Номер 13.3, страница 317 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 13.3, страница 317.

Условие.

Решите неравенство (13.3–13.5):

13.3 a) $e^{\sqrt{1-x^2}} + \sqrt{x^2 - 7x - 8} \ge -6;$

б) $\pi^{\sqrt{4-x^2}} + \sqrt{x^2 - x - 6} \ge 6;$

в) $\sqrt{x^2 - 4x - 5} + \lg(1 + \sqrt{8x - 2x^2 + 10}) \le 6;$

г) $\sqrt{x^2 - x - 6} + 10^{\sqrt{4 - x^2}} + 5\lg(12 + x) \le 6.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $e^{\sqrt{1-x^2}} + \sqrt{x^2 - 7x - 8} \ge -6$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства. Для этого решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 1 - x^2 \ge 0 \\ x^2 - 7x - 8 \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$1 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 1 \implies -1 \le x \le 1$, то есть $x \in [-1, 1]$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 7x - 8 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 8$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 7x - 8$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [8, \infty)$.

Найдем пересечение областей решений двух неравенств:

$[-1, 1] \cap ((-\infty, -1] \cup [8, \infty)) = \{-1\}$.

Таким образом, ОДЗ неравенства состоит из одной точки $x = -1$.

Подставим это значение в исходное неравенство, чтобы проверить, является ли оно решением:

$e^{\sqrt{1 - (-1)^2}} + \sqrt{(-1)^2 - 7(-1) - 8} \ge -6$

$e^{\sqrt{1 - 1}} + \sqrt{1 + 7 - 8} \ge -6$

$e^{\sqrt{0}} + \sqrt{0} \ge -6$

$e^0 + 0 \ge -6$

$1 \ge -6$

Полученное неравенство верно. Следовательно, $x = -1$ является решением.

Ответ: $\{-1\}$.

б) $\pi^{\sqrt{4-x^2}} + \sqrt{x^2 - x - 6} \ge 6$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства:

$ \begin{cases} 4 - x^2 \ge 0 \\ x^2 - x - 6 \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies -2 \le x \le 2$, то есть $x \in [-2, 2]$.

Решим второе неравенство: $x^2 - x - 6 \ge 0$.

Корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [3, \infty)$.

Пересечение областей решений: $x \in [-2, 2] \cap ((-\infty, -2] \cup [3, \infty)) = \{-2\}$.

ОДЗ состоит из одной точки $x = -2$. Проверим ее, подставив в исходное неравенство:

$\pi^{\sqrt{4 - (-2)^2}} + \sqrt{(-2)^2 - (-2) - 6} \ge 6$

$\pi^{\sqrt{4 - 4}} + \sqrt{4 + 2 - 6} \ge 6$

$\pi^{\sqrt{0}} + \sqrt{0} \ge 6$

$\pi^0 + 0 \ge 6$

$1 \ge 6$

Полученное неравенство неверно. Следовательно, решений нет.

Ответ: нет решений.

в) $\sqrt{x^2 - 4x - 5} + \lg(1 + \sqrt{8x - 2x^2 + 10}) \le 6$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными, а выражение под логарифмом — положительным.

$ \begin{cases} x^2 - 4x - 5 \ge 0 \\ 8x - 2x^2 + 10 \ge 0 \\ 1 + \sqrt{8x - 2x^2 + 10} > 0 \end{cases} $

Рассмотрим второе неравенство: $8x - 2x^2 + 10 \ge 0$. Разделим на $-2$ и сменим знак:

$x^2 - 4x - 5 \le 0$.

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} x^2 - 4x - 5 \ge 0 \\ x^2 - 4x - 5 \le 0 \end{cases} $

Единственный способ удовлетворить обоим неравенствам одновременно — это если $x^2 - 4x - 5 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$.

Таким образом, ОДЗ может состоять только из этих двух точек. Проверим третье условие ОДЗ: $1 + \sqrt{8x - 2x^2 + 10} > 0$.

Так как для $x = -1$ и $x = 5$ выражение $8x - 2x^2 + 10 = -2(x^2 - 4x - 5) = 0$, то $\sqrt{8x - 2x^2 + 10} = 0$.

Тогда $1 + 0 > 0$, что верно. Значит, ОДЗ состоит из двух точек: $x = -1$ и $x = 5$.

Проверим каждую точку, подставив в исходное неравенство.

При $x = -1$ и $x = 5$ оба подкоренных выражения равны нулю:

$\sqrt{0} + \lg(1 + \sqrt{0}) \le 6$

$0 + \lg(1) \le 6$

$0 \le 6$

Неравенство верно. Обе точки являются решениями.

Ответ: $\{-1; 5\}$.

г) $\sqrt{x^2 - x - 6} + 10^{\sqrt{4-x^2}} + 5\lg(12+x) \le 6$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) из системы условий:

$ \begin{cases} x^2 - x - 6 \ge 0 \\ 4 - x^2 \ge 0 \\ 12 + x > 0 \end{cases} $

1. $x^2 - x - 6 \ge 0$. Корни $x_1 = -2, x_2 = 3$. Решение: $x \in (-\infty, -2] \cup [3, \infty)$.

2. $4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies x \in [-2, 2]$.

3. $12 + x > 0 \implies x > -12$.

Найдем пересечение решений первых двух неравенств: $(-\infty, -2] \cup [3, \infty) \cap [-2, 2] = \{-2\}$.

Теперь проверим, удовлетворяет ли точка $x = -2$ третьему условию: $-2 > -12$. Это верно.

Следовательно, ОДЗ неравенства состоит из единственной точки $x = -2$.

Подставим $x = -2$ в исходное неравенство:

$\sqrt{(-2)^2 - (-2) - 6} + 10^{\sqrt{4 - (-2)^2}} + 5\lg(12 + (-2)) \le 6$

$\sqrt{4 + 2 - 6} + 10^{\sqrt{4 - 4}} + 5\lg(10) \le 6$

$\sqrt{0} + 10^{\sqrt{0}} + 5 \cdot 1 \le 6$

$0 + 10^0 + 5 \le 6$

$1 + 5 \le 6$

$6 \le 6$

Неравенство верно. Значит, $x = -2$ является решением.

Ответ: $\{-2\}$.