Номер 11.35, страница 297 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.35, страница 297.

Условие.

11.35 a) $3\sqrt{\frac{x-1}{x-4}} - \sqrt{\frac{x-4}{x-1}} < \frac{5}{\sqrt{(x-4)(x-1)}};$

б) $4\sqrt{\frac{x+2}{x+3}} + \sqrt{\frac{x+3}{x+2}} > \frac{9}{\sqrt{(x+2)(x+3)}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное неравенство:

$$3\sqrt{\frac{x-1}{x-4}} - \sqrt{\frac{x-4}{x-1}} < \frac{5}{\sqrt{(x-4)(x-1)}}$$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а знаменатели не должны равняться нулю. Все эти условия сводятся к одному неравенству:

$$(x-4)(x-1) > 0$$

Решая это квадратичное неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$. Это и есть ОДЗ.

2. Преобразуем неравенство. Умножим обе части неравенства на $\sqrt{(x-4)(x-1)}$. На ОДЗ этот множитель строго положителен, поэтому знак неравенства не изменится.

$$3\sqrt{\frac{x-1}{x-4}} \cdot \sqrt{(x-4)(x-1)} - \sqrt{\frac{x-4}{x-1}} \cdot \sqrt{(x-4)(x-1)} < 5$$

Используя свойства корней $\sqrt{\frac{a}{b}}\sqrt{ab} = \sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$$3|x-1| - |x-4| < 5$$

3. Решим полученное неравенство с модулями, учитывая ОДЗ.

Рассмотрим два случая согласно ОДЗ.

Случай 1: $x \in (4, \infty)$.

В этом интервале $x-1 > 0$ и $x-4 > 0$, поэтому модули раскрываются со знаком плюс: $|x-1| = x-1$ и $|x-4| = x-4$.

$$3(x-1) - (x-4) < 5$$

$$3x - 3 - x + 4 < 5$$

$$2x + 1 < 5$$

$$2x < 4$$

$$x < 2$$

Пересекая полученное решение $x < 2$ с условием $x > 4$, получаем пустое множество, $x \in \emptyset$.

Случай 2: $x \in (-\infty, 1)$.

В этом интервале $x-1 < 0$ и $x-4 < 0$, поэтому модули раскрываются со знаком минус: $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ и $|x-4| = -(x-4) = 4-x$.

$$3(1-x) - (4-x) < 5$$

$$3 - 3x - 4 + x < 5$$

$$-2x - 1 < 5$$

$$-2x < 6$$

$$x > -3$$

Пересекая полученное решение $x > -3$ с условием $x < 1$, получаем интервал $x \in (-3, 1)$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in (-3, 1)$.

б)

Исходное неравенство:

$$4\sqrt{\frac{x+2}{x+3}} + \sqrt{\frac{x+3}{x+2}} > \frac{9}{\sqrt{(x+2)(x+3)}}$$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аналогично предыдущему заданию, необходимо, чтобы подкоренное выражение в знаменателе было строго положительным:

$$(x+2)(x+3) > 0$$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -3) \cup (-2, \infty)$.

2. Умножим обе части неравенства на положительное на ОДЗ выражение $\sqrt{(x+2)(x+3)}$.

$$4\sqrt{\frac{x+2}{x+3}}\sqrt{(x+2)(x+3)} + \sqrt{\frac{x+3}{x+2}}\sqrt{(x+2)(x+3)} > 9$$

Упрощая левую часть, получаем неравенство с модулями:

$$4\sqrt{(x+2)^2} + \sqrt{(x+3)^2} > 9$$

$$4|x+2| + |x+3| > 9$$

3. Решим это неравенство на ОДЗ.

Случай 1: $x \in (-2, \infty)$.

На этом интервале $x+2 > 0$ и $x+3 > 0$.

$$4(x+2) + (x+3) > 9$$

$$4x + 8 + x + 3 > 9$$

$$5x + 11 > 9$$

$$5x > -2$$

$$x > -0.4$$

Пересечение $x > -0.4$ с $x > -2$ дает $x \in (-0.4, \infty)$.

Случай 2: $x \in (-\infty, -3)$.

На этом интервале $x+2 < 0$ и $x+3 < 0$.

$$4(-(x+2)) + (-(x+3)) > 9$$

$$-4x - 8 - x - 3 > 9$$

$$-5x - 11 > 9$$

$$-5x > 20$$

$$x < -4$$

Пересечение $x < -4$ с $x < -3$ дает $x \in (-\infty, -4)$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-0.4, \infty)$.