Номер 11.42, страница 298 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.42, страница 298.

Условие.

11.42* a) $2\lg(x - 1) < \lg(x + 1);$

б) $2\lg(x + 3) < \lg(x + 5).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $2\lg(x - 1) < \lg(x + 1)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > 1 \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.

2. Преобразуем неравенство, используя свойство логарифма $n \cdot \log_a(b) = \log_a(b^n)$:

$\lg((x - 1)^2) < \lg(x + 1)$

3. Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для подлогарифмических выражений, сохранив знак неравенства:

$(x - 1)^2 < x + 1$

4. Решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 - 2x + 1 < x + 1$

$x^2 - 3x < 0$

$x(x - 3) < 0$

Корнями соответствующего уравнения $x(x - 3) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $y = x^2 - 3x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $x(x - 3) < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Решение этого неравенства: $x \in (0; 3)$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x \in (0; 3) \\ x > 1 \end{cases}$ $\implies$ $x \in (1; 3)$

Ответ: $(1; 3)$.

б) $2\lg(x + 3) < \lg(x + 5)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x + 3 > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > -3 \\ x > -5 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > -3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-3; +\infty)$.

2. Преобразуем неравенство по свойству логарифма $n \cdot \log_a(b) = \log_a(b^n)$:

$\lg((x + 3)^2) < \lg(x + 5)$

3. Так как основание логарифма $10 > 1$, переходим к неравенству для подлогарифмических выражений:

$(x + 3)^2 < x + 5$

4. Решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 + 6x + 9 < x + 5$

$x^2 + 5x + 4 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -5$ и $x_1 \cdot x_2 = 4$, откуда корни $x_1 = -4$ и $x_2 = -1$.

Неравенство можно записать в виде $(x + 4)(x + 1) < 0$. Графиком функции $y = x^2 + 5x + 4$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется на интервале между корнями.

Решение этого неравенства: $x \in (-4; -1)$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x \in (-4; -1) \\ x > -3 \end{cases}$ $\implies$ $x \in (-3; -1)$

Ответ: $(-3; -1)$.