Номер 11.57, страница 302 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.57, страница 302.
№11.57 (с. 302)
Условие. №11.57 (с. 302)
скриншот условия

11.57 a) $\frac{\sqrt{12 - x - x^2}}{2x + 7} \le \frac{\sqrt{12 - x - x^2}}{x - 5}$;
б) $\frac{\sqrt{8 - 2x - x^2}}{2x + 9} \ge \frac{\sqrt{8 - 2x - x^2}}{x - 5}$;
В) $\frac{\sqrt{18 - 3x - x^2}}{x - 2} \le \frac{\sqrt{18 - 3x - x^2}}{2x + 3}$;
Г) $\frac{\sqrt{6 + x - x^2}}{2x + 5} \ge \frac{\sqrt{6 + x - x^2}}{x + 4}$.
Решение 1. №11.57 (с. 302)




Решение 2. №11.57 (с. 302)




Решение 3. №11.57 (с. 302)


Решение 4. №11.57 (с. 302)
а)
Решим неравенство $\frac{\sqrt{12 - x - x^2}}{2x + 7} \le \frac{\sqrt{12 - x - x^2}}{x - 5}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:
1. Поткоренное выражение неотрицательно: $12 - x - x^2 \ge 0$.
2. Знаменатели не равны нулю: $2x + 7 \ne 0$ и $x - 5 \ne 0$.
Решим первое условие: $x^2 + x - 12 \le 0$. Корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 12 = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$. Так как ветви параболы $y=x^2+x-12$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in [-4, 3]$.
Решим вторые условия: $x \ne -3.5$ и $x \ne 5$. Условие $x \ne 5$ уже выполняется, так как $5$ не входит в отрезок $[-4, 3]$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-4, -3.5) \cup (-3.5, 3]$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $\sqrt{12 - x - x^2} = 0$.
Это уравнение равносильно $12 - x - x^2 = 0$, откуда $x = -4$ и $x = 3$. Оба значения входят в ОДЗ. При этих значениях $x$ неравенство принимает вид $0 \le 0$, что является верным. Следовательно, $x = -4$ и $x = 3$ — решения.
Случай 2: $\sqrt{12 - x - x^2} > 0$.
Это условие выполняется при $x \in (-4, 3)$. В этом случае можно разделить обе части неравенства на положительное число $\sqrt{12 - x - x^2}$:
$\frac{1}{2x + 7} \le \frac{1}{x - 5}$
$\frac{1}{2x + 7} - \frac{1}{x - 5} \le 0$
$\frac{(x - 5) - (2x + 7)}{(2x + 7)(x - 5)} \le 0$
$\frac{-x - 12}{(2x + 7)(x - 5)} \le 0$
Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства: $\frac{x + 12}{(2x + 7)(x - 5)} \ge 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x = -12$, $x = -3.5$, $x = 5$. Решение неравенства: $x \in [-12, -3.5) \cup (5, \infty)$.
Найдем пересечение этого решения с областью, рассматриваемой в данном случае, то есть $x \in (-4, 3)$ и $x \ne -3.5$. Пересечение множеств $[-12, -3.5) \cup (5, \infty)$ и $(-4, 3)$ дает $x \in (-4, -3.5)$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем: $\{-4, 3\} \cup (-4, -3.5) = [-4, -3.5) \cup \{3\}$.
Ответ: $x \in [-4, -3.5) \cup \{3\}$.
б)
Решим неравенство $\frac{\sqrt{8 - 2x - x^2}}{2x + 9} \ge \frac{\sqrt{8 - 2x - x^2}}{x - 5}$.
ОДЗ: $8 - 2x - x^2 \ge 0$, $2x + 9 \ne 0$, $x - 5 \ne 0$.
Решим $x^2 + 2x - 8 \le 0$. Корни $x_1 = -4, x_2 = 2$. Решение: $x \in [-4, 2]$.
Условия $x \ne -4.5$ и $x \ne 5$ выполняются для отрезка $[-4, 2]$.
ОДЗ: $x \in [-4, 2]$.
Случай 1: $\sqrt{8 - 2x - x^2} = 0$.
Тогда $x = -4$ и $x = 2$. Оба значения входят в ОДЗ. Неравенство $0 \ge 0$ верно, значит $x = -4$ и $x = 2$ — решения.
