Номер 13.1, страница 316 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 13.1, страница 316.

Условие.

Решите уравнение (13.1—13.2):

13.1 а) $5\sqrt{-x^2+9x-14} - 2\sqrt[4]{x^2-5x-14-1} = \sin \frac{\pi x}{2};$

б) $3\sqrt{-x^2+11x-30} - 4\sqrt[4]{x^2-7x+6} = \sin \pi x;$

в) $2001\sqrt[4]{x^2-9} + 2002\sqrt{9-x^2} = \cos \frac{\pi x}{2};$

г) $2003\sqrt[4]{x^2-4} + 2004\sqrt{4-x^2} = \operatorname{tg} \frac{\pi x}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $5\sqrt{-x^2+9x-14} - 2\sqrt[4]{x^2-5x-14} - 1 = \sin\frac{\pi x}{2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражения под знаками корней должны быть неотрицательными.

$\begin{cases} -x^2+9x-14 \ge 0 \\ x^2-5x-14 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $-x^2+9x-14 \ge 0$, что эквивалентно $x^2-9x+14 \le 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2-9x+14=0$. По теореме Виета, корни $x_1=2$ и $x_2=7$. Парабола $y=x^2-9x+14$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in [2, 7]$.

Решим второе неравенство: $x^2-5x-14 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2-5x-14=0$. По теореме Виета, корни $x_1=-2$ и $x_2=7$. Парабола $y=x^2-5x-14$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [7, \infty)$.

ОДЗ уравнения является пересечением множеств решений двух неравенств: $[2, 7] \cap ((-\infty, -2] \cup [7, \infty))$. Пересечением является единственная точка $x=7$.

Следовательно, единственным возможным решением уравнения является $x=7$. Выполним проверку, подставив это значение в исходное уравнение.

Левая часть: $5\sqrt{-7^2+9(7)-14} - 2\sqrt[4]{7^2-5(7)-14} - 1 = 5\sqrt{-49+63-14} - 2\sqrt[4]{49-35-14} - 1 = 5\sqrt{0} - 2\sqrt[4]{0} - 1 = -1$.

Правая часть: $\sin\frac{7\pi}{2} = \sin(3\pi + \frac{\pi}{2}) = -\sin\frac{\pi}{2} = -1$.

Левая часть равна правой ($-1 = -1$), значит $x=7$ является корнем уравнения.

Ответ: 7.

---

б) $3\sqrt{-x^2+11x-30} - 4\sqrt[4]{x^2-7x+6} = \sin \pi x$

Найдем ОДЗ уравнения. Выражения под корнями должны быть неотрицательными.

$\begin{cases} -x^2+11x-30 \ge 0 \\ x^2-7x+6 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $-x^2+11x-30 \ge 0 \implies x^2-11x+30 \le 0$. Корни уравнения $x^2-11x+30=0$ это $x_1=5$ и $x_2=6$. Решение неравенства: $x \in [5, 6]$.

Решим второе неравенство: $x^2-7x+6 \ge 0$. Корни уравнения $x^2-7x+6=0$ это $x_1=1$ и $x_2=6$. Решение неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [6, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $[5, 6] \cap ((-\infty, 1] \cup [6, \infty))$. Пересечение состоит из одной точки $x=6$.

ОДЗ уравнения - это $x=6$. Подставим это значение в исходное уравнение для проверки.

Левая часть: $3\sqrt{-6^2+11(6)-30} - 4\sqrt[4]{6^2-7(6)+6} = 3\sqrt{-36+66-30} - 4\sqrt[4]{36-42+6} = 3\sqrt{0} - 4\sqrt[4]{0} = 0$.

Правая часть: $\sin(6\pi) = 0$.

Левая и правая части равны, следовательно, $x=6$ является решением.

Ответ: 6.

---

в) $2001\sqrt[4]{x^2-9} + 2002\sqrt{9-x^2} = \cos\frac{\pi x}{2}$

Найдем ОДЗ. Выражения под корнями должны быть неотрицательными.

$\begin{cases} x^2-9 \ge 0 \\ 9-x^2 \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства $x^2 \ge 9$, что означает $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Из второго неравенства $x^2 \le 9$, что означает $x \in [-3, 3]$.

Пересечение этих двух множеств дает ОДЗ: $x \in \{-3, 3\}$. Область определения состоит из двух точек.

Проверим каждую из этих точек.

При $x=3$:

Левая часть: $2001\sqrt[4]{3^2-9} + 2002\sqrt{9-3^2} = 2001\sqrt[4]{0} + 2002\sqrt{0} = 0$.

Правая часть: $\cos\frac{3\pi}{2} = 0$.

Равенство выполняется, значит $x=3$ - корень.

При $x=-3$:

Левая часть: $2001\sqrt[4]{(-3)^2-9} + 2002\sqrt{9-(-3)^2} = 2001\sqrt[4]{0} + 2002\sqrt{0} = 0$.

Правая часть: $\cos\frac{-3\pi}{2} = \cos\frac{3\pi}{2} = 0$.

Равенство выполняется, значит $x=-3$ - тоже корень.

Ответ: -3; 3.

---

г) $2003\sqrt[4]{x^2-4} + 2004\sqrt{4-x^2} = \text{tg}\frac{\pi x}{2}$

Найдем ОДЗ. Условия на подкоренные выражения:

$\begin{cases} x^2-4 \ge 0 \\ 4-x^2 \ge 0 \end{cases}$

Из $x^2 \ge 4$ следует $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Из $x^2 \le 4$ следует $x \in [-2, 2]$.

Пересечение этих условий дает $x \in \{-2, 2\}$.

Кроме того, тангенс $\text{tg}\frac{\pi x}{2}$ определен, если его аргумент не равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq 1 + 2k$.

Это означает, что $x$ не может быть нечетным целым числом. Значения $x=2$ и $x=-2$ являются четными, поэтому они удовлетворяют этому условию.

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in \{-2, 2\}$.

Проверим эти значения.

При $x=2$:

Левая часть: $2003\sqrt[4]{2^2-4} + 2004\sqrt{4-2^2} = 2003\sqrt[4]{0} + 2004\sqrt{0} = 0$.

Правая часть: $\text{tg}\frac{2\pi}{2} = \text{tg}(\pi) = 0$.

Равенство верно, $x=2$ - корень.

При $x=-2$:

Левая часть: $2003\sqrt[4]{(-2)^2-4} + 2004\sqrt{4-(-2)^2} = 2003\sqrt[4]{0} + 2004\sqrt{0} = 0$.

Правая часть: $\text{tg}\frac{-2\pi}{2} = \text{tg}(-\pi) = 0$.

Равенство верно, $x=-2$ - корень.

Ответ: -2; 2.