Страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

13.7 a) $9^x - 2 \cdot 6^x + 2 \cdot 4^x - 2 \cdot 2^x + 1 = 0;$

б) $25^x - 5 \cdot 10^x + 29 \cdot 4^{x-1} - 4 \cdot 2^x + 4 = 0.$

а)

Исходное уравнение: $9^x - 2 \cdot 6^x + 2 \cdot 4^x - 2 \cdot 2^{x+1} + 1 = 0$.

Преобразуем степени в уравнении, чтобы выразить их через $3^x$ и $2^x$.
$9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$
$6^x = (3 \cdot 2)^x = 3^x \cdot 2^x$
$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$
$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$

Подставим эти выражения в уравнение:$(3^x)^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 2^x + 2 \cdot (2^x)^2 - 2 \cdot (2 \cdot 2^x) + 1 = 0$

$(3^x)^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 2^x + 2 \cdot (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 1 = 0$

Сгруппируем члены уравнения. Для этого представим $2 \cdot (2^x)^2$ как $(2^x)^2 + (2^x)^2$:$((3^x)^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 2^x + (2^x)^2) + ((2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 1) = 0$

Первая скобка является полным квадратом разности:$(3^x - 2^x)^2$

Таким образом, уравнение принимает вид:$(3^x - 2^x)^2 + (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 1 = 0$

Рассмотрим вторую часть уравнения. Ее также можно преобразовать, выделив полный квадрат:$(2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 1 = ((2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 4) - 3 = (2^x - 2)^2 - 3$

Подставим это обратно в уравнение:$(3^x - 2^x)^2 + (2^x - 2)^2 - 3 = 0$$(3^x - 2^x)^2 + (2^x - 2)^2 = 3$

Данное уравнение не имеет решений, которые можно выразить через элементарные функции. Хотя можно показать, что корень существует (он находится в интервале $(1, 2)$), его нахождение требует численных методов, что выходит за рамки стандартной школьной программы. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка (например, если бы свободный член был равен 4, а не 1, уравнение бы приняло вид $(3^x - 2^x)^2 + (2^x - 2)^2 = 0$, которое не имеет решений). В исходном виде задача не имеет "хороших" корней.

Ответ: уравнение не имеет решений в элементарных функциях.

б)

Исходное уравнение: $25^x - 5 \cdot 10^x + 29 \cdot 4^{x-1} - 4 \cdot 2^x + 4 = 0$.

Преобразуем степени в уравнении, чтобы выразить их через $5^x$ и $2^x$.
$25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$
$10^x = (5 \cdot 2)^x = 5^x \cdot 2^x$
$4^{x-1} = 4^x \cdot 4^{-1} = \frac{1}{4}(2^2)^x = \frac{1}{4}(2^x)^2$

Подставим эти выражения в уравнение:$(5^x)^2 - 5 \cdot 5^x \cdot 2^x + 29 \cdot \frac{1}{4}(2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 4 = 0$$(5^x)^2 - 5 \cdot 5^x \cdot 2^x + \frac{29}{4}(2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 4 = 0$

Сгруппируем члены уравнения, выделив полные квадраты. Для этого представим член $\frac{29}{4}(2^x)^2$ в виде суммы $\frac{25}{4}(2^x)^2 + \frac{4}{4}(2^x)^2 = \frac{25}{4}(2^x)^2 + (2^x)^2$.$((5^x)^2 - 5 \cdot 5^x \cdot 2^x + \frac{25}{4}(2^x)^2) + ((2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 4) = 0$

Обе скобки являются полными квадратами:Первая скобка: $(5^x)^2 - 2 \cdot 5^x \cdot (\frac{5}{2} \cdot 2^x) + (\frac{5}{2} \cdot 2^x)^2 = (5^x - \frac{5}{2} \cdot 2^x)^2$
Вторая скобка: $(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x \cdot 2 + 2^2 = (2^x - 2)^2$

Уравнение принимает вид:$(5^x - \frac{5}{2} \cdot 2^x)^2 + (2^x - 2)^2 = 0$

Сумма двух квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждый из квадратов равен нулю. Получаем систему уравнений:$\begin{cases} 5^x - \frac{5}{2} \cdot 2^x = 0 \\ 2^x - 2 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения находим $x$:$2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли этот корень первому уравнению, подставив $x=1$:$5^1 - \frac{5}{2} \cdot 2^1 = 5 - \frac{5}{2} \cdot 2 = 5 - 5 = 0$

Так как $x=1$ является решением обоих уравнений системы, он является решением исходного уравнения.

