Номер 11.49, страница 300 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.49, страница 300.

Условие.

11.49 a) $(x - \log_3 75)(x - \log_2 22) > 0, [3; 4];$

б) $(x - \log_2 17)(x - \log_2 71) < 0, [4; 5].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Требуется найти целочисленные решения неравенства $(x - \log_3 75)(x - \log_2 22) > 0$ на отрезке $[3; 4]$.

Решим неравенство методом интервалов. Корнями соответствующего уравнения $(x - \log_3 75)(x - \log_2 22) = 0$ являются $x_1 = \log_3 75$ и $x_2 = \log_2 22$.

Оценим значения этих корней:

Для $x_1 = \log_3 75$:
Поскольку $3^3 = 27$ и $3^4 = 81$, то $27 < 75 < 81$.
Следовательно, $\log_3 27 < \log_3 75 < \log_3 81$, что означает $3 < \log_3 75 < 4$.

Для $x_2 = \log_2 22$:
Поскольку $2^4 = 16$ и $2^5 = 32$, то $16 < 22 < 32$.
Следовательно, $\log_2 16 < \log_2 22 < \log_2 32$, что означает $4 < \log_2 22 < 5$.

Таким образом, мы установили, что $x_1 < 4$ и $x_2 > 4$, значит $x_1 < x_2$.
Решением неравенства вида $(x-a)(x-b) > 0$ при $a < b$ является объединение интервалов $x < a$ и $x > b$.
В нашем случае решение: $x < \log_3 75$ или $x > \log_2 22$.

Теперь проверим, какие целые числа из отрезка $[3; 4]$ удовлетворяют этому условию. Целые числа на данном отрезке: 3 и 4.

Проверим $x = 3$:
Нужно проверить, выполняется ли условие $3 < \log_3 75$ или $3 > \log_2 22$.
Так как $3^3 = 27 < 75$, то $\log_3 (3^3) < \log_3 75$, то есть $3 < \log_3 75$. Первое условие выполнено.
Следовательно, $x=3$ является решением неравенства и принадлежит заданному отрезку.

Проверим $x = 4$:
Нужно проверить, выполняется ли условие $4 < \log_3 75$ или $4 > \log_2 22$.
Так как $3^4 = 81 > 75$, то $\log_3 (3^4) > \log_3 75$, то есть $4 > \log_3 75$. Первое условие ($4 < \log_3 75$) не выполнено.
Так как $2^4 = 16 < 22$, то $\log_2 (2^4) < \log_2 22$, то есть $4 < \log_2 22$. Второе условие ($4 > \log_2 22$) также не выполнено.
Следовательно, $x=4$ не является решением неравенства.

Единственное целое число из отрезка $[3; 4]$, удовлетворяющее неравенству, это 3.

Ответ: 3

б) Требуется найти целочисленные решения неравенства $(x - \log_2 17)(x - \log_2 71) < 0$ на отрезке $[4; 5]$.

Решим неравенство методом интервалов. Корнями соответствующего уравнения $(x - \log_2 17)(x - \log_2 71) = 0$ являются $x_1 = \log_2 17$ и $x_2 = \log_2 71$.

Оценим значения этих корней:

Для $x_1 = \log_2 17$:
Поскольку $2^4 = 16$ и $2^5 = 32$, то $16 < 17 < 32$.
Следовательно, $\log_2 16 < \log_2 17 < \log_2 32$, что означает $4 < \log_2 17 < 5$.

Для $x_2 = \log_2 71$:
Поскольку $2^6 = 64$ и $2^7 = 128$, то $64 < 71 < 128$.
Следовательно, $\log_2 64 < \log_2 71 < \log_2 128$, что означает $6 < \log_2 71 < 7$.

Решением неравенства вида $(x-a)(x-b) < 0$ при $a < b$ является интервал $a < x < b$.
В нашем случае решение: $\log_2 17 < x < \log_2 71$.

Теперь проверим, какие целые числа из отрезка $[4; 5]$ удовлетворяют этому условию. Целые числа на данном отрезке: 4 и 5.

Проверим $x = 4$:
Нужно проверить, выполняется ли условие $\log_2 17 < 4 < \log_2 71$.
Так как $2^4 = 16 < 17$, то $\log_2 (2^4) < \log_2 17$, то есть $4 < \log_2 17$.
Следовательно, левая часть двойного неравенства ($\log_2 17 < 4$) неверна. Значит, $x=4$ не является решением.

Проверим $x = 5$:
Нужно проверить, выполняется ли условие $\log_2 17 < 5 < \log_2 71$.
Проверим левую часть: $\log_2 17 < 5$. Так как $2^5 = 32$, а $17 < 32$, то неравенство $\log_2 17 < \log_2 32$ верно.
Проверим правую часть: $5 < \log_2 71$. Так как $2^5 = 32$, а $32 < 71$, то неравенство $\log_2 32 < \log_2 71$ верно.
Оба неравенства верны, значит $x=5$ является решением и принадлежит заданному отрезку.

Единственное целое число из отрезка $[4; 5]$, удовлетворяющее неравенству, это 5.

Ответ: 5