Страница 323 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Решите уравнение (13.13–13.17):

13.13 а) $\lg (x^2 + 1) + 1 = \cos \pi x$;

б) $\lg(1 + |x - 2|) + 2 = |1 + \cos \pi x|$;

в) $3 - \lg (x^2 - 10x + 26) = \sqrt{x^2 - 10x + 34}$;

г) $2 - \lg (1 + |x - 6|) = \sqrt{x^2 - 12x + 40}$.

а) $lg(x^2 + 1) + 1 = \cos \pi x$

Для решения данного уравнения оценим области значений его левой и правой частей.

Рассмотрим левую часть уравнения: $f(x) = lg(x^2 + 1) + 1$.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно: $x^2 \ge 0$.
Следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$.
Функция десятичного логарифма $y = lg(t)$ является возрастающей, поэтому $lg(x^2 + 1) \ge lg(1) = 0$.
Таким образом, для левой части уравнения имеем: $lg(x^2 + 1) + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Наименьшее значение левой части равно 1 и достигается при $x^2=0$, то есть при $x=0$.

Рассмотрим правую часть уравнения: $g(x) = \cos \pi x$.
Область значений функции косинуса — отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, $\cos \pi x \le 1$.
Наибольшее значение правой части равно 1.

Равенство $lg(x^2 + 1) + 1 = \cos \pi x$ возможно только в том случае, когда обе части уравнения одновременно равны 1. Это эквивалентно системе уравнений:
$\begin{cases} lg(x^2 + 1) + 1 = 1 \\ \cos \pi x = 1 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:
$lg(x^2 + 1) = 0$
$x^2 + 1 = 10^0$
$x^2 + 1 = 1$
$x^2 = 0$
$x = 0$

Подставим найденное значение $x=0$ во второе уравнение системы, чтобы проверить, является ли оно решением:
$\cos(\pi \cdot 0) = \cos(0) = 1$.
Равенство выполняется. Следовательно, $x=0$ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $x=0$.

б) $lg(1 + |x - 2|) + 2 = |1 + \cos \pi x|$

Оценим области значений левой и правой частей уравнения.

Левая часть: $f(x) = lg(1 + |x - 2|) + 2$.
Модуль $|x - 2|$ всегда неотрицателен: $|x - 2| \ge 0$.
Следовательно, $1 + |x - 2| \ge 1$.
Так как функция логарифма возрастающая, $lg(1 + |x - 2|) \ge lg(1) = 0$.
Таким образом, $lg(1 + |x - 2|) + 2 \ge 0 + 2 = 2$.
Наименьшее значение левой части равно 2 и достигается при $|x - 2|=0$, то есть при $x=2$.

Правая часть: $g(x) = |1 + \cos \pi x|$.
Мы знаем, что $-1 \le \cos \pi x \le 1$.
Прибавив 1 ко всем частям неравенства, получим: $0 \le 1 + \cos \pi x \le 2$.
Так как выражение $1 + \cos \pi x$ неотрицательно, его модуль равен самому выражению: $|1 + \cos \pi x| = 1 + \cos \pi x$.
Следовательно, $0 \le |1 + \cos \pi x| \le 2$.
Наибольшее значение правой части равно 2.

Равенство возможно только тогда, когда обе части уравнения равны 2. Получаем систему:
$\begin{cases} lg(1 + |x - 2|) + 2 = 2 \\ |1 + \cos \pi x| = 2 \end{cases}$

Решим первое уравнение:
$lg(1 + |x - 2|) = 0$
$1 + |x - 2| = 10^0$
$1 + |x - 2| = 1$
$|x - 2| = 0$
$x = 2$

Проверим найденное значение $x=2$ во втором уравнении:
$|1 + \cos(\pi \cdot 2)| = |1 + \cos(2\pi)| = |1 + 1| = |2| = 2$.
Равенство выполняется, значит, $x=2$ — единственное решение.

Ответ: $x=2$.

в) $3 - lg(x^2 - 10x + 26) = \sqrt{x^2 - 10x + 34}$

Преобразуем выражения в уравнении, выделив полные квадраты:
$x^2 - 10x + 26 = (x^2 - 10x + 25) + 1 = (x - 5)^2 + 1$.
$x^2 - 10x + 34 = (x^2 - 10x + 25) + 9 = (x - 5)^2 + 9$.
Сделаем замену $y = (x - 5)^2$. Так как $y$ — это квадрат выражения, то $y \ge 0$.
Уравнение принимает вид: $3 - lg(y + 1) = \sqrt{y + 9}$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения от переменной $y \ge 0$.
Левая часть: $f(y) = 3 - lg(y + 1)$. При возрастании $y$, выражение $y+1$ возрастает, $lg(y+1)$ возрастает, а $3-lg(y+1)$ убывает. Значит, $f(y)$ — убывающая функция. Ее наибольшее значение достигается при $y=0$: $f(0) = 3 - lg(1) = 3$. Таким образом, $f(y) \le 3$.