Ответ: $x=1$.

13.8 а) $\sqrt{x^2 - 5x - 14} + |\log_{0.6}(x^2 - 14x + 50)| = 0;$

б) $\sqrt{x^2 - 8x + 15} + |\log_{0.7}(x^2 - 10x + 26)| = 0.$

Дано уравнение $\sqrt{x^2 - 5x - 14} + |\log_{0.6}(x^2 - 14x + 50)| = 0$.

Левая часть уравнения представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых: квадратного корня ($\sqrt{A} \ge 0$) и модуля ($|B| \ge 0$). Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю.

Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x^2 - 5x - 14} = 0 \\ |\log_{0.6}(x^2 - 14x + 50)| = 0 \end{cases} $$

Упростим систему, возведя в квадрат первое уравнение и убрав модуль во втором: $$ \begin{cases} x^2 - 5x - 14 = 0 \\ \log_{0.6}(x^2 - 14x + 50) = 0 \end{cases} $$

Решим первое уравнение системы: $x^2 - 5x - 14 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 9}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$. $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 9}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$.

Решим второе уравнение системы: $\log_{0.6}(x^2 - 14x + 50) = 0$. Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен единице. При этом необходимо, чтобы аргумент логарифма был положителен, что выполняется, так как $1 > 0$. $x^2 - 14x + 50 = 1$. $x^2 - 14x + 49 = 0$. Это полный квадрат: $(x - 7)^2 = 0$. Отсюда получаем единственный корень: $x = 7$.

Теперь необходимо найти общее решение для обоих уравнений. Первое уравнение имеет корни $x = -2$ и $x = 7$. Второе уравнение имеет корень $x = 7$. Общим решением системы, а следовательно и исходного уравнения, является $x = 7$.

Ответ: 7

Дано уравнение $\sqrt{x^2 - 8x + 15} + |\log_{0.7}(x^2 - 10x + 26)| = 0$.

Как и в предыдущем пункте, сумма неотрицательных выражений (квадратного корня и модуля) равна нулю только в том случае, если оба выражения равны нулю.

Это приводит к системе уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x^2 - 8x + 15} = 0 \\ |\log_{0.7}(x^2 - 10x + 26)| = 0 \end{cases} $$

Упростим систему: $$ \begin{cases} x^2 - 8x + 15 = 0 \\ \log_{0.7}(x^2 - 10x + 26) = 0 \end{cases} $$

Решим первое уравнение: $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Решим второе уравнение: $\log_{0.7}(x^2 - 10x + 26) = 0$. Аргумент логарифма должен быть равен единице: $x^2 - 10x + 26 = 1$. $x^2 - 10x + 25 = 0$. Это полный квадрат: $(x - 5)^2 = 0$. Следовательно, единственный корень этого уравнения: $x = 5$.

Сравниваем решения обоих уравнений. Первое уравнение имеет корни $x = 3$ и $x = 5$. Второе уравнение имеет корень $x = 5$. Общим решением системы, а значит и исходного уравнения, является $x = 5$.