Случай 2: $\sqrt{8 - 2x - x^2} > 0$.
Это выполняется при $x \in (-4, 2)$. Делим на положительный корень:
$\frac{1}{2x + 9} \ge \frac{1}{x - 5}$
$\frac{(x - 5) - (2x + 9)}{(2x + 9)(x - 5)} \ge 0$
$\frac{-x - 14}{(2x + 9)(x - 5)} \ge 0$
$\frac{x + 14}{(2x + 9)(x - 5)} \le 0$
Методом интервалов находим решение: $x \in (-\infty, -14] \cup (-4.5, 5)$.
Пересекаем это решение с $x \in (-4, 2)$: $(-\infty, -14] \cup (-4.5, 5) \cap (-4, 2) = (-4, 2)$.
Объединяем решения: $\{-4, 2\} \cup (-4, 2) = [-4, 2]$.
Ответ: $x \in [-4, 2]$.
в)
Решим неравенство $\frac{\sqrt{18 - 3x - x^2}}{x - 2} \le \frac{\sqrt{18 - 3x - x^2}}{2x + 3}$.
ОДЗ: $18 - 3x - x^2 \ge 0$, $x - 2 \ne 0$, $2x + 3 \ne 0$.
Решим $x^2 + 3x - 18 \le 0$. Корни $x_1 = -6, x_2 = 3$. Решение: $x \in [-6, 3]$.
Условия на знаменатели: $x \ne 2$ и $x \ne -1.5$.
ОДЗ: $x \in [-6, -1.5) \cup (-1.5, 2) \cup (2, 3]$.
Случай 1: $\sqrt{18 - 3x - x^2} = 0$.
Тогда $x = -6$ и $x = 3$. Оба значения входят в ОДЗ. Неравенство $0 \le 0$ верно, значит $x = -6$ и $x = 3$ — решения.
Случай 2: $\sqrt{18 - 3x - x^2} > 0$.
Это выполняется при $x \in (-6, 3)$, с учетом ограничений на знаменатели. Делим на положительный корень:
$\frac{1}{x - 2} \le \frac{1}{2x + 3}$
$\frac{(2x + 3) - (x - 2)}{(x - 2)(2x + 3)} \le 0$
$\frac{x + 5}{(x - 2)(2x + 3)} \le 0$
Методом интервалов находим решение: $x \in (-\infty, -5] \cup (-1.5, 2)$.
Пересекаем это решение с $x \in (-6, -1.5) \cup (-1.5, 2) \cup (2, 3)$: $((-\infty, -5] \cup (-1.5, 2)) \cap ((-6, 3) \setminus \{-1.5, 2\}) = (-6, -5] \cup (-1.5, 2)$.
Объединяем решения: $\{-6, 3\} \cup ((-6, -5] \cup (-1.5, 2)) = [-6, -5] \cup (-1.5, 2) \cup \{3\}$.
Ответ: $x \in [-6, -5] \cup (-1.5, 2) \cup \{3\}$.
г)
Решим неравенство $\frac{\sqrt{6 + x - x^2}}{2x + 5} \ge \frac{\sqrt{6 + x - x^2}}{x + 4}$.
ОДЗ: $6 + x - x^2 \ge 0$, $2x + 5 \ne 0$, $x + 4 \ne 0$.
Решим $x^2 - x - 6 \le 0$. Корни $x_1 = -2, x_2 = 3$. Решение: $x \in [-2, 3]$.
Условия $x \ne -2.5$ и $x \ne -4$ выполняются для отрезка $[-2, 3]$.
ОДЗ: $x \in [-2, 3]$.
Случай 1: $\sqrt{6 + x - x^2} = 0$.
Тогда $x = -2$ и $x = 3$. Оба значения входят в ОДЗ. Неравенство $0 \ge 0$ верно, значит $x = -2$ и $x = 3$ — решения.
Случай 2: $\sqrt{6 + x - x^2} > 0$.
Это выполняется при $x \in (-2, 3)$. Делим на положительный корень:
$\frac{1}{2x + 5} \ge \frac{1}{x + 4}$
$\frac{(x + 4) - (2x + 5)}{(2x + 5)(x + 4)} \ge 0$
$\frac{-x - 1}{(2x + 5)(x + 4)} \ge 0$
$\frac{x + 1}{(2x + 5)(x + 4)} \le 0$
Методом интервалов находим решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (-2.5, -1]$.
Пересекаем это решение с $x \in (-2, 3)$: $((-\infty, -4) \cup (-2.5, -1]) \cap (-2, 3) = (-2, -1]$.
Объединяем решения: $\{-2, 3\} \cup (-2, -1] = [-2, -1] \cup \{3\}$.
Ответ: $x \in [-2, -1] \cup \{3\}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 11.57 расположенного на странице 302 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.57 (с. 302), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.