Правая часть: $g(y) = \sqrt{y + 9}$. При возрастании $y$, выражение $y+9$ возрастает, и $\sqrt{y+9}$ тоже возрастает. Значит, $g(y)$ — возрастающая функция. Ее наименьшее значение достигается при $y=0$: $g(0) = \sqrt{0+9} = 3$. Таким образом, $g(y) \ge 3$.

Равенство $f(y) = g(y)$ возможно только если $f(y) = g(y) = 3$. Это достигается только при $y = 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:
$(x - 5)^2 = 0$
$x - 5 = 0$
$x = 5$

Ответ: $x=5$.

г) $2 - lg(1 + |x - 6|) = \sqrt{x^2 - 12x + 40}$

Преобразуем выражение под корнем, выделив полный квадрат:
$x^2 - 12x + 40 = (x^2 - 12x + 36) + 4 = (x - 6)^2 + 4$.
Сделаем замену $y = |x - 6|$. Тогда $y \ge 0$ и $y^2 = (x - 6)^2$.
Уравнение принимает вид: $2 - lg(1 + y) = \sqrt{y^2 + 4}$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях как функции от $y \ge 0$.
Левая часть: $f(y) = 2 - lg(1 + y)$. Это убывающая функция (по аналогии с пунктом в)). Ее максимальное значение достигается при $y=0$: $f(0) = 2 - lg(1) = 2$. Следовательно, $f(y) \le 2$.

Правая часть: $g(y) = \sqrt{y^2 + 4}$. Это возрастающая функция для $y \ge 0$. Ее минимальное значение достигается при $y=0$: $g(0) = \sqrt{0^2+4} = \sqrt{4} = 2$. Следовательно, $g(y) \ge 2$.

Равенство $f(y) = g(y)$ возможно только если $f(y) = g(y) = 2$, что имеет место только при $y = 0$.

Сделаем обратную замену:
$|x - 6| = 0$
$x - 6 = 0$
$x = 6$

Ответ: $x=6$.

13.14 a) $x^2 - \pi x + \frac{\pi^2}{4} = \sin x - 1$;

б) $x^2 - 4\pi x + 4\pi^2 = \cos x - 1;$

В) $x^2 + 2\pi x + \pi^2 = \sin x - 1;$

Г) $x^2 - 2\pi x + \pi^2 = \cos x - 1.$

а) Решим уравнение $x^2 - \pi x + \frac{\pi^2}{4} = \sin x - 1$.

Рассмотрим левую часть уравнения (ЛЧ): $f(x) = x^2 - \pi x + \frac{\pi^2}{4}$. Это выражение является полным квадратом:

$f(x) = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{\pi}{2} + (\frac{\pi}{2})^2 = (x - \frac{\pi}{2})^2$.

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $f(x) = (x - \frac{\pi}{2})^2 \ge 0$. Наименьшее значение левой части равно 0 и достигается при $x = \frac{\pi}{2}$.

Рассмотрим правую часть уравнения (ПЧ): $g(x) = \sin x - 1$.

Область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для $g(x)$ имеем:

$-1 - 1 \le \sin x - 1 \le 1 - 1$, что дает $-2 \le g(x) \le 0$.

Наибольшее значение правой части равно 0.

Исходное равенство $f(x) = g(x)$ возможно тогда и только тогда, когда обе части принимают одно и то же значение. Так как $f(x) \ge 0$ и $g(x) \le 0$, равенство может выполняться только если обе части равны 0.

Таким образом, мы приходим к системе уравнений:

$\begin{cases} (x - \frac{\pi}{2})^2 = 0 \\ \sin x - 1 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x - \frac{\pi}{2} = 0$, то есть $x = \frac{\pi}{2}$.

Из второго уравнения следует, что $\sin x = 1$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x = \frac{\pi}{2}$ второму уравнению: $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Это верное равенство.

