Номер 13.11, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств - номер 13.11, страница 319.

Условие.

13.11 a) $\sqrt{x^2 - 8x + 15} + \text{lg}(x^2 - 10x + 26) \le 0$;

б) $\sqrt{x^2 - 6x + 8} + \text{lg}(x^2 - 8x + 17) \le 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Рассмотрим неравенство $\sqrt{x^2 - 8x + 15} + \lg(x^2 - 10x + 26) \le 0$.

Левая часть неравенства представляет собой сумму двух слагаемых. Проанализируем каждое из них.

Первое слагаемое — это арифметический квадратный корень $\sqrt{x^2 - 8x + 15}$. По определению, значение корня всегда неотрицательно, то есть $\sqrt{x^2 - 8x + 15} \ge 0$.

Второе слагаемое — это десятичный логарифм $\lg(x^2 - 10x + 26)$. Рассмотрим выражение под знаком логарифма: $f(x) = x^2 - 10x + 26$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Найдем ее минимальное значение, которое достигается в вершине. Абсцисса вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5$.

Минимальное значение функции $f(x)$ равно $f(5) = 5^2 - 10 \cdot 5 + 26 = 25 - 50 + 26 = 1$.

Таким образом, выражение под логарифмом $x^2 - 10x + 26 \ge 1$ для всех действительных $x$. Поскольку функция $y = \lg(t)$ является возрастающей, то $\lg(x^2 - 10x + 26) \ge \lg(1) = 0$.

Итак, мы имеем сумму двух неотрицательных слагаемых. Их сумма может быть меньше или равна нулю только в том случае, когда оба слагаемых одновременно равны нулю. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x^2 - 8x + 15} = 0 \\ \lg(x^2 - 10x + 26) = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:
$\sqrt{x^2 - 8x + 15} = 0$
$x^2 - 8x + 15 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Решим второе уравнение системы:
$\lg(x^2 - 10x + 26) = 0$
$x^2 - 10x + 26 = 10^0$
$x^2 - 10x + 26 = 1$
$x^2 - 10x + 25 = 0$
$(x-5)^2 = 0$
Единственный корень этого уравнения — $x = 5$.

Решением системы является значение $x$, которое удовлетворяет обоим уравнениям. Таким значением является $x = 5$.

Ответ: $5$.

---

б) Рассмотрим неравенство $\sqrt{x^2 - 6x + 8} + \lg(x^2 - 8x + 17) \le 0$.

Аналогично предыдущему пункту, левая часть неравенства является суммой двух слагаемых, каждое из которых является неотрицательным.

Первое слагаемое $\sqrt{x^2 - 6x + 8} \ge 0$ по определению арифметического квадратного корня.

Для второго слагаемого $\lg(x^2 - 8x + 17)$ исследуем выражение под логарифмом $g(x) = x^2 - 8x + 17$. Это парабола с ветвями вверх. Абсцисса ее вершины: $x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4$.

Минимальное значение функции $g(x)$ равно $g(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 17 = 16 - 32 + 17 = 1$.

Следовательно, $x^2 - 8x + 17 \ge 1$ для всех $x$. Так как функция $y=\lg(t)$ является возрастающей, то $\lg(x^2 - 8x + 17) \ge \lg(1) = 0$.

Сумма двух неотрицательных выражений меньше или равна нулю тогда и только тогда, когда оба выражения равны нулю. Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x^2 - 6x + 8} = 0 \\ \lg(x^2 - 8x + 17) = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем:
$x^2 - 6x + 8 = 0$
Корни этого уравнения (по теореме Виета) $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Из второго уравнения получаем:
$\lg(x^2 - 8x + 17) = 0$
$x^2 - 8x + 17 = 1$
$x^2 - 8x + 16 = 0$
$(x-4)^2 = 0$
Единственный корень — $x = 4$.

Общим решением системы, удовлетворяющим обоим уравнениям, является $x = 4$.

Ответ: $4$.