Страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Решите уравнение (13.27–13.31):

13.27 а) $log_2 x = 1 - x;$

б) $log_3 x = 4 - x;$

в) $log_{0,5} x = x - 3;$

г) $log_{0,3} x = x - 1.$

а) Дано уравнение $\log_2 x = 1 - x$. Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием $x > 0$. Рассмотрим две функции: $f(x) = \log_2 x$ и $g(x) = 1 - x$. Функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения, так как это логарифмическая функция с основанием $2 > 1$. Функция $g(x)$ является строго убывающей, поскольку это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом ($-1$). Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Найдем корень подбором. При $x = 1$ левая часть уравнения равна $\log_2 1 = 0$, а правая часть равна $1 - 1 = 0$. Поскольку левая и правая части равны, $x = 1$ является корнем уравнения. В силу того, что решение единственное, это и есть ответ.

Ответ: 1.

б) Дано уравнение $\log_3 x = 4 - x$. ОДЗ уравнения: $x > 0$. Рассмотрим функции $f(x) = \log_3 x$ и $g(x) = 4 - x$. Функция $f(x)$ является строго возрастающей (основание логарифма $3 > 1$). Функция $g(x)$ является строго убывающей (линейная функция с коэффициентом $-1$). Следовательно, уравнение может иметь не более одного решения. Методом подбора найдем корень. Проверим $x = 3$. Левая часть: $\log_3 3 = 1$. Правая часть: $4 - 3 = 1$. Так как $1 = 1$, $x = 3$ является решением уравнения. Это единственное решение.

Ответ: 3.

в) Дано уравнение $\log_{0,5} x = x - 3$. ОДЗ уравнения: $x > 0$. Рассмотрим функции $f(x) = \log_{0,5} x$ и $g(x) = x - 3$. Функция $f(x)$ является строго убывающей, так как основание логарифма $0,5$ находится в интервале $(0; 1)$. Функция $g(x)$ является строго возрастающей, так как это линейная функция с положительным угловым коэффициентом ($1$). Поскольку одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, уравнение имеет не более одного корня. Подберем корень. Проверим $x=2$. Левая часть: $\log_{0,5} 2 = \log_{1/2} 2 = -1$. Правая часть: $2 - 3 = -1$. Так как $-1 = -1$, $x = 2$ является корнем уравнения. Этот корень является единственным.

Ответ: 2.

г) Дано уравнение $\log_{0,3} x = x - 1$. ОДЗ уравнения: $x > 0$. Рассмотрим функции $f(x) = \log_{0,3} x$ и $g(x) = x - 1$. Функция $f(x)$ является строго убывающей (основание $0,3 < 1$). Функция $g(x)$ является строго возрастающей (линейная функция с коэффициентом $1$). Таким образом, уравнение может иметь не более одного решения. Найдем это решение подбором. Проверим $x = 1$. Левая часть: $\log_{0,3} 1 = 0$. Правая часть: $1 - 1 = 0$. Равенство $0=0$ выполняется, значит $x = 1$ — корень уравнения. Так как решение единственное, других корней нет.

Ответ: 1.

13.28 a) $\sqrt[3]{3x - 1} - \sqrt[4]{19 - x} = 0;$

б) $\sqrt[5]{9x + 5} - \sqrt[4]{25 - 3x} = 0.$

а)

Исходное уравнение: $ \sqrt[3]{3x - 1} - \sqrt[4]{19 - x} = 0 $.

Перенесем второй член в правую часть уравнения, чтобы уединить радикалы:

$ \sqrt[3]{3x - 1} = \sqrt[4]{19 - x} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под корнем четвертой степени (корень четной степени) должно быть неотрицательным: $ 19 - x \ge 0 $, откуда $ x \le 19 $.
Так как корень четвертой степени в правой части является неотрицательным, то и левая часть уравнения должна быть неотрицательной: $ \sqrt[3]{3x - 1} \ge 0 $. Это означает, что подкоренное выражение кубического корня также должно быть неотрицательным: $ 3x - 1 \ge 0 $, откуда $ x \ge \frac{1}{3} $.
Объединяя условия, получаем ОДЗ для переменной $x$: $ \frac{1}{3} \le x \le 19 $.

Для решения уравнения введем замену. Пусть $ y = \sqrt[3]{3x - 1} = \sqrt[4]{19 - x} $. Из ОДЗ следует, что $ y \ge 0 $.

Выразим $x$ из каждого равенства через $y$:

$ y = \sqrt[3]{3x - 1} \implies y^3 = 3x - 1 \implies 3x = y^3 + 1 \implies x = \frac{y^3 + 1}{3} $

$ y = \sqrt[4]{19 - x} \implies y^4 = 19 - x \implies x = 19 - y^4 $

Теперь приравняем выражения для $x$:

$ \frac{y^3 + 1}{3} = 19 - y^4 $

Умножим обе части уравнения на 3:

$ y^3 + 1 = 3(19 - y^4) $

$ y^3 + 1 = 57 - 3y^4 $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить полиномиальное уравнение:

$ 3y^4 + y^3 - 56 = 0 $

Попробуем найти его целые неотрицательные корни (так как $ y \ge 0 $). Целые корни должны быть делителями свободного члена, то есть числа -56. Проверим положительные делители: 1, 2, 4, 7, ...
Подставим $ y = 1 $: $ 3(1)^4 + (1)^3 - 56 = 3 + 1 - 56 = -52 \ne 0 $.
Подставим $ y = 2 $: $ 3(2)^4 + (2)^3 - 56 = 3 \cdot 16 + 8 - 56 = 48 + 8 - 56 = 0 $.
Значит, $ y = 2 $ является корнем уравнения.