Ответ: 5

13.9 a) $\log_2(x^2 + 2x + 2) + \log_3(x^6 + 2x^5 + x^4 + 1) = 0;$

б) $\log_4(x^2 + 4x + 5) + \log_5(x^6 + 4x^5 + 4x^4 + 1) = 0;$

в) $\log_6(x^2 + 6x + 10) + \log_7^2(\sqrt[3]{x + 2} + 2) = 0;$

г) $\log_8(x^2 + 8x + 17) + \log_9^2(\sqrt[5]{x - 28} + 3) = 0.$

а) $ \log_{2}(x^2 + 2x + 2) + \log_{3}(x^6 + 2x^5 + x^4 + 1) = 0 $

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

1. Первое слагаемое: $ \log_{2}(x^2 + 2x + 2) $. Выделим полный квадрат в аргументе логарифма:
$ x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x + 1)^2 + 1 $.
Поскольку $ (x + 1)^2 \ge 0 $ для любого действительного $ x $, то $ (x + 1)^2 + 1 \ge 1 $.
Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно:
$ \log_{2}(x^2 + 2x + 2) = \log_{2}((x + 1)^2 + 1) \ge \log_{2}(1) = 0 $.
Таким образом, первое слагаемое всегда неотрицательно.

2. Второе слагаемое: $ \log_{3}(x^6 + 2x^5 + x^4 + 1) $. Преобразуем аргумент логарифма:
$ x^6 + 2x^5 + x^4 + 1 = x^4(x^2 + 2x + 1) + 1 = x^4(x + 1)^2 + 1 $.
Поскольку $ x^4 \ge 0 $ и $ (x + 1)^2 \ge 0 $, их произведение $ x^4(x + 1)^2 \ge 0 $. Значит, $ x^4(x + 1)^2 + 1 \ge 1 $.
Так как основание логарифма $ 3 > 1 $, то:
$ \log_{3}(x^6 + 2x^5 + x^4 + 1) = \log_{3}(x^4(x + 1)^2 + 1) \ge \log_{3}(1) = 0 $.
Таким образом, второе слагаемое также всегда неотрицательно.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Получаем систему уравнений:$ \begin{cases} \log_{2}(x^2 + 2x + 2) = 0 \\ \log_{3}(x^6 + 2x^5 + x^4 + 1) = 0 \end{cases} $

Решаем первое уравнение:
$ x^2 + 2x + 2 = 2^0 = 1 $
$ x^2 + 2x + 1 = 0 $
$ (x + 1)^2 = 0 $
$ x = -1 $

Решаем второе уравнение:
$ x^6 + 2x^5 + x^4 + 1 = 3^0 = 1 $
$ x^6 + 2x^5 + x^4 = 0 $
$ x^4(x^2 + 2x + 1) = 0 $
$ x^4(x + 1)^2 = 0 $
$ x = 0 $ или $ x = -1 $

Общим решением системы является $ x = -1 $. Область допустимых значений для обоих логарифмов ($ \text{аргумент} > 0 $) выполняется, так как мы показали, что аргументы не меньше 1.
Ответ: -1

б) $ \log_{4}(x^2 + 4x + 5) + \log_{5}(x^6 + 4x^5 + 4x^4 + 1) = 0 $

Действуем аналогично пункту а).

1. Первое слагаемое: $ \log_{4}(x^2 + 4x + 5) $. Аргумент: $ x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x + 2)^2 + 1 \ge 1 $.
Так как основание $ 4 > 1 $, то $ \log_{4}(x^2 + 4x + 5) \ge \log_{4}(1) = 0 $.

2. Второе слагаемое: $ \log_{5}(x^6 + 4x^5 + 4x^4 + 1) $. Аргумент: $ x^6 + 4x^5 + 4x^4 + 1 = x^4(x^2 + 4x + 4) + 1 = x^4(x + 2)^2 + 1 \ge 1 $.
Так как основание $ 5 > 1 $, то $ \log_{5}(x^6 + 4x^5 + 4x^4 + 1) \ge \log_{5}(1) = 0 $.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю, если каждое равно нулю.$ \begin{cases} \log_{4}(x^2 + 4x + 5) = 0 \\ \log_{5}(x^6 + 4x^5 + 4x^4 + 1) = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения:
$ x^2 + 4x + 5 = 4^0 = 1 $
$ x^2 + 4x + 4 = 0 $
$ (x + 2)^2 = 0 $
$ x = -2 $

