Номер 12.2, страница 307 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 12.2, страница 307.

Условие.

12.2 а) $|x - 1| = x^2 - 5x + 4;$

В) $|x - 3| = x^2 - 6x + 3;$

б) $|x - 2| = x^2 - 4x - 2;$

Г) $|x - 4| = x^2 - 2x - 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения уравнений вида $|f(x)| = g(x)$, необходимо учесть, что правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как модуль числа всегда неотрицателен. Таким образом, решение сводится к совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ f(x) = g(x) \end{cases}$

2) $\begin{cases} f(x) < 0 \\ -f(x) = g(x) \end{cases}$

При этом для всех найденных корней должно выполняться условие $g(x) \ge 0$.

а) $|x - 1| = x^2 - 5x + 4$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Правая часть должна быть неотрицательна:

$x^2 - 5x + 4 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; 1] \cup [4; +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.
Уравнение принимает вид: $x - 1 = x^2 - 5x + 4$.
$x^2 - 6x + 5 = 0$.
Корни этого уравнения: $x_3 = 1$, $x_4 = 5$.
Проверим соответствие условиям $x \ge 1$ и ОДЗ.
Корень $x = 1$ удовлетворяет условиям ($1 \ge 1$ и $1 \in (-\infty; 1] \cup [4; +\infty)$).
Корень $x = 5$ удовлетворяет условиям ($5 \ge 1$ и $5 \in (-\infty; 1] \cup [4; +\infty)$).

2. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$.
Уравнение принимает вид: $-(x - 1) = x^2 - 5x + 4$.
$-x + 1 = x^2 - 5x + 4$.
$x^2 - 4x + 3 = 0$.
Корни этого уравнения: $x_5 = 1$, $x_6 = 3$.
Проверим соответствие условию $x < 1$.
Корень $x = 1$ не удовлетворяет условию ($1 \not< 1$).
Корень $x = 3$ не удовлетворяет условию ($3 \not< 1$).

Объединяя решения из первого случая, получаем корни уравнения.

Ответ: $1; 5$.

б) $|x - 2| = x^2 - 4x - 2$

ОДЗ: $x^2 - 4x - 2 \ge 0$.
Найдем корни $x^2 - 4x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 16 + 8 = 24$.
$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 2 - \sqrt{6}] \cup [2 + \sqrt{6}; +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.
$x - 2 = x^2 - 4x - 2$.
$x^2 - 5x = 0$.
$x(x - 5) = 0$.
Корни: $x_3 = 0$, $x_4 = 5$.
Корень $x = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Корень $x = 5$ удовлетворяет условию $x \ge 2$. Также проверяем ОДЗ: $5 > 2 + \sqrt{6}$, так как $3 > \sqrt{6}$ ($9 > 6$). Корень подходит.

2. Если $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$.
$-(x - 2) = x^2 - 4x - 2$.
$-x + 2 = x^2 - 4x - 2$.
$x^2 - 3x - 4 = 0$.
Корни: $x_5 = 4$, $x_6 = -1$.
Корень $x = 4$ не удовлетворяет условию $x < 2$.
Корень $x = -1$ удовлетворяет условию $x < 2$. Также проверяем ОДЗ: $-1 < 2 - \sqrt{6}$, так как $-3 < -\sqrt{6}$ ($9 > 6$). Корень подходит.

Ответ: $-1; 5$.

в) $|x - 3| = x^2 - 6x + 3$

ОДЗ: $x^2 - 6x + 3 \ge 0$.
Найдем корни $x^2 - 6x + 3 = 0$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24$.
$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 3 - \sqrt{6}] \cup [3 + \sqrt{6}; +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.
$x - 3 = x^2 - 6x + 3$.
$x^2 - 7x + 6 = 0$.
Корни: $x_3 = 1$, $x_4 = 6$.
Корень $x = 1$ не удовлетворяет условию $x \ge 3$.
Корень $x = 6$ удовлетворяет условию $x \ge 3$. Проверяем ОДЗ: $6 > 3 + \sqrt{6}$, так как $3 > \sqrt{6}$ ($9 > 6$). Корень подходит.

2. Если $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$.
$-(x - 3) = x^2 - 6x + 3$.
$-x + 3 = x^2 - 6x + 3$.
$x^2 - 5x = 0$.
$x(x - 5) = 0$.
Корни: $x_5 = 0$, $x_6 = 5$.
Корень $x = 5$ не удовлетворяет условию $x < 3$.
Корень $x = 0$ удовлетворяет условию $x < 3$. Проверяем ОДЗ: $0 < 3 - \sqrt{6}$, так как $\sqrt{6} < 3$ ($6 < 9$). Корень подходит.

Ответ: $0; 6$.

г) $|x - 4| = x^2 - 2x - 2$

ОДЗ: $x^2 - 2x - 2 \ge 0$.
Найдем корни $x^2 - 2x - 2 = 0$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.
$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 1 - \sqrt{3}] \cup [1 + \sqrt{3}; +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$.
$x - 4 = x^2 - 2x - 2$.
$x^2 - 3x + 2 = 0$.
Корни: $x_3 = 1$, $x_4 = 2$.
Оба корня не удовлетворяют условию $x \ge 4$.

2. Если $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$.
$-(x - 4) = x^2 - 2x - 2$.
$-x + 4 = x^2 - 2x - 2$.
$x^2 - x - 6 = 0$.
Корни: $x_5 = 3$, $x_6 = -2$.
Корень $x = 3$ удовлетворяет условию $x < 4$. Проверяем ОДЗ: $3 > 1 + \sqrt{3}$, так как $2 > \sqrt{3}$ ($4 > 3$). Корень подходит.
Корень $x = -2$ удовлетворяет условию $x < 4$. Проверяем ОДЗ: $-2 < 1 - \sqrt{3}$, так как $-3 < -\sqrt{3}$ ($9 > 3$). Корень подходит.

Ответ: $-2; 3$.