Номер 11.42, страница 298 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.42, страница 298.
№11.42 (с. 298)
Условие. №11.42 (с. 298)
скриншот условия

11.42* a) $2\lg(x - 1) < \lg(x + 1);$
б) $2\lg(x + 3) < \lg(x + 5).$
Решение 1. №11.42 (с. 298)


Решение 2. №11.42 (с. 298)


Решение 4. №11.42 (с. 298)
а) $2\lg(x - 1) < \lg(x + 1)$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > 1 \\ x > -1 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.
2. Преобразуем неравенство, используя свойство логарифма $n \cdot \log_a(b) = \log_a(b^n)$:
$\lg((x - 1)^2) < \lg(x + 1)$
3. Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для подлогарифмических выражений, сохранив знак неравенства:
$(x - 1)^2 < x + 1$
4. Решим полученное квадратное неравенство:
$x^2 - 2x + 1 < x + 1$
$x^2 - 3x < 0$
$x(x - 3) < 0$
Корнями соответствующего уравнения $x(x - 3) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $y = x^2 - 3x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $x(x - 3) < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Решение этого неравенства: $x \in (0; 3)$.
5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (0; 3) \\ x > 1 \end{cases}$ $\implies$ $x \in (1; 3)$
Ответ: $(1; 3)$.
б) $2\lg(x + 3) < \lg(x + 5)$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} x + 3 > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > -3 \\ x > -5 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > -3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-3; +\infty)$.
2. Преобразуем неравенство по свойству логарифма $n \cdot \log_a(b) = \log_a(b^n)$:
$\lg((x + 3)^2) < \lg(x + 5)$
3. Так как основание логарифма $10 > 1$, переходим к неравенству для подлогарифмических выражений:
$(x + 3)^2 < x + 5$
4. Решим полученное квадратное неравенство:
$x^2 + 6x + 9 < x + 5$
$x^2 + 5x + 4 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -5$ и $x_1 \cdot x_2 = 4$, откуда корни $x_1 = -4$ и $x_2 = -1$.
Неравенство можно записать в виде $(x + 4)(x + 1) < 0$. Графиком функции $y = x^2 + 5x + 4$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется на интервале между корнями.
Решение этого неравенства: $x \in (-4; -1)$.
5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-4; -1) \\ x > -3 \end{cases}$ $\implies$ $x \in (-3; -1)$
Ответ: $(-3; -1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 11.42 расположенного на странице 298 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.42 (с. 298), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.