Из второго уравнения:
$ x^6 + 4x^5 + 4x^4 + 1 = 5^0 = 1 $
$ x^4(x + 2)^2 = 0 $
$ x = 0 $ или $ x = -2 $

Общее решение системы: $ x = -2 $.
Ответ: -2

в) $ \log_{6}(x^2 + 6x + 10) + \log_{7}^2(\sqrt[3]{x + 2} + 2) = 0 $

1. Первое слагаемое: $ \log_{6}(x^2 + 6x + 10) $. Аргумент: $ x^2 + 6x + 10 = (x^2 + 6x + 9) + 1 = (x + 3)^2 + 1 \ge 1 $.
Так как основание $ 6 > 1 $, то $ \log_{6}(x^2 + 6x + 10) \ge \log_{6}(1) = 0 $.

2. Второе слагаемое: $ \log_{7}^2(\sqrt[3]{x + 2} + 2) $. Это квадрат величины $ \log_{7}(\sqrt[3]{x + 2} + 2) $, поэтому это слагаемое всегда неотрицательно: $ \log_{7}^2(\dots) \ge 0 $.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю, если каждое равно нулю.
$ \begin{cases} \log_{6}(x^2 + 6x + 10) = 0 \\ \log_{7}^2(\sqrt[3]{x + 2} + 2) = 0 \end{cases} $

Решаем первое уравнение:
$ x^2 + 6x + 10 = 6^0 = 1 $
$ x^2 + 6x + 9 = 0 $
$ (x + 3)^2 = 0 $
$ x = -3 $

Решаем второе уравнение:
$ \log_{7}(\sqrt[3]{x + 2} + 2) = 0 $
$ \sqrt[3]{x + 2} + 2 = 7^0 = 1 $
$ \sqrt[3]{x + 2} = -1 $
$ x + 2 = (-1)^3 = -1 $
$ x = -3 $

Оба уравнения дают $ x = -3 $. Проверим ОДЗ для второго логарифма: $ \sqrt[3]{x + 2} + 2 > 0 $. При $ x = -3 $: $ \sqrt[3]{-3 + 2} + 2 = \sqrt[3]{-1} + 2 = -1 + 2 = 1 > 0 $. Условие выполнено.
Ответ: -3

г) $ \log_{8}(x^2 + 8x + 17) + \log_{9}^2(\sqrt[5]{x - 28} + 3) = 0 $

1. Первое слагаемое: $ \log_{8}(x^2 + 8x + 17) $. Аргумент: $ x^2 + 8x + 17 = (x^2 + 8x + 16) + 1 = (x + 4)^2 + 1 \ge 1 $.
Так как основание $ 8 > 1 $, то $ \log_{8}(x^2 + 8x + 17) \ge \log_{8}(1) = 0 $.

2. Второе слагаемое: $ \log_{9}^2(\sqrt[5]{x - 28} + 3) $. Это квадрат действительного числа, поэтому слагаемое всегда неотрицательно: $ \log_{9}^2(\dots) \ge 0 $.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю, если каждое равно нулю.
$ \begin{cases} \log_{8}(x^2 + 8x + 17) = 0 \\ \log_{9}^2(\sqrt[5]{x - 28} + 3) = 0 \end{cases} $

Решаем первое уравнение:
$ x^2 + 8x + 17 = 8^0 = 1 $
$ x^2 + 8x + 16 = 0 $
$ (x + 4)^2 = 0 $
$ x = -4 $

Решаем второе уравнение:
$ \log_{9}(\sqrt[5]{x - 28} + 3) = 0 $
$ \sqrt[5]{x - 28} + 3 = 9^0 = 1 $
$ \sqrt[5]{x - 28} = -2 $
$ x - 28 = (-2)^5 = -32 $
$ x = -32 + 28 = -4 $

Оба уравнения дают $ x = -4 $. Проверим ОДЗ для второго логарифма: $ \sqrt[5]{x - 28} + 3 > 0 $. При $ x = -4 $: $ \sqrt[5]{-4 - 28} + 3 = \sqrt[5]{-32} + 3 = -2 + 3 = 1 > 0 $. Условие выполнено.
Ответ: -4

