Номер 12.20, страница 313 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств - номер 12.20, страница 313.

Условие.

12.20 a) $(x^2 - 4x)\sqrt{9 - x^2} \le 0;$

Б) $(x^2 - x - 30)\sqrt{x^2 - 4} \le 0;$

В) $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 - 9} \ge 0;$

Г) $(x^2 - x - 12)\sqrt{x^2 - 4} \ge 0.$

Решение 1.

Решение 4.

а) Исходное неравенство $(x^2 - 4x)\sqrt{9 - x^2} \le 0$ решается методом интервалов с учетом области допустимых значений (ОДЗ).
1. Найдем ОДЗ. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:$9 - x^2 \ge 0$$x^2 \le 9$$-3 \le x \le 3$.Таким образом, ОДЗ: $x \in [-3, 3]$.
2. Поскольку множитель $\sqrt{9 - x^2}$ всегда неотрицателен на своей ОДЗ, неравенство выполняется в двух случаях:
а) Когда $\sqrt{9 - x^2} = 0$. Это происходит при $x = 3$ и $x = -3$. В этих точках неравенство обращается в верное равенство $0 \le 0$.
б) Когда $\sqrt{9 - x^2} > 0$ (то есть при $x \in (-3, 3)$), знак всего выражения зависит от знака первого множителя. Неравенство примет вид: $x^2 - 4x \le 0$ $x(x - 4) \le 0$ Корнями уравнения $x(x-4)=0$ являются $x=0$ и $x=4$. Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства $x(x - 4) \le 0$ есть отрезок $[0, 4]$.
3. Теперь найдем пересечение полученного решения $x \in [0, 4]$ с условием $x \in (-3, 3)$. Пересечением является полуинтервал $[0, 3)$.
4. Объединим решения из пунктов 2а и 3:$\{-3, 3\} \cup [0, 3) = \{-3\} \cup [0, 3]$.

Ответ: $x \in \{-3\} \cup [0, 3]$.

б) Решим неравенство $(x^2 - x - 30)\sqrt{x^2 - 4} \le 0$.
1. ОДЗ: $x^2 - 4 \ge 0 \implies x^2 \ge 4 \implies x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
2. Неравенство выполняется, если:
а) $\sqrt{x^2 - 4} = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = -2$ и $x = 2$. Эти точки являются решениями.
б) $\sqrt{x^2 - 4} > 0$ (то есть при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$) и $x^2 - x - 30 \le 0$. Решим квадратное неравенство $x^2 - x - 30 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 30 = 0$ по теореме Виета равны -5 и 6. $(x+5)(x-6) \le 0$. Решением является отрезок $[-5, 6]$.
3. Найдем пересечение решения $x \in [-5, 6]$ с условием $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.Пересечение дает нам два интервала: $[-5, -2)$ и $(2, 6]$.
4. Объединим все найденные решения:$\{-2, 2\} \cup [-5, -2) \cup (2, 6] = [-5, -2] \cup [2, 6]$.

Ответ: $x \in [-5, -2] \cup [2, 6]$.

в) Решим неравенство $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 - 9} \ge 0$.
1. ОДЗ: $x^2 - 9 \ge 0 \implies x^2 \ge 9 \implies x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.
2. Неравенство выполняется, если:
а) $\sqrt{x^2 - 9} = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = -3$ и $x = 3$. Эти точки являются решениями.
б) $\sqrt{x^2 - 9} > 0$ (то есть при $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$) и $x^2 - 6x + 8 \ge 0$. Решим квадратное неравенство $x^2 - 6x + 8 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ по теореме Виета равны 2 и 4. $(x-2)(x-4) \ge 0$. Решением является объединение интервалов $(-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.
3. Найдем пересечение решения $x \in (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$ с условием $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$. Пересечение $(-\infty, 2]$ с $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$ дает $(-\infty, -3)$. Пересечение $[4, \infty)$ с $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$ дает $[4, \infty)$. Решение для этого случая: $(-\infty, -3) \cup [4, \infty)$.
4. Объединим все найденные решения:$\{-3, 3\} \cup ((-\infty, -3) \cup [4, \infty)) = (-\infty, -3] \cup \{3\} \cup [4, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup \{3\} \cup [4, \infty)$.

г) Решим неравенство $(x^2 - x - 12)\sqrt{x^2 - 4} \ge 0$.
1. ОДЗ: $x^2 - 4 \ge 0 \implies x^2 \ge 4 \implies x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
2. Неравенство выполняется, если:
а) $\sqrt{x^2 - 4} = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = -2$ и $x = 2$. Эти точки являются решениями.
б) $\sqrt{x^2 - 4} > 0$ (то есть при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$) и $x^2 - x - 12 \ge 0$. Решим квадратное неравенство $x^2 - x - 12 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$ по теореме Виета равны -3 и 4. $(x+3)(x-4) \ge 0$. Решением является объединение интервалов $(-\infty, -3] \cup [4, \infty)$.
3. Найдем пересечение решения $x \in (-\infty, -3] \cup [4, \infty)$ с условием $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$. Пересечение $(-\infty, -3]$ с $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ дает $(-\infty, -3]$. Пересечение $[4, \infty)$ с $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ дает $[4, \infty)$. Решение для этого случая: $(-\infty, -3] \cup [4, \infty)$.
4. Объединим все найденные решения:$\{-2, 2\} \cup ((-\infty, -3] \cup [4, \infty)) = (-\infty, -3] \cup \{-2\} \cup \{2\} \cup [4, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup \{-2\} \cup \{2\} \cup [4, \infty)$.