Номер 11.48, страница 300 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.48, страница 300.

№11.48 (с. 300)
Условие. №11.48 (с. 300)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 300, номер 11.48, Условие

Найдите все решения неравенства, принадлежащие указанному промежутку (11.48–11.54):

11.48 a) $(\sin x - \frac{1}{2})(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}) > 0$, $(0; \pi);$

б) $(\cos x + \frac{1}{2})(\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}) > 0$, $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}).$

Решение 1. №11.48 (с. 300)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 300, номер 11.48, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 300, номер 11.48, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №11.48 (с. 300)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 300, номер 11.48, Решение 2
Решение 3. №11.48 (с. 300)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 300, номер 11.48, Решение 3 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 300, номер 11.48, Решение 3 (продолжение 2)
Решение 4. №11.48 (с. 300)

a) Дано неравенство $(\sin x - \frac{1}{2})(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}) > 0$ и промежуток $(0; \pi)$.

Произведение двух сомножителей больше нуля тогда и только тогда, когда оба сомножителя одного знака. Это приводит к двум системам неравенств:

1) Оба сомножителя положительны:
$\begin{cases} \sin x - \frac{1}{2} > 0 \\ \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x > \frac{1}{2} \\ \sin x > -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$
Решением этой системы является неравенство $\sin x > \frac{1}{2}$.

2) Оба сомножителя отрицательны:
$\begin{cases} \sin x - \frac{1}{2} < 0 \\ \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x < \frac{1}{2} \\ \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$
Решением этой системы является неравенство $\sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $\sin x > \frac{1}{2}$ или $\sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь необходимо найти решения, которые принадлежат промежутку $(0; \pi)$. На этом промежутке функция синуса принимает значения в диапазоне $0 < \sin x \le 1$.

Рассмотрим неравенство $\sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как на промежутке $(0; \pi)$ синус положителен, это неравенство не имеет решений в указанном промежутке.

Рассмотрим неравенство $\sin x > \frac{1}{2}$. Найдем значения $x$ из промежутка $(0; \pi)$, для которых $\sin x = \frac{1}{2}$. Это $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

На промежутке $(0; \pi)$ синус больше $\frac{1}{2}$ между этими двумя значениями. Таким образом, решение неравенства $\sin x > \frac{1}{2}$ на данном промежутке есть интервал $(\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6})$.

Ответ: $(\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6})$.

б) Дано неравенство $(\cos x + \frac{1}{2})(\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}) > 0$ и промежуток $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Аналогично предыдущему пункту, произведение положительно, когда сомножители одного знака.

1) Оба сомножителя положительны:
$\begin{cases} \cos x + \frac{1}{2} > 0 \\ \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \cos x > -\frac{1}{2} \\ \cos x > \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$
Решением этой системы является $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Оба сомножителя отрицательны:
$\begin{cases} \cos x + \frac{1}{2} < 0 \\ \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \cos x < -\frac{1}{2} \\ \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$
Решением этой системы является $\cos x < -\frac{1}{2}$.

Исходное неравенство равносильно совокупности: $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\cos x < -\frac{1}{2}$.

Теперь найдем решения, принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. На этом промежутке функция косинуса принимает значения в диапазоне $0 < \cos x \le 1$.

Неравенство $\cos x < -\frac{1}{2}$ не имеет решений на данном промежутке, так как косинус здесь положителен.

Остается решить неравенство $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем значения $x$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которых $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{6}$.

На промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ косинус больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$ между этими двумя значениями. Следовательно, решение неравенства есть интервал $(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6})$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6})$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 11.48 расположенного на странице 300 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.48 (с. 300), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.