Номер 12.9, страница 307 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 12.9, страница 307.

Условие.

12.9* Решите уравнение:

a) $|\sin x - \frac{1}{2}| + |\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}| = \sin x + \cos x - \frac{1 + \sqrt{3}}{2};$

б) $|\sin x - \frac{1}{2}| + |\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}| = \frac{\sqrt{3} - 1}{2};$

в) $|2^x - 4| + |4 - \sqrt{x}| = 2^x - \sqrt{x};$

г) $|\log_3 x - 2| + |x^2 - 11x + 18| = \log_3 x - x^2 + 11x - 20.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $|\sin x - \frac{1}{2}| + |\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}| = \sin x + \cos x - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Заметим, что правую часть уравнения можно переписать следующим образом:

$\sin x + \cos x - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} = (\sin x - \frac{1}{2}) + (\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Тогда уравнение принимает вид: $|A| + |B| = A + B$, где $A = \sin x - \frac{1}{2}$ и $B = \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Равенство $|A| + |B| = A + B$ выполняется тогда и только тогда, когда оба слагаемых неотрицательны, то есть $A \geq 0$ и $B \geq 0$.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} \sin x - \frac{1}{2} \geq 0 \\ \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \geq 0 \end{cases}$

$\begin{cases} \sin x \geq \frac{1}{2} \\ \cos x \geq \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Решим эту систему с помощью единичной окружности. Неравенство $\sin x \geq \frac{1}{2}$ выполняется для $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$. Неравенство $\cos x \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Пересечением этих двух множеств является единственная точка $x = \frac{\pi}{6}$ (в пределах одного оборота) и все точки, отличающиеся на $2\pi k$.

Таким образом, решение системы — это $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $|\sin x - \frac{1}{2}| + |\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}| = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

Пусть $y = \sin x$. Тогда уравнение примет вид:

$|y - \frac{1}{2}| + |y - \frac{\sqrt{3}}{2}| = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

Заметим, что правая часть равна разности чисел под модулями: $\frac{\sqrt{3} - 1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$.

Уравнение имеет вид $|y - a| + |y - b| = b - a$, где $a = \frac{1}{2}$ и $b = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (причем $a < b$).

С геометрической точки зрения, $|y-a|+|y-b|$ — это сумма расстояний от точки $y$ до точек $a$ и $b$ на числовой прямой. Эта сумма равна расстоянию между точками $a$ и $b$ тогда и только тогда, когда точка $y$ находится между точками $a$ и $b$.

Следовательно, $a \leq y \leq b$.

Возвращаясь к переменной $x$, получаем двойное неравенство:

$\frac{1}{2} \leq \sin x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решим это неравенство на единичной окружности. Дуги, для которых $\sin x \geq \frac{1}{2}$, это $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$. Дуги, для которых $\sin x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$, это $x \in [0, \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{2\pi}{3}, 2\pi]$. Пересекая эти множества, получаем решение для одного оборота: $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}]$.

Общее решение получается добавлением $2\pi k$ к концам интервалов.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k] \cup [\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

в) $|2^x - 4| + |4 - \sqrt{x}| = 2^x - \sqrt{x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием корня: $x \geq 0$.

Перепишем правую часть уравнения:

$2^x - \sqrt{x} = (2^x - 4) + (4 - \sqrt{x})$

Уравнение принимает вид $|A| + |B| = A + B$, где $A = 2^x - 4$ и $B = 4 - \sqrt{x}$.

Это равенство истинно, если и только если $A \geq 0$ и $B \geq 0$.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} 2^x - 4 \geq 0 \\ 4 - \sqrt{x} \geq 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $2^x \geq 4 \implies 2^x \geq 2^2 \implies x \geq 2$.

2) $4 \geq \sqrt{x} \implies 16 \geq x \implies x \leq 16$.

Объединяя решения с ОДЗ ($x \geq 0$), получаем $2 \leq x \leq 16$.

Ответ: $x \in [2, 16]$.

г) $|\log_3 x - 2| + |x^2 - 11x + 18| = \log_3 x - x^2 + 11x - 20$

ОДЗ: $x > 0$ из-за логарифма.

Пусть $A = \log_3 x - 2$ и $B = x^2 - 11x + 18$.

Преобразуем правую часть уравнения:

$\log_3 x - x^2 + 11x - 20 = (\log_3 x - 2) - (x^2 - 11x + 18) = A - B$.

Уравнение имеет вид $|A| + |B| = A - B$, что можно записать как $|A| + |B| = A + (-B)$.

Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $|A| = A$ и $|B| = -B$.

Это, в свою очередь, эквивалентно системе неравенств: $A \geq 0$ и $B \leq 0$.

$\begin{cases} \log_3 x - 2 \geq 0 \\ x^2 - 11x + 18 \leq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\log_3 x \geq 2 \implies \log_3 x \geq \log_3 9 \implies x \geq 9$.

Решим второе неравенство. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 11x + 18 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=2, x_2=9$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $x^2 - 11x + 18 \leq 0$ выполняется при $x \in [2, 9]$.

Теперь найдем пересечение решений системы неравенств:

$\begin{cases} x \geq 9 \\ 2 \leq x \leq 9 \end{cases}$

Единственное значение, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x=9$. Это значение входит в ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x = 9$.