Номер 12.16, страница 311 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 12.16, страница 311.
№12.16 (с. 311)
Условие. №12.16 (с. 311)
скриншот условия

12.16* a) $(x + 2) \cdot 2^{2 - |x - 2|} - x < (x + 1) \cdot |2^x - 1| + 2^x + 1;$
б) $(x + 2) \cdot 4^{1 - |x - 1|} - x < (x + 1) \cdot |4^x - 1| + 4^x + 1.$
Решение 1. №12.16 (с. 311)


Решение 2. №12.16 (с. 311)




Решение 3. №12.16 (с. 311)

Решение 4. №12.16 (с. 311)
а)
Решим неравенство $(x+2) \cdot 2^{2-|x-2|} - x < (x+1) \cdot |2^x - 1| + 2^x + 1$.
Для раскрытия модулей рассмотрим три промежутка, на которые числовую ось делят точки $x=2$ (где $x-2=0$) и $x=0$ (где $2^x-1=0$).
1. $x < 0$
На этом интервале $|x-2| = -(x-2) = 2-x$. Так как $x < 0$, то $0 < 2^x < 1$, следовательно, $2^x-1 < 0$ и $|2^x-1| = -(2^x-1) = 1-2^x$.
Неравенство принимает вид:
$(x+2) \cdot 2^{2-(2-x)} - x < (x+1)(1-2^x) + 2^x + 1$
$(x+2) \cdot 2^x - x < x+1 - (x+1)2^x + 2^x + 1$
$x \cdot 2^x + 2 \cdot 2^x - x < x+1 - x \cdot 2^x - 2^x + 2^x + 1$
$x \cdot 2^x + 2^{x+1} - x < x+2 - x \cdot 2^x$
Перенесем все члены в левую часть:
$2x \cdot 2^x + 2^{x+1} - 2x - 2 < 0$
$x \cdot 2^{x+1} + 2^{x+1} - 2(x+1) < 0$
$(x+1) \cdot 2^{x+1} - 2(x+1) < 0$
$(x+1)(2^{x+1} - 2) < 0$
Нули множителей: $x=-1$ и $x=0$.
При $x \in (-\infty, -1)$: $x+1 < 0$ и $2^{x+1}-2 < 0$, произведение положительно.
При $x \in (-1, 0)$: $x+1 > 0$ и $2^{x+1}-2 < 0$, произведение отрицательно.
Решение для этого случая: $x \in (-1, 0)$.
2. $0 \le x < 2$
На этом интервале $|x-2| = -(x-2) = 2-x$. Так как $x \ge 0$, то $2^x \ge 1$, следовательно, $2^x-1 \ge 0$ и $|2^x-1| = 2^x-1$.
Неравенство принимает вид:
$(x+2) \cdot 2^{2-(2-x)} - x < (x+1)(2^x-1) + 2^x + 1$
$(x+2) \cdot 2^x - x < x \cdot 2^x + 2^x - x - 1 + 2^x + 1$
$x \cdot 2^x + 2^{x+1} - x < x \cdot 2^x + 2 \cdot 2^x - x$
$x \cdot 2^x + 2^{x+1} - x < x \cdot 2^x + 2^{x+1} - x$
$0 < 0$
Это неверное неравенство, значит, на этом промежутке решений нет.
3. $x \ge 2$
На этом интервале $|x-2| = x-2$ и $|2^x-1| = 2^x-1$.
Неравенство принимает вид:
$(x+2) \cdot 2^{2-(x-2)} - x < (x+1)(2^x-1) + 2^x + 1$
$(x+2) \cdot 2^{4-x} - x < x \cdot 2^x + 2^{x+1} - x$ (правая часть упрощена в предыдущем пункте)
$(x+2) \cdot 2^{4-x} < (x+2) \cdot 2^x$
Поскольку $x \ge 2$, множитель $x+2$ строго положителен, на него можно разделить, не меняя знака неравенства.
$2^{4-x} < 2^x$
Так как основание степени $2 > 1$, то неравенство равносильно неравенству для показателей:
$4-x < x$
$4 < 2x$
$x > 2$
Учитывая условие $x \ge 2$, получаем решение $x \in (2, \infty)$.
Объединяя решения всех случаев, получаем итоговый результат.
Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (2, \infty)$.
б)
Решим неравенство $(x+2) \cdot 4^{1-|x-1|} - x < (x+1) \cdot |4^x - 1| + 4^x + 1$.
Для раскрытия модулей рассмотрим три промежутка, на которые числовую ось делят точки $x=1$ (где $x-1=0$) и $x=0$ (где $4^x-1=0$).
1. $x < 0$
На этом интервале $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Так как $x < 0$, то $0 < 4^x < 1$, следовательно, $4^x-1 < 0$ и $|4^x-1| = -(4^x-1) = 1-4^x$.
Неравенство принимает вид:
$(x+2) \cdot 4^{1-(1-x)} - x < (x+1)(1-4^x) + 4^x + 1$
$(x+2) \cdot 4^x - x < x+1 - (x+1)4^x + 4^x + 1$
$x \cdot 4^x + 2 \cdot 4^x - x < x+2 - x \cdot 4^x$
$2x \cdot 4^x + 2 \cdot 4^x - 2x - 2 < 0$
$(x+1)(2 \cdot 4^x - 2) < 0$
$2(x+1)(4^x - 1) < 0 \implies (x+1)(4^x - 1) < 0$
Нули множителей: $x=-1$ и $x=0$.
При $x \in (-\infty, -1)$: $x+1 < 0$ и $4^x-1 < 0$, произведение положительно.
При $x \in (-1, 0)$: $x+1 > 0$ и $4^x-1 < 0$, произведение отрицательно.
Решение для этого случая: $x \in (-1, 0)$.
2. $0 \le x < 1$
На этом интервале $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Так как $x \ge 0$, то $4^x \ge 1$, следовательно, $4^x-1 \ge 0$ и $|4^x-1| = 4^x-1$.
Неравенство принимает вид:
$(x+2) \cdot 4^{1-(1-x)} - x < (x+1)(4^x-1) + 4^x + 1$
$(x+2) \cdot 4^x - x < x \cdot 4^x + 4^x - x - 1 + 4^x + 1$
$x \cdot 4^x + 2 \cdot 4^x - x < x \cdot 4^x + 2 \cdot 4^x - x$
$0 < 0$
Это неверное неравенство, значит, на этом промежутке решений нет.
3. $x \ge 1$
На этом интервале $|x-1| = x-1$ и $|4^x-1| = 4^x-1$.
Неравенство принимает вид:
$(x+2) \cdot 4^{1-(x-1)} - x < (x+1)(4^x-1) + 4^x + 1$
$(x+2) \cdot 4^{2-x} - x < (x+2) \cdot 4^x - x$ (правая часть упрощена в предыдущем пункте)
$(x+2) \cdot 4^{2-x} < (x+2) \cdot 4^x$
Поскольку $x \ge 1$, множитель $x+2$ строго положителен, на него можно разделить, не меняя знака неравенства.
$4^{2-x} < 4^x$
Так как основание степени $4 > 1$, то неравенство равносильно неравенству для показателей:
$2-x < x$
$2 < 2x$
$x > 1$
Учитывая условие $x \ge 1$, получаем решение $x \in (1, \infty)$.
Объединяя решения всех случаев, получаем итоговый результат.
Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 12.16 расположенного на странице 311 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №12.16 (с. 311), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.