Номер 11.56, страница 302 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.56, страница 302.
№11.56 (с. 302)
Условие. №11.56 (с. 302)
скриншот условия

11.56 а) $ \sqrt{x^2 - 9}(x + 8) \ge 0; $
Б) $ (x - 4)\sqrt{x^2 - 4} \le 0; $
В) $ \sqrt{x^2 - 16}(x - 5) \ge 0; $
Г) $ (x + 7)\sqrt{x^2 - 25} \le 0. $
Решение 1. №11.56 (с. 302)




Решение 2. №11.56 (с. 302)




Решение 4. №11.56 (с. 302)
a) Решим неравенство $\frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x+8} \ge 0$.
Данное неравенство равносильно совокупности двух случаев:
1. Числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это даст решения, при которых левая часть равна нулю.
$\sqrt{x^2 - 9} = 0 \implies x^2 - 9 = 0 \implies x_1 = 3, x_2 = -3$.
Проверим знаменатель: при $x=3$, $x+8=11 \neq 0$; при $x=-3$, $x+8=5 \neq 0$. Оба значения являются решениями.
2. Дробь строго больше нуля. Так как числитель $\sqrt{x^2-9}$ (там, где он существует и не равен нулю) всегда положителен, то для выполнения неравенства знаменатель также должен быть положителен.
Получаем систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 9 > 0 \\ x + 8 > 0 \end{cases}$
Решим эту систему:
$x^2 - 9 > 0 \implies (x-3)(x+3) > 0 \implies x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.
$x + 8 > 0 \implies x > -8$.
Найдём пересечение этих решений: $(-8, -3) \cup (3, \infty)$.
Объединим решения из обоих случаев: $\{ -3, 3 \} \cup ((-8, -3) \cup (3, \infty))$.
Получаем итоговый ответ: $x \in (-8, -3] \cup [3, \infty)$.
Ответ: $(-8, -3] \cup [3, \infty)$.
б) Решим неравенство $(x-4)\sqrt{x^2-4} \le 0$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$x^2 - 4 \ge 0 \implies (x-2)(x+2) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
Неравенство $\le 0$ выполняется в следующих случаях:
1. Произведение равно нулю. Это возможно, если один из множителей равен нулю.
$\sqrt{x^2-4} = 0 \implies x^2-4=0 \implies x_1=2, x_2=-2$. Оба значения входят в ОДЗ.
$x-4=0 \implies x_3=4$. Это значение также входит в ОДЗ.
Таким образом, $x=-2, x=2, x=4$ являются решениями.
2. Произведение строго меньше нуля. Множитель $\sqrt{x^2-4}$ всегда положителен (если не равен нулю), поэтому знак произведения определяется знаком множителя $(x-4)$.
Получаем систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x - 4 < 0 \end{cases}$
Решим эту систему:
$x^2 - 4 > 0 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
$x - 4 < 0 \implies x < 4$.
Пересечение этих множеств дает нам $x \in (-\infty, -2) \cup (2, 4)$.
Объединим все найденные решения: $\{ -2, 2, 4 \} \cup ((-\infty, -2) \cup (2, 4))$.
Итоговый ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, 4]$.
Ответ: $(-\infty, -2] \cup [2, 4]$.
в) Решим неравенство $\frac{\sqrt{x^2 - 16}}{x-5} \ge 0$.
Решение этого неравенства аналогично пункту а).
1. Левая часть равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель - нет.
$\sqrt{x^2 - 16} = 0 \implies x^2 - 16 = 0 \implies x_1 = 4, x_2 = -4$.
Знаменатель $x-5$ при этих значениях не равен нулю. Значит, $x=4$ и $x=-4$ являются решениями.
2. Дробь строго больше нуля. Так как $\sqrt{x^2-16} > 0$ на своей области определения, то и знаменатель должен быть положителен.
Получаем систему:
$\begin{cases} x^2 - 16 > 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases}$
Решим систему:
$x^2 - 16 > 0 \implies x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$.
$x - 5 > 0 \implies x > 5$.
Пересечение этих множеств: $x \in (5, \infty)$.
Объединяя все решения, получаем две изолированные точки и интервал.
Ответ: $\{-4\} \cup \{4\} \cup (5, \infty)$.
г) Решим неравенство $(x+7)\sqrt{x^2-25} \le 0$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$x^2 - 25 \ge 0 \implies (x-5)(x+5) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty)$.
Неравенство $\le 0$ выполняется в следующих случаях:
1. Произведение равно нулю.
$\sqrt{x^2-25} = 0 \implies x^2-25=0 \implies x_1=5, x_2=-5$. Оба значения в ОДЗ.
$x+7=0 \implies x_3=-7$. Это значение также в ОДЗ.
Решения: $x=-7, x=-5, x=5$.
2. Произведение строго меньше нуля. Так как $\sqrt{x^2-25} > 0$ (при $x^2-25 \neq 0$), то множитель $(x+7)$ должен быть отрицательным.
Получаем систему:
$\begin{cases} x^2 - 25 > 0 \\ x + 7 < 0 \end{cases}$
Решим систему:
$x^2 - 25 > 0 \implies x \in (-\infty, -5) \cup (5, \infty)$.
$x + 7 < 0 \implies x < -7$.
Пересечение этих множеств: $x \in (-\infty, -7)$.
Объединим все найденные решения: $\{ -7, -5, 5 \} \cup (-\infty, -7)$.
Итоговый ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup \{-5\} \cup \{5\}$.
Ответ: $(-\infty, -7] \cup \{-5\} \cup \{5\}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 11.56 расположенного на странице 302 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.56 (с. 302), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.