Следовательно, $x = \frac{\pi}{2}$ является единственным решением данного уравнения.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) Решим уравнение $x^2 - 4\pi x + 4\pi^2 = \cos x - 1$.

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат:

$x^2 - 4\pi x + 4\pi^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (2\pi) + (2\pi)^2 = (x - 2\pi)^2$.

Левая часть уравнения $(x - 2\pi)^2 \ge 0$ для всех $x$. Минимум, равный 0, достигается при $x = 2\pi$.

Рассмотрим правую часть: $\cos x - 1$.

Область значений функции $\cos x$ — это $[-1, 1]$. Значит, область значений выражения $\cos x - 1$ — это $[-2, 0]$. Максимум, равный 0, достигается, когда $\cos x = 1$.

Равенство возможно только если обе части равны 0. Получаем систему:

$\begin{cases} (x - 2\pi)^2 = 0 \\ \cos x - 1 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x = 2\pi$.

Из второго уравнения $\cos x = 1$.

Подставим $x = 2\pi$ во второе уравнение: $\cos(2\pi) = 1$. Равенство верное.

Таким образом, $x = 2\pi$ — единственное решение.

Ответ: $2\pi$.

в) Решим уравнение $x^2 + 2\pi x + \pi^2 = \sin x - 1$.

Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат:

$x^2 + 2\pi x + \pi^2 = (x + \pi)^2$.

Выражение $(x + \pi)^2 \ge 0$ для всех $x$. Минимальное значение 0 достигается при $x = -\pi$.

Правая часть уравнения: $\sin x - 1$.

Как и в пункте а), область значений правой части — $[-2, 0]$. Максимальное значение 0 достигается, когда $\sin x = 1$.

Равенство возможно, только если обе части равны 0. Составляем систему:

$\begin{cases} (x + \pi)^2 = 0 \\ \sin x - 1 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения $x + \pi = 0$, откуда $x = -\pi$.

Из второго уравнения $\sin x = 1$.

Проверим, удовлетворяет ли $x = -\pi$ второму уравнению: $\sin(-\pi) = 0$.

Так как $0 \neq 1$, то значение $x = -\pi$ не является решением второго уравнения. Поскольку только при $x = -\pi$ левая часть равна 0, а при этом значении правая часть не равна 0, то система не имеет решений. Следовательно, и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

г) Решим уравнение $x^2 - 2\pi x + \pi^2 = \cos x - 1$.

Левая часть уравнения является полным квадратом:

$x^2 - 2\pi x + \pi^2 = (x - \pi)^2$.

Значение этого выражения всегда неотрицательно: $(x - \pi)^2 \ge 0$. Минимум 0 достигается при $x = \pi$.

Правая часть уравнения: $\cos x - 1$.

Как и в пункте б), область значений правой части — $[-2, 0]$. Максимум 0 достигается, когда $\cos x = 1$.

Равенство возможно, только если обе части равны 0. Получаем систему:

$\begin{cases} (x - \pi)^2 = 0 \\ \cos x - 1 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения $x - \pi = 0$, откуда $x = \pi$.

Из второго уравнения $\cos x = 1$.

Проверим, является ли $x = \pi$ решением второго уравнения: $\cos(\pi) = -1$.

Поскольку $-1 \neq 1$, значение $x = \pi$ не удовлетворяет второму уравнению. Система не имеет решений, а значит и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

13.15 a) $2 \cos^2 (x \sin \pi x) = 2 + \log_2 (x^2 - 4x + 5);$

б) $3 \sin^2 \left(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin \frac{\pi x}{2}\right) = 3 + \log_3 (x^2 - 6x + 10).$

a) Решим уравнение $2\cos^2(x\sin(\pi x)) = 2 + \log_2(x^2 - 4x + 5)$.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом оценки, проанализировав область значений левой и правой частей.

Рассмотрим левую часть (ЛЧ): $f(x) = 2\cos^2(x\sin(\pi x))$. Мы знаем, что для любого действительного аргумента $\alpha$, значение функции косинус в квадрате находится в пределах $0 \le \cos^2(\alpha) \le 1$. Умножив на 2, получаем, что область значений левой части уравнения есть отрезок $[0, 2]$. Таким образом, $ЛЧ \le 2$.

