Номер 11.62, страница 303 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.62, страница 303.

Условие.

11.62 а) $\frac{\sqrt{11x + 5}}{|x - 20|} \ge \frac{\sqrt{10x + 13}}{|x - 20|}$;

б) $\frac{\sqrt{10x + 17}}{|x - 1|} \ge \frac{\sqrt{8x + 11}}{|x - 1|}$;

в) $\frac{\sqrt{9x + 19}}{|x + 2|} \le \frac{\sqrt{11x + 31}}{|x + 2|}$;

г) $\frac{\sqrt{8x + 21}}{|x + 1|} \le \frac{\sqrt{10x + 41}}{|x + 1|}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дано неравенство $\frac{\sqrt{11x + 5}}{|x - 20|} \ge \frac{\sqrt{10x + 13}}{|x - 20|}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательны, а знаменатель не должен равняться нулю:
$\begin{cases} 11x + 5 \ge 0 \\ 10x + 13 \ge 0 \\ x - 20 \ne 0 \end{cases}$
Решаем систему:
$\begin{cases} 11x \ge -5 \\ 10x \ge -13 \\ x \ne 20 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5/11 \\ x \ge -1.3 \\ x \ne 20 \end{cases}$
Поскольку $-5/11 \approx -0.45$, что больше, чем $-1.3$, более сильным условием является $x \ge -5/11$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-5/11, 20) \cup (20, +\infty)$.
На ОДЗ знаменатель $|x - 20|$ строго положителен, поэтому можно умножить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства:
$\sqrt{11x + 5} \ge \sqrt{10x + 13}$
Так как обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:
$11x + 5 \ge 10x + 13$
$11x - 10x \ge 13 - 5$
$x \ge 8$
Теперь найдем пересечение полученного решения $x \ge 8$ с ОДЗ $x \in [-5/11, 20) \cup (20, +\infty)$.
Пересечением является множество $[8, 20) \cup (20, +\infty)$.
Ответ: $x \in [8, 20) \cup (20, +\infty)$.

б) Дано неравенство $\frac{\sqrt{10x + 17}}{|x - 1|} \ge \frac{\sqrt{8x + 11}}{|x - 1|}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} 10x + 17 \ge 0 \\ 8x + 11 \ge 0 \\ x - 1 \ne 0 \end{cases}$
Решаем систему:
$\begin{cases} 10x \ge -17 \\ 8x \ge -11 \\ x \ne 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1.7 \\ x \ge -11/8 \\ x \ne 1 \end{cases}$
Поскольку $-11/8 = -1.375$, что больше, чем $-1.7$, более сильным условием является $x \ge -11/8$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-11/8, 1) \cup (1, +\infty)$.
Умножим обе части неравенства на положительный знаменатель $|x - 1|$:
$\sqrt{10x + 17} \ge \sqrt{8x + 11}$
Возведем обе неотрицательные части в квадрат:
$10x + 17 \ge 8x + 11$
$2x \ge -6$
$x \ge -3$
Найдем пересечение решения $x \ge -3$ с ОДЗ $x \in [-11/8, 1) \cup (1, +\infty)$.
Так как $-11/8 > -3$, то пересечением является само ОДЗ.
Ответ: $x \in [-11/8, 1) \cup (1, +\infty)$.

в) Дано неравенство $\frac{\sqrt{9x + 19}}{|x + 2|} \le \frac{\sqrt{11x + 31}}{|x + 2|}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} 9x + 19 \ge 0 \\ 11x + 31 \ge 0 \\ x + 2 \ne 0 \end{cases}$
Решаем систему:
$\begin{cases} 9x \ge -19 \\ 11x \ge -31 \\ x \ne -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -19/9 \\ x \ge -31/11 \\ x \ne -2 \end{cases}$
Поскольку $-19/9 \approx -2.11$ и $-31/11 \approx -2.82$, более сильным условием является $x \ge -19/9$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-19/9, -2) \cup (-2, +\infty)$.
Умножим обе части неравенства на положительный знаменатель $|x + 2|$:
$\sqrt{9x + 19} \le \sqrt{11x + 31}$
Возведем обе неотрицательные части в квадрат:
$9x + 19 \le 11x + 31$
$-12 \le 2x$
$x \ge -6$
Найдем пересечение решения $x \ge -6$ с ОДЗ $x \in [-19/9, -2) \cup (-2, +\infty)$.
Так как $-19/9 > -6$, то пересечением является само ОДЗ.
Ответ: $x \in [-19/9, -2) \cup (-2, +\infty)$.

г) Дано неравенство $\frac{\sqrt{8x + 21}}{|x + 1|} \le \frac{\sqrt{10x + 41}}{|x + 1|}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} 8x + 21 \ge 0 \\ 10x + 41 \ge 0 \\ x + 1 \ne 0 \end{cases}$
Решаем систему:
$\begin{cases} 8x \ge -21 \\ 10x \ge -41 \\ x \ne -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -21/8 \\ x \ge -4.1 \\ x \ne -1 \end{cases}$
Поскольку $-21/8 = -2.625$, что больше, чем $-4.1$, более сильным условием является $x \ge -21/8$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-21/8, -1) \cup (-1, +\infty)$.
Умножим обе части неравенства на положительный знаменатель $|x + 1|$:
$\sqrt{8x + 21} \le \sqrt{10x + 41}$
Возведем обе неотрицательные части в квадрат:
$8x + 21 \le 10x + 41$
$-20 \le 2x$
$x \ge -10$
Найдем пересечение решения $x \ge -10$ с ОДЗ $x \in [-21/8, -1) \cup (-1, +\infty)$.
Так как $-21/8 > -10$, то пересечением является само ОДЗ.
Ответ: $x \in [-21/8, -1) \cup (-1, +\infty)$.