Номер 11.43, страница 298 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.43, страница 298.
№11.43 (с. 298)
Условие. №11.43 (с. 298)
скриншот условия

11.43* a) $\frac{\sqrt{x^2 + 1} - |\cos x|}{\sqrt{2x} + |\cos x|} > \frac{\sqrt{2x} - |\cos x|}{\sqrt{x^2 + 1} + |\cos x|}$;
б) $\frac{\sqrt{x^2 - 4} - |\sin x|}{\sqrt{3x} + |\sin x|} < \frac{\sqrt{3x} - |\sin x|}{\sqrt{x^2 - 4} + |\sin x|}$.
Решение 1. №11.43 (с. 298)


Решение 2. №11.43 (с. 298)

Решение 3. №11.43 (с. 298)

Решение 4. №11.43 (с. 298)
а)
Исходное неравенство:
$$ \frac{\sqrt{x^2 + 1} - |\cos x|}{\sqrt{2x} + |\cos x|} > \frac{\sqrt{2x} - |\cos x|}{\sqrt{x^2 + 1} + |\cos x|} $$
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными: $x^2 + 1 \ge 0$ (выполняется для всех $x$) и $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$. Знаменатели дробей не должны равняться нулю. Знаменатель $\sqrt{x^2 + 1} + |\cos x|$ всегда положителен, так как $\sqrt{x^2 + 1} \ge 1$. Знаменатель $\sqrt{2x} + |\cos x|$ является суммой двух неотрицательных слагаемых и равен нулю только если $\sqrt{2x}=0$ и $|\cos x|=0$ одновременно, что невозможно. Следовательно, ОДЗ неравенства: $x \ge 0$.
Для упрощения введем замены: пусть $a = \sqrt{x^2 + 1}$, $b = \sqrt{2x}$ и $c = |\cos x|$. Неравенство принимает вид:
$$ \frac{a - c}{b + c} > \frac{b - c}{a + c} $$
Так как на ОДЗ знаменатели $a+c$ и $b+c$ строго положительны, можно умножить обе части неравенства на их произведение $(a+c)(b+c)$, сохранив знак неравенства:
$$ (a - c)(a + c) > (b - c)(b + c) $$
Используя формулу разности квадратов $(u-v)(u+v) = u^2 - v^2$, получаем:
$$ a^2 - c^2 > b^2 - c^2 $$
Прибавив $c^2$ к обеим частям, приходим к неравенству:
$$ a^2 > b^2 $$
Теперь вернемся к исходным переменным, подставив выражения для $a$ и $b$:
$$ (\sqrt{x^2 + 1})^2 > (\sqrt{2x})^2 $$
$$ x^2 + 1 > 2x $$
Перенесем все члены в левую часть и упростим:
$$ x^2 - 2x + 1 > 0 $$
$$ (x - 1)^2 > 0 $$
Квадрат действительного числа положителен тогда и только тогда, когда это число не равно нулю. Значит, $x - 1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$.
Совмещая это условие с ОДЗ ($x \ge 0$), получаем окончательное решение.
Ответ: $x \in [0, 1) \cup (1, \infty)$.
б)
Исходное неравенство:
$$ \frac{\sqrt{x^2 - 4} - |\sin x|}{\sqrt{3x} + |\sin x|} < \frac{\sqrt{3x} - |\sin x|}{\sqrt{x^2 - 4} + |\sin x|} $$
Найдем ОДЗ. Условия на подкоренные выражения: $x^2 - 4 \ge 0$ и $3x \ge 0$. Из первого следует $x^2 \ge 4$, то есть $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$. Из второго $x \ge 0$. Пересечение этих условий дает $x \ge 2$. Знаменатели $\sqrt{3x} + |\sin x|$ и $\sqrt{x^2 - 4} + |\sin x|$ на множестве $x \ge 2$ всегда положительны (сумма неотрицательных слагаемых, которые не обращаются в ноль одновременно). Таким образом, ОДЗ: $x \ge 2$.
Структура этого неравенства аналогична предыдущему. Введем замены: $a = \sqrt{x^2 - 4}$, $b = \sqrt{3x}$ и $c = |\sin x|$.
$$ \frac{a - c}{b + c} < \frac{b - c}{a + c} $$
Умножаем на положительное произведение знаменателей $(a+c)(b+c)$:
$$ (a - c)(a + c) < (b - c)(b + c) $$
$$ a^2 - c^2 < b^2 - c^2 $$
$$ a^2 < b^2 $$
Подставляем обратно исходные выражения:
$$ (\sqrt{x^2 - 4})^2 < (\sqrt{3x})^2 $$
$$ x^2 - 4 < 3x $$
Решаем полученное квадратное неравенство:
$$ x^2 - 3x - 4 < 0 $$
Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант получаем корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$. Так как парабола $y = x^2 - 3x - 4$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями: $x \in (-1, 4)$.
Найдем пересечение этого интервала с ОДЗ ($x \ge 2$):
$$ x \in (-1, 4) \cap [2, \infty) $$
Это дает нам итоговый промежуток $[2, 4)$.
Ответ: $x \in [2, 4)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 11.43 расположенного на странице 298 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.43 (с. 298), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.