Рассмотрим правую часть (ПЧ): $g(x) = 2 + \log_2(x^2 - 4x + 5)$. Проанализируем выражение, стоящее под знаком логарифма: $h(x) = x^2 - 4x + 5$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Её наименьшее значение достигается в вершине. Выделим полный квадрат, чтобы найти вершину: $x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x-2)^2 + 1$. Так как $(x-2)^2 \ge 0$, то наименьшее значение этого выражения равно $1$ и достигается при $x=2$. Поскольку основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и, следовательно, $\log_2(x^2 - 4x + 5) \ge \log_2(1) = 0$. Отсюда следует, что правая часть уравнения всегда не меньше 2: $ПЧ \ge 2$.

Исходное равенство $ЛЧ = ПЧ$ может выполняться только в том случае, когда обе части одновременно равны $2$. Это равносильно выполнению системы из двух условий:
1) $2\cos^2(x\sin(\pi x)) = 2$
2) $2 + \log_2(x^2 - 4x + 5) = 2$

Начнем с решения второго, более простого уравнения: $2 + \log_2(x^2 - 4x + 5) = 2$. Отсюда $\log_2(x^2 - 4x + 5) = 0$. По определению логарифма, $x^2 - 4x + 5 = 2^0 = 1$. Переносим 1 влево: $x^2 - 4x + 4 = 0$, что является полным квадратом: $(x-2)^2 = 0$. Единственным решением этого уравнения является $x=2$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное значение $x=2$ первому уравнению. Подставим $x=2$ в левую часть исходного уравнения: $2\cos^2(2\sin(\pi \cdot 2)) = 2\cos^2(2\sin(2\pi))$. Так как $\sin(2\pi) = 0$, получаем: $2\cos^2(2 \cdot 0) = 2\cos^2(0)$. Поскольку $\cos(0) = 1$, то $2 \cdot 1^2 = 2$. Равенство $2=2$ верно. Таким образом, $x=2$ является решением.

Ответ: $2$

б) Решим уравнение $3\sin^2(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin(\frac{\pi x}{2})) = 3 + \log_3(x^2 - 6x + 10)$.

Как и в предыдущем задании, применим метод оценки для левой и правой частей уравнения.

Левая часть (ЛЧ): $f(x) = 3\sin^2(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin(\frac{\pi x}{2}))$. Область значений функции синус в квадрате: $0 \le \sin^2(\alpha) \le 1$ для любого действительного $\alpha$. Следовательно, умножив на 3, получаем, что $0 \le 3\sin^2(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin(\frac{\pi x}{2})) \le 3$. Таким образом, левая часть уравнения не превышает 3: $ЛЧ \le 3$.

Правая часть (ПЧ): $g(x) = 3 + \log_3(x^2 - 6x + 10)$. Исследуем выражение в аргументе логарифма: $h(x) = x^2 - 6x + 10$. Выделим полный квадрат: $x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x-3)^2 + 1$. Наименьшее значение этого выражения равно $1$ и достигается при $x=3$. Поскольку основание логарифма $3 > 1$, функция $y=\log_3(t)$ является возрастающей, и $\log_3(x^2 - 6x + 10) \ge \log_3(1) = 0$. Следовательно, правая часть уравнения всегда не меньше 3: $ПЧ \ge 3$.

Равенство $ЛЧ = ПЧ$ возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны $3$. Это равносильно выполнению системы из двух условий:
1) $3\sin^2(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin(\frac{\pi x}{2})) = 3$
2) $3 + \log_3(x^2 - 6x + 10) = 3$

Решим второе уравнение: $3 + \log_3(x^2 - 6x + 10) = 3$. Отсюда $\log_3(x^2 - 6x + 10) = 0$. По определению логарифма, $x^2 - 6x + 10 = 3^0 = 1$. Переносим 1 влево: $x^2 - 6x + 9 = 0$, что является полным квадратом: $(x-3)^2 = 0$. Единственным решением этого уравнения является $x=3$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x=3$ первому уравнению. Подставим $x=3$ в левую часть исходного уравнения: $3\sin^2(\frac{\pi \cdot 3}{2} \cdot \sin(\frac{\pi \cdot 3}{2})) = 3\sin^2(\frac{3\pi}{2} \cdot \sin(\frac{3\pi}{2}))$. Так как $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$, получаем: $3\sin^2(\frac{3\pi}{2} \cdot (-1)) = 3\sin^2(-\frac{3\pi}{2})$. Используя свойство $\sin^2(-\alpha) = \sin^2(\alpha)$, имеем $3\sin^2(\frac{3\pi}{2})$. Поскольку $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$, то $3 \cdot (-1)^2 = 3$. Равенство $3=3$ верно.

Ответ: $3$