Решите неравенство (13.10—13.11):

13.10 а) $(x^2 + 4x - 21)^2 + \lg(x^2 - 6x + 10) \le 0;$

б) $(x^2 - 3x - 4)^2 + \lg(x^2 - 8x + 17) \le 0.$

а) $(x^2 + 4x - 21)^2 + \lg(x^2 - 6x + 10) \le 0$

Данное неравенство представляет собой сумму двух слагаемых. Проанализируем каждое из них.

Первое слагаемое $(x^2 + 4x - 21)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(x^2 + 4x - 21)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$.

Второе слагаемое $\lg(x^2 - 6x + 10)$. Рассмотрим выражение под знаком логарифма: $x^2 - 6x + 10$. Это квадратичная функция. Выделим полный квадрат:$x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x-3)^2 + 1$.Так как $(x-3)^2 \ge 0$, то $(x-3)^2 + 1 \ge 1$ для любых $x$.Поскольку основание десятичного логарифма равно 10 (больше 1), а аргумент логарифма не меньше 1, то значение логарифма будет неотрицательным:$\lg(x^2 - 6x + 10) \ge \lg(1) = 0$.

Таким образом, мы имеем сумму двух неотрицательных слагаемых. Их сумма может быть меньше или равна нулю только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю. Это приводит к системе уравнений:

$$ \begin{cases} (x^2 + 4x - 21)^2 = 0 \\ \lg(x^2 - 6x + 10) = 0 \end{cases} $$

Решим первое уравнение системы:$(x^2 + 4x - 21)^2 = 0 \implies x^2 + 4x - 21 = 0$.По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 3$ и $x_2 = -7$.

Решим второе уравнение системы:$\lg(x^2 - 6x + 10) = 0 \implies x^2 - 6x + 10 = 10^0 \implies x^2 - 6x + 10 = 1$.$x^2 - 6x + 9 = 0$.$(x-3)^2 = 0$.Корень этого уравнения $x = 3$.

Решением системы является общее решение обоих уравнений. Таким решением является $x=3$.

Ответ: $3$.

б) $(x^2 - 3x - 4)^2 + \lg(x^2 - 8x + 17) \le 0$

Это неравенство, как и предыдущее, является суммой двух слагаемых.

Первое слагаемое $(x^2 - 3x - 4)^2$ как квадрат действительного числа всегда неотрицательно: $(x^2 - 3x - 4)^2 \ge 0$ при любых $x$.

Второе слагаемое $\lg(x^2 - 8x + 17)$. Рассмотрим выражение под знаком логарифма: $x^2 - 8x + 17$. Выделим полный квадрат:$x^2 - 8x + 17 = (x^2 - 8x + 16) + 1 = (x-4)^2 + 1$.Так как $(x-4)^2 \ge 0$, то $(x-4)^2 + 1 \ge 1$ для любых $x$.Поскольку аргумент логарифма не меньше 1, то значение самого логарифма неотрицательно:$\lg(x^2 - 8x + 17) \ge \lg(1) = 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых меньше или равна нулю только тогда, когда оба слагаемых равны нулю. Запишем соответствующую систему уравнений:

$$ \begin{cases} (x^2 - 3x - 4)^2 = 0 \\ \lg(x^2 - 8x + 17) = 0 \end{cases} $$

Решим первое уравнение системы:$(x^2 - 3x - 4)^2 = 0 \implies x^2 - 3x - 4 = 0$.По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Решим второе уравнение системы:$\lg(x^2 - 8x + 17) = 0 \implies x^2 - 8x + 17 = 10^0 \implies x^2 - 8x + 17 = 1$.$x^2 - 8x + 16 = 0$.$(x-4)^2 = 0$.Корень этого уравнения $x = 4$.

Общим решением для обоих уравнений системы является $x=4$.

Ответ: $4$.

