Номер 11.58, страница 302 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.58, страница 302.

Условие.

11.58 a) $\frac{(2x+3)\sqrt{x-2}}{x-6,6} \ge \frac{5\sqrt{x-2}}{x-5};$

б) $\frac{3x+1}{(2x+1)\sqrt{2-x}} \le \frac{1}{(x+1)\sqrt{2-x}};$

В) $\frac{(2x-7)\sqrt{x-1}}{x-3} \ge \frac{9\sqrt{x-1}}{5-x};$

Г) $\frac{1}{(x+1)\sqrt{9-x}} \le \frac{4-x}{(8-x)\sqrt{9-x}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное неравенство:

$\frac{(2x + 3)\sqrt{x - 2}}{x - 6,6} \ge \frac{5\sqrt{x - 2}}{x - 5}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Знаменатели не должны быть равны нулю: $x - 6,6 \ne 0 \implies x \ne 6,6$ и $x - 5 \ne 0 \implies x \ne 5$.

ОДЗ: $x \in [2; 5) \cup (5; 6,6) \cup (6,6; +\infty)$.

2. Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $\sqrt{x-2}$ за скобки:

$\frac{(2x + 3)\sqrt{x - 2}}{x - 6,6} - \frac{5\sqrt{x - 2}}{x - 5} \ge 0$

$\sqrt{x - 2} \left( \frac{2x + 3}{x - 6,6} - \frac{5}{x - 5} \right) \ge 0$

3. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sqrt{x - 2} = 0 \implies x = 2$. Это значение входит в ОДЗ, поэтому $x=2$ является решением.

Случай 2: $\sqrt{x - 2} > 0 \implies x > 2$. В этом случае можно разделить обе части на $\sqrt{x-2}$, так как этот множитель положителен.

$\frac{2x + 3}{x - 6,6} - \frac{5}{x - 5} \ge 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(2x + 3)(x - 5) - 5(x - 6,6)}{(x - 6,6)(x - 5)} \ge 0$

$\frac{2x^2 - 10x + 3x - 15 - 5x + 33}{(x - 6,6)(x - 5)} \ge 0$

$\frac{2x^2 - 12x + 18}{(x - 6,6)(x - 5)} \ge 0$

$\frac{2(x^2 - 6x + 9)}{(x - 6,6)(x - 5)} \ge 0$

$\frac{2(x - 3)^2}{(x - 6,6)(x - 5)} \ge 0$

Числитель $2(x-3)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=3$ (это решение) и положителен при $x \ne 3$.

Таким образом, для $x \ne 3$ знак дроби зависит от знака знаменателя $(x - 6,6)(x - 5)$.

Решим неравенство $(x - 6,6)(x - 5) > 0$ методом интервалов. Корни знаменателя: $x=5$ и $x=6,6$.

Знаменатель положителен при $x \in (-\infty; 5) \cup (6,6; +\infty)$.

4. Объединим все решения с учетом ОДЗ.

Решение $x=2$ (из случая 1).

Решение $x=3$ (когда числитель равен нулю).

Решения для $x > 2$: $(2; 5) \cup (6,6; +\infty)$. Это множество уже включает в себя $x=3$.

Объединяя все, получаем: $\{2\} \cup (2; 5) \cup (6,6; +\infty) = [2; 5) \cup (6,6; +\infty)$.

Ответ: $[2; 5) \cup (6,6; \infty)$.

б)

Исходное неравенство:

$\frac{3x + 1}{(2x + 1)\sqrt{2 - x}} \le \frac{1}{(x + 1)\sqrt{2 - x}}$

1. Найдем ОДЗ:

Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $2 - x > 0 \implies x < 2$.

Другие множители в знаменателях не равны нулю: $2x + 1 \ne 0 \implies x \ne -0,5$ и $x + 1 \ne 0 \implies x \ne -1$.

ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -0,5) \cup (-0,5; 2)$.

2. Так как на ОДЗ $\sqrt{2-x} > 0$, можно умножить обе части неравенства на этот множитель:

$\frac{3x + 1}{2x + 1} \le \frac{1}{x + 1}$

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{3x + 1}{2x + 1} - \frac{1}{x + 1} \le 0$

$\frac{(3x + 1)(x + 1) - (2x + 1)}{(2x + 1)(x + 1)} \le 0$

$\frac{3x^2 + 3x + x + 1 - 2x - 1}{(2x + 1)(x + 1)} \le 0$

$\frac{3x^2 + 2x}{(2x + 1)(x + 1)} \le 0$

$\frac{x(3x + 2)}{(2x + 1)(x + 1)} \le 0$

3. Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов.

Корни числителя: $x=0$, $x=-2/3$.

Корни знаменателя: $x=-0,5$, $x=-1$.

Нанесем точки на числовую прямую: -1, -2/3, -0,5, 0.

Определим знаки на интервалах:

$(-\infty; -1)$: +

$(-1; -2/3]$: - (включая -2/3)

$[-2/3; -0,5)$: +

$(-0,5; 0]$: - (включая 0)

$(0; +\infty)$: +

Решение неравенства: $x \in (-1; -2/3] \cup (-0,5; 0]$.