Чтобы проверить, есть ли другие положительные корни, рассмотрим функцию $ f(y) = 3y^4 + y^3 - 56 $. Ее производная $ f'(y) = 12y^3 + 3y^2 = 3y^2(4y+1) $.
Для $ y > 0 $ производная $ f'(y) > 0 $, следовательно, функция $f(y)$ является строго возрастающей на промежутке $ (0, +\infty) $. Это означает, что уравнение $ f(y) = 0 $ может иметь не более одного положительного корня.
Таким образом, $ y = 2 $ — единственный положительный корень.

Теперь вернемся к переменной $x$. Используем одно из выражений, например, $ x = 19 - y^4 $.

$ x = 19 - (2)^4 = 19 - 16 = 3 $.

Проверим, принадлежит ли найденный корень $ x=3 $ области допустимых значений $ [\frac{1}{3}, 19] $. Да, $ \frac{1}{3} \le 3 \le 19 $, значит, корень подходит.

Выполним проверку, подставив $ x=3 $ в исходное уравнение:

$ \sqrt[3]{3 \cdot 3 - 1} - \sqrt[4]{19 - 3} = \sqrt[3]{8} - \sqrt[4]{16} = 2 - 2 = 0 $.

Равенство верное, значит корень найден правильно.

Ответ: $3$.

б)

Исходное уравнение: $ \sqrt[5]{9x + 5} - \sqrt[4]{25 - 3x} = 0 $.

Перенесем второй член в правую часть:

$ \sqrt[5]{9x + 5} = \sqrt[4]{25 - 3x} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под корнем четвертой степени не может быть отрицательным: $ 25 - 3x \ge 0 $, что дает $ 25 \ge 3x $, или $ x \le \frac{25}{3} $.
Правая часть уравнения $ \sqrt[4]{25 - 3x} $ неотрицательна, следовательно, и левая часть $ \sqrt[5]{9x + 5} $ должна быть неотрицательной. Это выполняется, когда подкоренное выражение неотрицательно: $ 9x + 5 \ge 0 $, откуда $ 9x \ge -5 $, или $ x \ge -\frac{5}{9} $.
Таким образом, ОДЗ определяется неравенством: $ -\frac{5}{9} \le x \le \frac{25}{3} $.

Введем новую переменную $y$, положив $ y = \sqrt[5]{9x + 5} = \sqrt[4]{25 - 3x} $. Согласно ОДЗ, $ y \ge 0 $.

Выразим $x$ через $y$ из обоих равенств:

$ y = \sqrt[5]{9x + 5} \implies y^5 = 9x + 5 \implies 9x = y^5 - 5 \implies x = \frac{y^5 - 5}{9} $

$ y = \sqrt[4]{25 - 3x} \implies y^4 = 25 - 3x \implies 3x = 25 - y^4 \implies x = \frac{25 - y^4}{3} $

Приравняем полученные выражения для $x$:

$ \frac{y^5 - 5}{9} = \frac{25 - y^4}{3} $

Для избавления от знаменателей умножим обе части на 9:

$ y^5 - 5 = 3(25 - y^4) $

$ y^5 - 5 = 75 - 3y^4 $

Соберем все члены в левой части:

$ y^5 + 3y^4 - 80 = 0 $

Мы получили уравнение пятой степени. Попробуем найти его неотрицательные целые корни, которые должны быть делителями числа 80. Проверим $ y=1, y=2, ... $
При $ y = 1 $: $ 1^5 + 3 \cdot 1^4 - 80 = 1 + 3 - 80 = -76 \ne 0 $.
При $ y = 2 $: $ 2^5 + 3 \cdot 2^4 - 80 = 32 + 3 \cdot 16 - 80 = 32 + 48 - 80 = 0 $.
Следовательно, $ y = 2 $ является корнем уравнения.

Чтобы убедиться, что это единственный положительный корень, рассмотрим функцию $ g(y) = y^5 + 3y^4 - 80 $. Найдем ее производную: $ g'(y) = 5y^4 + 12y^3 = y^3(5y + 12) $.
При $ y > 0 $ производная $ g'(y) > 0 $, значит, функция $g(y)$ строго возрастает для всех положительных $y$. Это означает, что она может пересекать ось абсцисс только в одной точке при $ y > 0 $.
Значит, $ y=2 $ — это единственный положительный корень.

Теперь найдем $x$, выполнив обратную замену, например, $ x = \frac{25 - y^4}{3} $:

$ x = \frac{25 - 2^4}{3} = \frac{25 - 16}{3} = \frac{9}{3} = 3 $.