13.11 a) $\sqrt{x^2 - 8x + 15} + \text{lg}(x^2 - 10x + 26) \le 0$;

б) $\sqrt{x^2 - 6x + 8} + \text{lg}(x^2 - 8x + 17) \le 0$.

а) Рассмотрим неравенство $\sqrt{x^2 - 8x + 15} + \lg(x^2 - 10x + 26) \le 0$.

Левая часть неравенства представляет собой сумму двух слагаемых. Проанализируем каждое из них.

Первое слагаемое — это арифметический квадратный корень $\sqrt{x^2 - 8x + 15}$. По определению, значение корня всегда неотрицательно, то есть $\sqrt{x^2 - 8x + 15} \ge 0$.

Второе слагаемое — это десятичный логарифм $\lg(x^2 - 10x + 26)$. Рассмотрим выражение под знаком логарифма: $f(x) = x^2 - 10x + 26$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Найдем ее минимальное значение, которое достигается в вершине. Абсцисса вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5$.

Минимальное значение функции $f(x)$ равно $f(5) = 5^2 - 10 \cdot 5 + 26 = 25 - 50 + 26 = 1$.

Таким образом, выражение под логарифмом $x^2 - 10x + 26 \ge 1$ для всех действительных $x$. Поскольку функция $y = \lg(t)$ является возрастающей, то $\lg(x^2 - 10x + 26) \ge \lg(1) = 0$.

Итак, мы имеем сумму двух неотрицательных слагаемых. Их сумма может быть меньше или равна нулю только в том случае, когда оба слагаемых одновременно равны нулю. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x^2 - 8x + 15} = 0 \\ \lg(x^2 - 10x + 26) = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:
$\sqrt{x^2 - 8x + 15} = 0$
$x^2 - 8x + 15 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Решим второе уравнение системы:
$\lg(x^2 - 10x + 26) = 0$
$x^2 - 10x + 26 = 10^0$
$x^2 - 10x + 26 = 1$
$x^2 - 10x + 25 = 0$
$(x-5)^2 = 0$
Единственный корень этого уравнения — $x = 5$.

Решением системы является значение $x$, которое удовлетворяет обоим уравнениям. Таким значением является $x = 5$.

Ответ: $5$.

б) Рассмотрим неравенство $\sqrt{x^2 - 6x + 8} + \lg(x^2 - 8x + 17) \le 0$.

Аналогично предыдущему пункту, левая часть неравенства является суммой двух слагаемых, каждое из которых является неотрицательным.

Первое слагаемое $\sqrt{x^2 - 6x + 8} \ge 0$ по определению арифметического квадратного корня.

Для второго слагаемого $\lg(x^2 - 8x + 17)$ исследуем выражение под логарифмом $g(x) = x^2 - 8x + 17$. Это парабола с ветвями вверх. Абсцисса ее вершины: $x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4$.

Минимальное значение функции $g(x)$ равно $g(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 17 = 16 - 32 + 17 = 1$.

Следовательно, $x^2 - 8x + 17 \ge 1$ для всех $x$. Так как функция $y=\lg(t)$ является возрастающей, то $\lg(x^2 - 8x + 17) \ge \lg(1) = 0$.

Сумма двух неотрицательных выражений меньше или равна нулю тогда и только тогда, когда оба выражения равны нулю. Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x^2 - 6x + 8} = 0 \\ \lg(x^2 - 8x + 17) = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем:
$x^2 - 6x + 8 = 0$
Корни этого уравнения (по теореме Виета) $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Из второго уравнения получаем:
$\lg(x^2 - 8x + 17) = 0$
$x^2 - 8x + 17 = 1$
$x^2 - 8x + 16 = 0$
$(x-4)^2 = 0$
Единственный корень — $x = 4$.

Общим решением системы, удовлетворяющим обоим уравнениям, является $x = 4$.

Ответ: $4$.

13.12* Докажите, что не имеет корней уравнение:

а) $x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 2 = 0;$

б) $x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 4x + 4 = 0.$

а) Рассмотрим уравнение $x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 2 = 0$.

