Номер 13.10, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств - номер 13.10, страница 319.

Условие.

Решите неравенство (13.10—13.11):

13.10 а) $(x^2 + 4x - 21)^2 + \lg(x^2 - 6x + 10) \le 0;$

б) $(x^2 - 3x - 4)^2 + \lg(x^2 - 8x + 17) \le 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(x^2 + 4x - 21)^2 + \lg(x^2 - 6x + 10) \le 0$

Данное неравенство представляет собой сумму двух слагаемых. Проанализируем каждое из них.

Первое слагаемое $(x^2 + 4x - 21)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(x^2 + 4x - 21)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$.

Второе слагаемое $\lg(x^2 - 6x + 10)$. Рассмотрим выражение под знаком логарифма: $x^2 - 6x + 10$. Это квадратичная функция. Выделим полный квадрат:$x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x-3)^2 + 1$.Так как $(x-3)^2 \ge 0$, то $(x-3)^2 + 1 \ge 1$ для любых $x$.Поскольку основание десятичного логарифма равно 10 (больше 1), а аргумент логарифма не меньше 1, то значение логарифма будет неотрицательным:$\lg(x^2 - 6x + 10) \ge \lg(1) = 0$.

Таким образом, мы имеем сумму двух неотрицательных слагаемых. Их сумма может быть меньше или равна нулю только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю. Это приводит к системе уравнений:

$$ \begin{cases} (x^2 + 4x - 21)^2 = 0 \\ \lg(x^2 - 6x + 10) = 0 \end{cases} $$

Решим первое уравнение системы:$(x^2 + 4x - 21)^2 = 0 \implies x^2 + 4x - 21 = 0$.По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 3$ и $x_2 = -7$.

Решим второе уравнение системы:$\lg(x^2 - 6x + 10) = 0 \implies x^2 - 6x + 10 = 10^0 \implies x^2 - 6x + 10 = 1$.$x^2 - 6x + 9 = 0$.$(x-3)^2 = 0$.Корень этого уравнения $x = 3$.

Решением системы является общее решение обоих уравнений. Таким решением является $x=3$.

Ответ: $3$.

б) $(x^2 - 3x - 4)^2 + \lg(x^2 - 8x + 17) \le 0$

Это неравенство, как и предыдущее, является суммой двух слагаемых.

Первое слагаемое $(x^2 - 3x - 4)^2$ как квадрат действительного числа всегда неотрицательно: $(x^2 - 3x - 4)^2 \ge 0$ при любых $x$.

Второе слагаемое $\lg(x^2 - 8x + 17)$. Рассмотрим выражение под знаком логарифма: $x^2 - 8x + 17$. Выделим полный квадрат:$x^2 - 8x + 17 = (x^2 - 8x + 16) + 1 = (x-4)^2 + 1$.Так как $(x-4)^2 \ge 0$, то $(x-4)^2 + 1 \ge 1$ для любых $x$.Поскольку аргумент логарифма не меньше 1, то значение самого логарифма неотрицательно:$\lg(x^2 - 8x + 17) \ge \lg(1) = 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых меньше или равна нулю только тогда, когда оба слагаемых равны нулю. Запишем соответствующую систему уравнений:

$$ \begin{cases} (x^2 - 3x - 4)^2 = 0 \\ \lg(x^2 - 8x + 17) = 0 \end{cases} $$

Решим первое уравнение системы:$(x^2 - 3x - 4)^2 = 0 \implies x^2 - 3x - 4 = 0$.По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Решим второе уравнение системы:$\lg(x^2 - 8x + 17) = 0 \implies x^2 - 8x + 17 = 10^0 \implies x^2 - 8x + 17 = 1$.$x^2 - 8x + 16 = 0$.$(x-4)^2 = 0$.Корень этого уравнения $x = 4$.

Общим решением для обоих уравнений системы является $x=4$.

Ответ: $4$.