Номер 11.48, страница 300 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.48, страница 300.

Условие.

Найдите все решения неравенства, принадлежащие указанному промежутку (11.48–11.54):

11.48 a) $(\sin x - \frac{1}{2})(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}) > 0$, $(0; \pi);$

б) $(\cos x + \frac{1}{2})(\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}) > 0$, $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) Дано неравенство $(\sin x - \frac{1}{2})(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}) > 0$ и промежуток $(0; \pi)$.

Произведение двух сомножителей больше нуля тогда и только тогда, когда оба сомножителя одного знака. Это приводит к двум системам неравенств:

1) Оба сомножителя положительны:
$\begin{cases} \sin x - \frac{1}{2} > 0 \\ \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x > \frac{1}{2} \\ \sin x > -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$
Решением этой системы является неравенство $\sin x > \frac{1}{2}$.

2) Оба сомножителя отрицательны:
$\begin{cases} \sin x - \frac{1}{2} < 0 \\ \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x < \frac{1}{2} \\ \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$
Решением этой системы является неравенство $\sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $\sin x > \frac{1}{2}$ или $\sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь необходимо найти решения, которые принадлежат промежутку $(0; \pi)$. На этом промежутке функция синуса принимает значения в диапазоне $0 < \sin x \le 1$.

Рассмотрим неравенство $\sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как на промежутке $(0; \pi)$ синус положителен, это неравенство не имеет решений в указанном промежутке.

Рассмотрим неравенство $\sin x > \frac{1}{2}$. Найдем значения $x$ из промежутка $(0; \pi)$, для которых $\sin x = \frac{1}{2}$. Это $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

На промежутке $(0; \pi)$ синус больше $\frac{1}{2}$ между этими двумя значениями. Таким образом, решение неравенства $\sin x > \frac{1}{2}$ на данном промежутке есть интервал $(\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6})$.

Ответ: $(\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6})$.

б) Дано неравенство $(\cos x + \frac{1}{2})(\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}) > 0$ и промежуток $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Аналогично предыдущему пункту, произведение положительно, когда сомножители одного знака.

1) Оба сомножителя положительны:
$\begin{cases} \cos x + \frac{1}{2} > 0 \\ \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \cos x > -\frac{1}{2} \\ \cos x > \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$
Решением этой системы является $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Оба сомножителя отрицательны:
$\begin{cases} \cos x + \frac{1}{2} < 0 \\ \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \cos x < -\frac{1}{2} \\ \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$
Решением этой системы является $\cos x < -\frac{1}{2}$.

Исходное неравенство равносильно совокупности: $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\cos x < -\frac{1}{2}$.

Теперь найдем решения, принадлежащие промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. На этом промежутке функция косинуса принимает значения в диапазоне $0 < \cos x \le 1$.

Неравенство $\cos x < -\frac{1}{2}$ не имеет решений на данном промежутке, так как косинус здесь положителен.

Остается решить неравенство $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем значения $x$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которых $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{6}$.

На промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ косинус больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$ между этими двумя значениями. Следовательно, решение неравенства есть интервал $(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6})$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6})$.