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полные квадраты. Для этого представим ее в виде следующей суммы:

$(x^6 + 2x^5 + x^4) + (x^4 + 2x^3 + x^2) + (x^2 + 2x + 1) + 1$.

Раскрыв скобки, можно убедиться, что это выражение тождественно левой части исходного уравнения:

$x^6 + 2x^5 + (x^4 + x^4) + 2x^3 + (x^2 + x^2) + 2x + 1 + 1 = x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 2$.

Теперь каждую группу в скобках можно свернуть как полный квадрат:

$(x^3 + x^2)^2 + (x^2 + x)^2 + (x + 1)^2 + 1 = 0$.

Рассмотрим полученное уравнение. Выражения $(x^3 + x^2)^2$, $(x^2 + x)^2$ и $(x + 1)^2$ являются квадратами действительных выражений, поэтому их значения всегда неотрицательны для любого действительного $x$:

$(x^3 + x^2)^2 \ge 0$

$(x^2 + x)^2 \ge 0$

$(x + 1)^2 \ge 0$

Сумма этих трех неотрицательных слагаемых также будет неотрицательной:

$(x^3 + x^2)^2 + (x^2 + x)^2 + (x + 1)^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному выражению прибавить 1, результат будет не меньше 1:

$(x^3 + x^2)^2 + (x^2 + x)^2 + (x + 1)^2 + 1 \ge 1$.

Таким образом, левая часть уравнения всегда строго больше нуля (она больше или равна 1). Следовательно, она никогда не может быть равна нулю. Это доказывает, что у уравнения нет действительных корней.

Ответ: доказано, что уравнение не имеет корней.

б) Рассмотрим уравнение $x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 4x + 4 = 0$.

Как и в предыдущем пункте, преобразуем левую часть уравнения, представив ее в виде суммы квадратов. Сгруппируем слагаемые:

$(x^6 + 2x^5 + x^4) + (x^4 + 2x^3 + x^2) + (x^2 + 4x + 4)$.

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, убеждаемся, что получили исходное выражение:

$x^6 + 2x^5 + (x^4 + x^4) + 2x^3 + (x^2 + x^2) + 4x + 4 = x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 4x + 4$.

Теперь свернем каждую группу в полный квадрат:

$(x^3 + x^2)^2 + (x^2 + x)^2 + (x + 2)^2 = 0$.

Сумма квадратов действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, для того чтобы данное уравнение имело решение, необходимо одновременное выполнение трех условий:

$x^3 + x^2 = 0$

$x^2 + x = 0$

$x + 2 = 0$

Это система из трех уравнений с одной переменной. Найдем ее решение.

Из третьего уравнения сразу получаем: $x + 2 = 0 \implies x = -2$.

Проверим, является ли $x=-2$ решением двух других уравнений. Подставим это значение во второе уравнение:

$(-2)^2 + (-2) = 4 - 2 = 2$.

Так как $2 \neq 0$, значение $x=-2$ не удовлетворяет второму уравнению. Этого уже достаточно, чтобы заключить, что система не имеет решений.

Для полноты анализа найдем корни каждого уравнения по отдельности:

1) $x^3 + x^2 = x^2(x + 1) = 0$, откуда $x=0$ или $x=-1$.

2) $x^2 + x = x(x + 1) = 0$, откуда $x=0$ или $x=-1$.

3) $x + 2 = 0$, откуда $x=-2$.

Как видим, у трех уравнений нет общего корня. Следовательно, система не имеет решений.

Это означает, что не существует такого действительного числа $x$, при котором все три слагаемых $(x^3 + x^2)^2$, $(x^2 + x)^2$ и $(x + 2)^2$ одновременно равны нулю. Поскольку каждое из слагаемых является квадратом, оно неотрицательно. Их сумма может быть равна нулю только если все они равны нулю одновременно, что, как мы показали, невозможно. Значит, их сумма всегда строго положительна.

Таким образом, левая часть уравнения никогда не может быть равна нулю, и уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: доказано, что уравнение не имеет корней.