Номер 11.41, страница 298 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.41, страница 298.

Условие.

11.41 a) $log_{\frac{1}{11}} \frac{1}{2x-11} > log_{\frac{1}{11}} \frac{1}{3x-20};$

б) $log_{11} \frac{1}{4x-7} > log_{11} \frac{1}{5x-14};$

в) $log_{\frac{1}{13}} \frac{1}{4x-17} > log_{\frac{1}{13}} \frac{1}{5x-40};$

г) $log_{13} \frac{1}{3x-22} > log_{13} \frac{1}{4x-13}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Решим логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{11}} \frac{1}{2x-11} > \log_{\frac{1}{11}} \frac{1}{3x-20}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$\begin{cases} \frac{1}{2x-11} > 0 \\ \frac{1}{3x-20} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x-11 > 0 \\ 3x-20 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{11}{2} \\ x > \frac{20}{3} \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5.5 \\ x > 6 \frac{2}{3} \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > \frac{20}{3}$.

2. Так как основание логарифма $a = \frac{1}{11}$ и $0 < \frac{1}{11} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{1}{2x-11} < \frac{1}{3x-20}$

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{1}{2x-11} - \frac{1}{3x-20} < 0$

$\frac{(3x-20) - (2x-11)}{(2x-11)(3x-20)} < 0$

$\frac{3x - 20 - 2x + 11}{(2x-11)(3x-20)} < 0$

$\frac{x-9}{(2x-11)(3x-20)} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=9$, $x=5.5$, $x=\frac{20}{3}$. Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки на интервалах. Решением неравенства является объединение интервалов, где выражение отрицательно: $x \in (-\infty, 5.5) \cup (\frac{20}{3}, 9)$.

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ ($x > \frac{20}{3}$):

Пересечением множеств $(-\infty, 5.5) \cup (\frac{20}{3}, 9)$ и $(\frac{20}{3}, +\infty)$ является интервал $(\frac{20}{3}, 9)$.

Ответ: $x \in (\frac{20}{3}, 9)$.

б)

Решим логарифмическое неравенство $\log_{11} \frac{1}{4x-7} > \log_{11} \frac{1}{5x-14}$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} \frac{1}{4x-7} > 0 \\ \frac{1}{5x-14} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x-7 > 0 \\ 5x-14 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{7}{4} \\ x > \frac{14}{5} \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1.75 \\ x > 2.8 \end{cases}$

Пересечением является $x > \frac{14}{5}$.

2. Основание логарифма $a=11$, $11 > 1$, поэтому логарифмическая функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется:

$\frac{1}{4x-7} > \frac{1}{5x-14}$

$\frac{1}{4x-7} - \frac{1}{5x-14} > 0$

$\frac{(5x-14) - (4x-7)}{(4x-7)(5x-14)} > 0$

$\frac{x-7}{(4x-7)(5x-14)} > 0$

Методом интервалов находим нули: $x=7$, $x=\frac{7}{4}$, $x=\frac{14}{5}$. Решением неравенства является $x \in (\frac{7}{4}, \frac{14}{5}) \cup (7, +\infty)$.

3. Совместим с ОДЗ ($x > \frac{14}{5}$):

Пересечение множеств $(\frac{7}{4}, \frac{14}{5}) \cup (7, +\infty)$ и $(\frac{14}{5}, +\infty)$ есть интервал $(7, +\infty)$.

Ответ: $x \in (7, +\infty)$.

в)

Решим логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{13}} \frac{1}{4x-17} > \log_{\frac{1}{13}} \frac{1}{5x-40}$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} \frac{1}{4x-17} > 0 \\ \frac{1}{5x-40} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x-17 > 0 \\ 5x-40 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{17}{4} \\ x > 8 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 4.25 \\ x > 8 \end{cases}$

Пересечением является $x > 8$.

2. Основание логарифма $a = \frac{1}{13}$, $0 < \frac{1}{13} < 1$, функция убывающая. Меняем знак неравенства:

$\frac{1}{4x-17} < \frac{1}{5x-40}$

$\frac{1}{4x-17} - \frac{1}{5x-40} < 0$

$\frac{(5x-40) - (4x-17)}{(4x-17)(5x-40)} < 0$

$\frac{x-23}{(4x-17)(5x-40)} < 0$

Нули: $x=23$, $x=\frac{17}{4}$, $x=8$. Решение неравенства методом интервалов: $x \in (-\infty, \frac{17}{4}) \cup (8, 23)$.

3. Совместим с ОДЗ ($x > 8$):

Пересечение множеств $(-\infty, \frac{17}{4}) \cup (8, 23)$ и $(8, +\infty)$ есть интервал $(8, 23)$.

Ответ: $x \in (8, 23)$.

г)

Решим логарифмическое неравенство $\log_{13} \frac{1}{3x-22} > \log_{13} \frac{1}{4x-13}$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} \frac{1}{3x-22} > 0 \\ \frac{1}{4x-13} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x-22 > 0 \\ 4x-13 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{22}{3} \\ x > \frac{13}{4} \end{cases} \implies \begin{cases} x > 7 \frac{1}{3} \\ x > 3.25 \end{cases}$

Пересечением является $x > \frac{22}{3}$.

2. Основание логарифма $a=13$, $13 > 1$, функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется:

$\frac{1}{3x-22} > \frac{1}{4x-13}$

$\frac{1}{3x-22} - \frac{1}{4x-13} > 0$

$\frac{(4x-13) - (3x-22)}{(3x-22)(4x-13)} > 0$

$\frac{x+9}{(3x-22)(4x-13)} > 0$

Нули: $x=-9$, $x=\frac{22}{3}$, $x=\frac{13}{4}$. Решение неравенства методом интервалов: $x \in (-9, \frac{13}{4}) \cup (\frac{22}{3}, +\infty)$.

3. Совместим с ОДЗ ($x > \frac{22}{3}$):

Пересечение множеств $(-9, \frac{13}{4}) \cup (\frac{22}{3}, +\infty)$ и $(\frac{22}{3}, +\infty)$ есть интервал $(\frac{22}{3}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{22}{3}, +\infty)$.