Номер 11.56, страница 302 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.56, страница 302.

Условие.

11.56 а) $ \sqrt{x^2 - 9}(x + 8) \ge 0; $

Б) $ (x - 4)\sqrt{x^2 - 4} \le 0; $

В) $ \sqrt{x^2 - 16}(x - 5) \ge 0; $

Г) $ (x + 7)\sqrt{x^2 - 25} \le 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) Решим неравенство $\frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x+8} \ge 0$.

Данное неравенство равносильно совокупности двух случаев:

1. Числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это даст решения, при которых левая часть равна нулю.

$\sqrt{x^2 - 9} = 0 \implies x^2 - 9 = 0 \implies x_1 = 3, x_2 = -3$.

Проверим знаменатель: при $x=3$, $x+8=11 \neq 0$; при $x=-3$, $x+8=5 \neq 0$. Оба значения являются решениями.

2. Дробь строго больше нуля. Так как числитель $\sqrt{x^2-9}$ (там, где он существует и не равен нулю) всегда положителен, то для выполнения неравенства знаменатель также должен быть положителен.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 9 > 0 \\ x + 8 > 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$x^2 - 9 > 0 \implies (x-3)(x+3) > 0 \implies x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

$x + 8 > 0 \implies x > -8$.

Найдём пересечение этих решений: $(-8, -3) \cup (3, \infty)$.

Объединим решения из обоих случаев: $\{ -3, 3 \} \cup ((-8, -3) \cup (3, \infty))$.

Получаем итоговый ответ: $x \in (-8, -3] \cup [3, \infty)$.

Ответ: $(-8, -3] \cup [3, \infty)$.

б) Решим неравенство $(x-4)\sqrt{x^2-4} \le 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x^2 - 4 \ge 0 \implies (x-2)(x+2) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Неравенство $\le 0$ выполняется в следующих случаях:

1. Произведение равно нулю. Это возможно, если один из множителей равен нулю.

$\sqrt{x^2-4} = 0 \implies x^2-4=0 \implies x_1=2, x_2=-2$. Оба значения входят в ОДЗ.

$x-4=0 \implies x_3=4$. Это значение также входит в ОДЗ.

Таким образом, $x=-2, x=2, x=4$ являются решениями.

2. Произведение строго меньше нуля. Множитель $\sqrt{x^2-4}$ всегда положителен (если не равен нулю), поэтому знак произведения определяется знаком множителя $(x-4)$.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x - 4 < 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$x^2 - 4 > 0 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

$x - 4 < 0 \implies x < 4$.

Пересечение этих множеств дает нам $x \in (-\infty, -2) \cup (2, 4)$.

Объединим все найденные решения: $\{ -2, 2, 4 \} \cup ((-\infty, -2) \cup (2, 4))$.

Итоговый ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, 4]$.

Ответ: $(-\infty, -2] \cup [2, 4]$.

в) Решим неравенство $\frac{\sqrt{x^2 - 16}}{x-5} \ge 0$.

Решение этого неравенства аналогично пункту а).

1. Левая часть равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель - нет.

$\sqrt{x^2 - 16} = 0 \implies x^2 - 16 = 0 \implies x_1 = 4, x_2 = -4$.

Знаменатель $x-5$ при этих значениях не равен нулю. Значит, $x=4$ и $x=-4$ являются решениями.

2. Дробь строго больше нуля. Так как $\sqrt{x^2-16} > 0$ на своей области определения, то и знаменатель должен быть положителен.

Получаем систему:

$\begin{cases} x^2 - 16 > 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases}$

Решим систему:

$x^2 - 16 > 0 \implies x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$.

$x - 5 > 0 \implies x > 5$.

Пересечение этих множеств: $x \in (5, \infty)$.

Объединяя все решения, получаем две изолированные точки и интервал.

Ответ: $\{-4\} \cup \{4\} \cup (5, \infty)$.

г) Решим неравенство $(x+7)\sqrt{x^2-25} \le 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$x^2 - 25 \ge 0 \implies (x-5)(x+5) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty)$.

Неравенство $\le 0$ выполняется в следующих случаях:

1. Произведение равно нулю.

$\sqrt{x^2-25} = 0 \implies x^2-25=0 \implies x_1=5, x_2=-5$. Оба значения в ОДЗ.

$x+7=0 \implies x_3=-7$. Это значение также в ОДЗ.

Решения: $x=-7, x=-5, x=5$.

2. Произведение строго меньше нуля. Так как $\sqrt{x^2-25} > 0$ (при $x^2-25 \neq 0$), то множитель $(x+7)$ должен быть отрицательным.

Получаем систему:

$\begin{cases} x^2 - 25 > 0 \\ x + 7 < 0 \end{cases}$

Решим систему:

$x^2 - 25 > 0 \implies x \in (-\infty, -5) \cup (5, \infty)$.

$x + 7 < 0 \implies x < -7$.

Пересечение этих множеств: $x \in (-\infty, -7)$.

Объединим все найденные решения: $\{ -7, -5, 5 \} \cup (-\infty, -7)$.

Итоговый ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup \{-5\} \cup \{5\}$.

Ответ: $(-\infty, -7] \cup \{-5\} \cup \{5\}$.