Номер 12.16, страница 311 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств - номер 12.16, страница 311.

Условие.

12.16* a) $(x + 2) \cdot 2^{2 - |x - 2|} - x < (x + 1) \cdot |2^x - 1| + 2^x + 1;$

б) $(x + 2) \cdot 4^{1 - |x - 1|} - x < (x + 1) \cdot |4^x - 1| + 4^x + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Решим неравенство $(x+2) \cdot 2^{2-|x-2|} - x < (x+1) \cdot |2^x - 1| + 2^x + 1$.

Для раскрытия модулей рассмотрим три промежутка, на которые числовую ось делят точки $x=2$ (где $x-2=0$) и $x=0$ (где $2^x-1=0$).

1. $x < 0$

На этом интервале $|x-2| = -(x-2) = 2-x$. Так как $x < 0$, то $0 < 2^x < 1$, следовательно, $2^x-1 < 0$ и $|2^x-1| = -(2^x-1) = 1-2^x$.

Неравенство принимает вид:

$(x+2) \cdot 2^{2-(2-x)} - x < (x+1)(1-2^x) + 2^x + 1$

$(x+2) \cdot 2^x - x < x+1 - (x+1)2^x + 2^x + 1$

$x \cdot 2^x + 2 \cdot 2^x - x < x+1 - x \cdot 2^x - 2^x + 2^x + 1$

$x \cdot 2^x + 2^{x+1} - x < x+2 - x \cdot 2^x$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x \cdot 2^x + 2^{x+1} - 2x - 2 < 0$

$x \cdot 2^{x+1} + 2^{x+1} - 2(x+1) < 0$

$(x+1) \cdot 2^{x+1} - 2(x+1) < 0$

$(x+1)(2^{x+1} - 2) < 0$

Нули множителей: $x=-1$ и $x=0$.

При $x \in (-\infty, -1)$: $x+1 < 0$ и $2^{x+1}-2 < 0$, произведение положительно.

При $x \in (-1, 0)$: $x+1 > 0$ и $2^{x+1}-2 < 0$, произведение отрицательно.

Решение для этого случая: $x \in (-1, 0)$.

2. $0 \le x < 2$

На этом интервале $|x-2| = -(x-2) = 2-x$. Так как $x \ge 0$, то $2^x \ge 1$, следовательно, $2^x-1 \ge 0$ и $|2^x-1| = 2^x-1$.

Неравенство принимает вид:

$(x+2) \cdot 2^{2-(2-x)} - x < (x+1)(2^x-1) + 2^x + 1$

$(x+2) \cdot 2^x - x < x \cdot 2^x + 2^x - x - 1 + 2^x + 1$

$x \cdot 2^x + 2^{x+1} - x < x \cdot 2^x + 2 \cdot 2^x - x$

$x \cdot 2^x + 2^{x+1} - x < x \cdot 2^x + 2^{x+1} - x$

$0 < 0$

Это неверное неравенство, значит, на этом промежутке решений нет.

3. $x \ge 2$

На этом интервале $|x-2| = x-2$ и $|2^x-1| = 2^x-1$.

Неравенство принимает вид:

$(x+2) \cdot 2^{2-(x-2)} - x < (x+1)(2^x-1) + 2^x + 1$

$(x+2) \cdot 2^{4-x} - x < x \cdot 2^x + 2^{x+1} - x$ (правая часть упрощена в предыдущем пункте)

$(x+2) \cdot 2^{4-x} < (x+2) \cdot 2^x$

Поскольку $x \ge 2$, множитель $x+2$ строго положителен, на него можно разделить, не меняя знака неравенства.

$2^{4-x} < 2^x$

Так как основание степени $2 > 1$, то неравенство равносильно неравенству для показателей:

$4-x < x$

$4 < 2x$

$x > 2$

Учитывая условие $x \ge 2$, получаем решение $x \in (2, \infty)$.

Объединяя решения всех случаев, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (2, \infty)$.

б)

Решим неравенство $(x+2) \cdot 4^{1-|x-1|} - x < (x+1) \cdot |4^x - 1| + 4^x + 1$.

Для раскрытия модулей рассмотрим три промежутка, на которые числовую ось делят точки $x=1$ (где $x-1=0$) и $x=0$ (где $4^x-1=0$).

1. $x < 0$

На этом интервале $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Так как $x < 0$, то $0 < 4^x < 1$, следовательно, $4^x-1 < 0$ и $|4^x-1| = -(4^x-1) = 1-4^x$.

Неравенство принимает вид:

$(x+2) \cdot 4^{1-(1-x)} - x < (x+1)(1-4^x) + 4^x + 1$

$(x+2) \cdot 4^x - x < x+1 - (x+1)4^x + 4^x + 1$

$x \cdot 4^x + 2 \cdot 4^x - x < x+2 - x \cdot 4^x$

$2x \cdot 4^x + 2 \cdot 4^x - 2x - 2 < 0$

$(x+1)(2 \cdot 4^x - 2) < 0$

$2(x+1)(4^x - 1) < 0 \implies (x+1)(4^x - 1) < 0$

Нули множителей: $x=-1$ и $x=0$.

При $x \in (-\infty, -1)$: $x+1 < 0$ и $4^x-1 < 0$, произведение положительно.

При $x \in (-1, 0)$: $x+1 > 0$ и $4^x-1 < 0$, произведение отрицательно.

Решение для этого случая: $x \in (-1, 0)$.

2. $0 \le x < 1$

На этом интервале $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Так как $x \ge 0$, то $4^x \ge 1$, следовательно, $4^x-1 \ge 0$ и $|4^x-1| = 4^x-1$.

Неравенство принимает вид:

$(x+2) \cdot 4^{1-(1-x)} - x < (x+1)(4^x-1) + 4^x + 1$

$(x+2) \cdot 4^x - x < x \cdot 4^x + 4^x - x - 1 + 4^x + 1$

$x \cdot 4^x + 2 \cdot 4^x - x < x \cdot 4^x + 2 \cdot 4^x - x$

$0 < 0$

Это неверное неравенство, значит, на этом промежутке решений нет.

3. $x \ge 1$

На этом интервале $|x-1| = x-1$ и $|4^x-1| = 4^x-1$.

Неравенство принимает вид:

$(x+2) \cdot 4^{1-(x-1)} - x < (x+1)(4^x-1) + 4^x + 1$

$(x+2) \cdot 4^{2-x} - x < (x+2) \cdot 4^x - x$ (правая часть упрощена в предыдущем пункте)

$(x+2) \cdot 4^{2-x} < (x+2) \cdot 4^x$

Поскольку $x \ge 1$, множитель $x+2$ строго положителен, на него можно разделить, не меняя знака неравенства.

$4^{2-x} < 4^x$

Так как основание степени $4 > 1$, то неравенство равносильно неравенству для показателей:

$2-x < x$

$2 < 2x$

$x > 1$

Учитывая условие $x \ge 1$, получаем решение $x \in (1, \infty)$.

Объединяя решения всех случаев, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$.