$, при этом $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.
в)
Исходное неравенство: $ctg x + x^2 < ctg x + x + 6$.
ОДЗ для этого неравенства определяется областью определения котангенса: $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Упростим неравенство, вычитая $ctg x$ из обеих частей:
$x^2 < x + 6$
$x^2 - x - 6 < 0$
Находим корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. Корни равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Парабола $y = x^2 - x - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 6 < 0$ выполняется между корнями.
Решение квадратного неравенства: $x \in (-2; 3)$.
Теперь учтем ОДЗ. Мы должны исключить из интервала $(-2; 3)$ точки вида $x = \pi k$.
При $k=0$, $x = 0$. Это значение попадает в интервал $(-2; 3)$.
При $k=1$, $x = \pi \approx 3,14$, что не попадает в интервал.
При $k=-1$, $x = -\pi \approx -3,14$, что не попадает в интервал.
Следовательно, единственная точка, которую нужно исключить, это $x=0$.
Итоговое решение - это интервал $(-2; 3)$ с исключенной точкой 0.
Ответ: $x \in (-2; 0) \cup (0; 3)$.
г)
Исходное неравенство: $ctg x + x^2 + x > ctg x + 6$.
ОДЗ: $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Упростим неравенство, вычитая $ctg x$ из обеих частей:
$x^2 + x > 6$
$x^2 + x - 6 > 0$
Находим корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. Корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.
Парабола $y = x^2 + x - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + x - 6 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.
Решение квадратного неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.
Учтем ОДЗ. Необходимо из полученного решения исключить все точки вида $x = \pi k$, которые попадают в эти интервалы.
Для интервала $(-\infty; -3)$: точки $x = \pi k$ при $k \le -1$ (например, $-\pi \approx -3,14$, $-2\pi \approx -6,28$ и т.д.).
Для интервала $(2; +\infty)$: точки $x = \pi k$ при $k \ge 1$ (например, $\pi \approx 3,14$, $2\pi \approx 6,28$ и т.д.).
Точка $x=0$ (при $k=0$) не попадает в решение $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.
Следовательно, нужно исключить все точки $x = \pi k$ для всех ненулевых целых $k$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$, при этом $x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 11.29 расположенного на странице 293 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.29 (с. 293), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.