4. Сравним с ОДЗ. Полученное решение полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $(-1; -2/3] \cup (-0,5; 0]$.

в)

Исходное неравенство:

$\frac{(2x - 7)\sqrt{x - 1}}{x - 3} \ge \frac{9\sqrt{x - 1}}{5 - x}$

1. Найдем ОДЗ:

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

$x - 3 \ne 0 \implies x \ne 3$.

$5 - x \ne 0 \implies x \ne 5$.

ОДЗ: $x \in [1; 3) \cup (3; 5) \cup (5; +\infty)$.

2. Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $\sqrt{x-1}$:

$\frac{(2x - 7)\sqrt{x - 1}}{x - 3} - \frac{9\sqrt{x - 1}}{5 - x} \ge 0$

$\sqrt{x - 1} \left( \frac{2x - 7}{x - 3} - \frac{9}{5 - x} \right) \ge 0$

$\sqrt{x - 1} \left( \frac{2x - 7}{x - 3} + \frac{9}{x - 5} \right) \ge 0$

3. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sqrt{x - 1} = 0 \implies x = 1$. Это значение входит в ОДЗ, значит $x=1$ — решение.

Случай 2: $\sqrt{x - 1} > 0 \implies x > 1$. Делим на $\sqrt{x-1}$:

$\frac{2x - 7}{x - 3} + \frac{9}{x - 5} \ge 0$

$\frac{(2x - 7)(x - 5) + 9(x - 3)}{(x - 3)(x - 5)} \ge 0$

$\frac{2x^2 - 10x - 7x + 35 + 9x - 27}{(x - 3)(x - 5)} \ge 0$

$\frac{2x^2 - 8x + 8}{(x - 3)(x - 5)} \ge 0$

$\frac{2(x^2 - 4x + 4)}{(x - 3)(x - 5)} \ge 0$

$\frac{2(x - 2)^2}{(x - 3)(x - 5)} \ge 0$

Числитель $2(x-2)^2 \ge 0$ для всех $x$. Он равен нулю при $x=2$. Это значение входит в ОДЗ и является решением.

При $x \ne 2$ числитель положителен, поэтому знак дроби зависит от знака знаменателя $(x-3)(x-5)$.

Неравенство $(x-3)(x-5) > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; 3) \cup (5; +\infty)$.

4. Объединим решения с учетом ОДЗ для $x>1$.

Решение $x=1$ (из случая 1).

Решение $x=2$ (когда числитель равен нулю).

Решение, когда дробь положительна: $x \in (1; 3) \cup (5; +\infty)$. Это множество уже включает в себя $x=2$.

Объединяя все, получаем: $\{1\} \cup (1; 3) \cup (5; +\infty) = [1; 3) \cup (5; +\infty)$.

Ответ: $[1; 3) \cup (5; \infty)$.

г)

Исходное неравенство:

$\frac{1}{(x + 1)\sqrt{9 - x}} \le \frac{4 - x}{(8 - x)\sqrt{9 - x}}$

1. Найдем ОДЗ:

$9 - x > 0 \implies x < 9$.

$x + 1 \ne 0 \implies x \ne -1$.

$8 - x \ne 0 \implies x \ne 8$.

ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 8) \cup (8; 9)$.

2. На ОДЗ $\sqrt{9-x} > 0$, умножим на него обе части:

$\frac{1}{x + 1} \le \frac{4 - x}{8 - x}$

$\frac{1}{x + 1} - \frac{4 - x}{8 - x} \le 0$

$\frac{(8 - x) - (4 - x)(x + 1)}{(x + 1)(8 - x)} \le 0$

$\frac{8 - x - (4x + 4 - x^2 - x)}{(x + 1)(8 - x)} \le 0$

$\frac{8 - x - (3x + 4 - x^2)}{(x + 1)(8 - x)} \le 0$

$\frac{8 - x - 3x - 4 + x^2}{(x + 1)(8 - x)} \le 0$

$\frac{x^2 - 4x + 4}{(x + 1)(8 - x)} \le 0$

$\frac{(x - 2)^2}{(x + 1)(8 - x)} \le 0$

3. Решим неравенство.

Неравенство выполняется, если:

a) Дробь равна нулю. Это возможно, если числитель равен нулю: $(x-2)^2=0 \implies x=2$. Это значение входит в ОДЗ, значит $x=2$ является решением.

б) Дробь отрицательна. Так как числитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен, дробь будет отрицательна, когда числитель положителен ($x \ne 2$), а знаменатель отрицателен.

$(x + 1)(8 - x) < 0$

Корни знаменателя: $x=-1$ и $x=8$. Это парабола с ветвями вниз, она отрицательна за пределами корней.

Значит, $(x + 1)(8 - x) < 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (8; +\infty)$.

4. Пересечем полученные решения с ОДЗ.

ОДЗ: $(-\infty; -1) \cup (-1; 8) \cup (8; 9)$.

Решение $x=2$ входит в ОДЗ.

Пересечение $(-\infty; -1) \cup (8; +\infty)$ с ОДЗ дает $(-\infty; -1) \cup (8; 9)$.

Объединяем все найденные решения: $(-\infty; -1) \cup \{2\} \cup (8; 9)$.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup \{2\} \cup (8; 9)$.