Номер 11.35, страница 297 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.35, страница 297.
№11.35 (с. 297)
Условие. №11.35 (с. 297)
скриншот условия

11.35 a) $3\sqrt{\frac{x-1}{x-4}} - \sqrt{\frac{x-4}{x-1}} < \frac{5}{\sqrt{(x-4)(x-1)}};$
б) $4\sqrt{\frac{x+2}{x+3}} + \sqrt{\frac{x+3}{x+2}} > \frac{9}{\sqrt{(x+2)(x+3)}}.$
Решение 1. №11.35 (с. 297)


Решение 2. №11.35 (с. 297)


Решение 4. №11.35 (с. 297)
Исходное неравенство:
$$3\sqrt{\frac{x-1}{x-4}} - \sqrt{\frac{x-4}{x-1}} < \frac{5}{\sqrt{(x-4)(x-1)}}$$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а знаменатели не должны равняться нулю. Все эти условия сводятся к одному неравенству:
$$(x-4)(x-1) > 0$$
Решая это квадратичное неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$. Это и есть ОДЗ.
2. Преобразуем неравенство. Умножим обе части неравенства на $\sqrt{(x-4)(x-1)}$. На ОДЗ этот множитель строго положителен, поэтому знак неравенства не изменится.
$$3\sqrt{\frac{x-1}{x-4}} \cdot \sqrt{(x-4)(x-1)} - \sqrt{\frac{x-4}{x-1}} \cdot \sqrt{(x-4)(x-1)} < 5$$
Используя свойства корней $\sqrt{\frac{a}{b}}\sqrt{ab} = \sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$$3|x-1| - |x-4| < 5$$
3. Решим полученное неравенство с модулями, учитывая ОДЗ.
Рассмотрим два случая согласно ОДЗ.
Случай 1: $x \in (4, \infty)$.
В этом интервале $x-1 > 0$ и $x-4 > 0$, поэтому модули раскрываются со знаком плюс: $|x-1| = x-1$ и $|x-4| = x-4$.
$$3(x-1) - (x-4) < 5$$
$$3x - 3 - x + 4 < 5$$
$$2x + 1 < 5$$
$$2x < 4$$
$$x < 2$$
Пересекая полученное решение $x < 2$ с условием $x > 4$, получаем пустое множество, $x \in \emptyset$.
Случай 2: $x \in (-\infty, 1)$.
В этом интервале $x-1 < 0$ и $x-4 < 0$, поэтому модули раскрываются со знаком минус: $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ и $|x-4| = -(x-4) = 4-x$.
$$3(1-x) - (4-x) < 5$$
$$3 - 3x - 4 + x < 5$$
$$-2x - 1 < 5$$
$$-2x < 6$$
$$x > -3$$
Пересекая полученное решение $x > -3$ с условием $x < 1$, получаем интервал $x \in (-3, 1)$.
Объединяя решения из двух случаев, получаем итоговый результат.
Ответ: $x \in (-3, 1)$.
б)Исходное неравенство:
$$4\sqrt{\frac{x+2}{x+3}} + \sqrt{\frac{x+3}{x+2}} > \frac{9}{\sqrt{(x+2)(x+3)}}$$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аналогично предыдущему заданию, необходимо, чтобы подкоренное выражение в знаменателе было строго положительным:
$$(x+2)(x+3) > 0$$
Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -3) \cup (-2, \infty)$.
2. Умножим обе части неравенства на положительное на ОДЗ выражение $\sqrt{(x+2)(x+3)}$.
$$4\sqrt{\frac{x+2}{x+3}}\sqrt{(x+2)(x+3)} + \sqrt{\frac{x+3}{x+2}}\sqrt{(x+2)(x+3)} > 9$$
Упрощая левую часть, получаем неравенство с модулями:
$$4\sqrt{(x+2)^2} + \sqrt{(x+3)^2} > 9$$
$$4|x+2| + |x+3| > 9$$
3. Решим это неравенство на ОДЗ.
Случай 1: $x \in (-2, \infty)$.
На этом интервале $x+2 > 0$ и $x+3 > 0$.
$$4(x+2) + (x+3) > 9$$
$$4x + 8 + x + 3 > 9$$
$$5x + 11 > 9$$
$$5x > -2$$
$$x > -0.4$$
Пересечение $x > -0.4$ с $x > -2$ дает $x \in (-0.4, \infty)$.
Случай 2: $x \in (-\infty, -3)$.
На этом интервале $x+2 < 0$ и $x+3 < 0$.
$$4(-(x+2)) + (-(x+3)) > 9$$
$$-4x - 8 - x - 3 > 9$$
$$-5x - 11 > 9$$
$$-5x > 20$$
$$x < -4$$
Пересечение $x < -4$ с $x < -3$ дает $x \in (-\infty, -4)$.
Объединяя решения из двух случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-0.4, \infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 11.35 расположенного на странице 297 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.35 (с. 297), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.