Номер 12.6, страница 307 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств - номер 12.6, страница 307.

Условие.

12.6 a) $\frac{|x+1|}{x+1} + \frac{|x+3|}{x+3} = 0;$

б) $\frac{|x-1|}{x-1} + \frac{|x+4|}{x+4} = -2;$

В) $\frac{|x-3| - |x-2|}{|x+1|+x+1} = 0;$

Г) $\frac{|x-3| - |x-2|}{x-4-|x-4|} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Рассмотрим уравнение $\frac{|x+1|}{x+1} + \frac{|x+3|}{x+3} = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x+1 \neq 0$ и $x+3 \neq 0$. Отсюда $x \neq -1$ и $x \neq -3$.

Выражение $\frac{|a|}{a}$ равно $1$, если $a > 0$, и $-1$, если $a < 0$.

Пусть $A = \frac{|x+1|}{x+1}$ и $B = \frac{|x+3|}{x+3}$. Тогда уравнение принимает вид $A+B=0$. Так как $A$ и $B$ могут принимать только значения $1$ и $-1$, это равенство возможно только если одно из слагаемых равно $1$, а другое $-1$.

Рассмотрим два случая:

1. $A=1$ и $B=-1$.
$\frac{|x+1|}{x+1} = 1 \Rightarrow x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$.
$\frac{|x+3|}{x+3} = -1 \Rightarrow x+3 < 0 \Rightarrow x < -3$.
Необходимо найти $x$, удовлетворяющий обоим условиям: $x > -1$ и $x < -3$. Такая система неравенств не имеет решений.

2. $A=-1$ и $B=1$.
$\frac{|x+1|}{x+1} = -1 \Rightarrow x+1 < 0 \Rightarrow x < -1$.
$\frac{|x+3|}{x+3} = 1 \Rightarrow x+3 > 0 \Rightarrow x > -3$.
Необходимо найти $x$, удовлетворяющий обоим условиям: $x < -1$ и $x > -3$. Решением этой системы неравенств является интервал $(-3, -1)$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -1$ и $x \neq -3$).

Ответ: $x \in (-3, -1)$.

б)

Рассмотрим уравнение $\frac{|x-1|}{x-1} + \frac{|x+4|}{x+4} = -2$.

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x+4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$.

Как и в предыдущем задании, каждое слагаемое $\frac{|a|}{a}$ может быть равно только $1$ или $-1$. Сумма двух таких слагаемых равна $-2$ только в том случае, если оба слагаемых равны $-1$.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{|x-1|}{x-1} = -1 \\ \frac{|x+4|}{x+4} = -1 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x-1 < 0 \Rightarrow x < 1$.

Из второго уравнения следует, что $x+4 < 0 \Rightarrow x < -4$.

Мы должны найти пересечение этих двух условий: $x < 1$ и $x < -4$. Общим решением является $x < -4$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -4$).

Ответ: $x \in (-\infty, -4)$.

в)

Рассмотрим уравнение $\frac{|x-3| - |x-2|}{|x+1| + x+1} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Приравняем числитель к нулю:

$|x-3| - |x-2| = 0 \Rightarrow |x-3| = |x-2|$.

Это уравнение означает, что расстояние от точки $x$ до точки $3$ равно расстоянию от точки $x$ до точки $2$. Геометрически это означает, что $x$ является серединой отрезка $[2, 3]$.

$x = \frac{2+3}{2} = 2.5$.

Таким образом, единственное возможное решение - $x=2.5$.

2. Проверим, что знаменатель не равен нулю.

Знаменатель: $|x+1| + x+1 \neq 0$.

Рассмотрим выражение в знаменателе. Если $x+1 > 0$, то $|x+1|=x+1$, и знаменатель равен $(x+1)+(x+1) = 2(x+1)$. Это выражение равно нулю только при $x=-1$.

Если $x+1 \le 0$, то $|x+1|=-(x+1)$, и знаменатель равен $-(x+1)+(x+1) = 0$.

Следовательно, знаменатель не равен нулю только при условии $x+1 > 0$, то есть $x > -1$. Это и есть ОДЗ уравнения.

Наше найденное значение $x=2.5$ удовлетворяет условию $x > -1$, так как $2.5 > -1$.

Следовательно, $x=2.5$ является решением уравнения.

Ответ: $2.5$.

г)

Рассмотрим уравнение $\frac{|x-3| - |x-2|}{x-4 - |x-4|} = 0$.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

1. Приравняем числитель к нулю:

$|x-3| - |x-2| = 0 \Rightarrow |x-3| = |x-2|$.

Как и в задании в), решением этого уравнения является $x = 2.5$.

2. Проверим, что знаменатель не равен нулю.

Знаменатель: $x-4 - |x-4| \neq 0$.

Рассмотрим выражение в знаменателе. Если $x-4 \ge 0$, то $|x-4|=x-4$, и знаменатель равен $(x-4)-(x-4) = 0$.

Если $x-4 < 0$, то $|x-4|=-(x-4)$, и знаменатель равен $(x-4)-(-(x-4)) = x-4+x-4 = 2(x-4)$. Это выражение равно нулю только при $x=4$.

Следовательно, знаменатель не равен нулю только при условии $x-4 < 0$, то есть $x < 4$. Это и есть ОДЗ уравнения.

Наше найденное значение $x=2.5$ удовлетворяет условию $x < 4$, так как $2.5 < 4$.

Следовательно, $x=2.5$ является решением уравнения.

Ответ: $2.5$.