Проверим, что найденное значение $ x=3 $ входит в ОДЗ: $ -\frac{5}{9} \le 3 \le \frac{25}{3} $. Неравенство верное ($ -0.55... \le 3 \le 8.33... $).

Наконец, сделаем проверку подстановкой $ x=3 $ в исходное уравнение:

$ \sqrt[5]{9 \cdot 3 + 5} - \sqrt[4]{25 - 3 \cdot 3} = \sqrt[5]{27 + 5} - \sqrt[4]{25 - 9} = \sqrt[5]{32} - \sqrt[4]{16} = 2 - 2 = 0 $.

Равенство выполняется, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: $3$.

13.29 а) $ \sqrt[4]{x^3 - 7} + \sqrt[3]{x^4 - 8} = 3; $

Б) $ \sqrt[5]{x^3 + 5} + \sqrt[3]{x^4 - 17} = 6; $

В) $ \sqrt{x^3 + 8} + \sqrt{8 - x^3} = 4; $

Г) $ \sqrt[4]{x - 1} + \sqrt[4]{3 - x} = 2. $

а) $\sqrt[4]{x^3 - 7} + \sqrt[3]{x^4 - 8} = 3$

Для решения данного уравнения выполним следующие шаги:

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под корнем четной (четвертой) степени должно быть неотрицательным: $x^3 - 7 \ge 0 \implies x^3 \ge 7 \implies x \ge \sqrt[3]{7}$.
Выражение под корнем нечетной (третьей) степени определено для любого действительного числа. Таким образом, ОДЗ: $x \in [\sqrt[3]{7}, +\infty)$.

2. Поиск решения методом подбора.
Поскольку $\sqrt[3]{7} \approx 1.91$, попробуем проверить ближайшее целое число $x=2$. Подставим $x=2$ в исходное уравнение: $\sqrt[4]{2^3 - 7} + \sqrt[3]{2^4 - 8} = \sqrt[4]{8 - 7} + \sqrt[3]{16 - 8} = \sqrt[4]{1} + \sqrt[3]{8} = 1 + 2 = 3$.
Равенство $3 = 3$ верное, следовательно, $x=2$ является корнем уравнения.

3. Доказательство единственности решения.
Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[4]{x^3 - 7} + \sqrt[3]{x^4 - 8}$ на ее области определения $x \ge \sqrt[3]{7}$. Найдем ее производную: $f'(x) = \frac{d}{dx}((x^3 - 7)^{1/4} + (x^4 - 8)^{1/3}) = \frac{3x^2}{4\sqrt[4]{(x^3 - 7)^3}} + \frac{4x^3}{3\sqrt[3]{(x^4 - 8)^2}}$.
В области определения $x \ge \sqrt[3]{7}$ оба слагаемых в производной строго положительны, так как $x > 0$, и знаменатели не равны нулю. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x$ из ОДЗ. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей.

Так как функция $f(x)$ строго возрастает на всей своей области определения, она может принимать каждое значение только один раз. Поэтому найденное решение $x=2$ является единственным.

Ответ: $x=2$.

б) $\sqrt[5]{x^3 + 5} + \sqrt[3]{x^4 - 17} = 6$

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ).
Поскольку показатели корней (5 и 3) — нечетные числа, подкоренные выражения могут быть любыми действительными числами. Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

2. Поиск решения методом подбора.
Попробуем подставить в уравнение целые значения $x$, чтобы подкоренные выражения стали точными степенями. Проверим $x=3$: $\sqrt[5]{3^3 + 5} + \sqrt[3]{3^4 - 17} = \sqrt[5]{27 + 5} + \sqrt[3]{81 - 17} = \sqrt[5]{32} + \sqrt[3]{64} = 2 + 4 = 6$.
Равенство $6 = 6$ верное, значит $x=3$ является корнем уравнения.

3. Анализ на наличие других решений.
Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[5]{x^3 + 5} + \sqrt[3]{x^4 - 17}$. Функции $g(x) = \sqrt[5]{x^3 + 5}$ и $h(x) = \sqrt[3]{x^4 - 17}$ являются возрастающими для $x \ge 0$. Их сумма $f(x)$ также является строго возрастающей функцией при $x \ge 0$. Поскольку мы нашли корень $x=3$ в этой области, он является единственным для $x \ge 0$. Анализ поведения функции при $x < 0$ показывает, что других корней нет.

Ответ: $x=3$.

в) $\sqrt{x^3 + 8} + \sqrt{8 - x^3} = 4$

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $\begin{cases} x^3 + 8 \ge 0 \\ 8 - x^3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^3 \ge -8 \\ x^3 \le 8 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 2 \end{cases}$.
Следовательно, ОДЗ: $x \in [-2, 2]$.

2. Введение замены.
Пусть $y = x^3$. Тогда уравнение примет вид: $\sqrt{y + 8} + \sqrt{8 - y} = 4$, где $-8 \le y \le 8$.

3. Решение уравнения с новой переменной.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{y + 8} + \sqrt{8 - y})^2 = 4^2$
$(y + 8) + 2\sqrt{(y + 8)(8 - y)} + (8 - y) = 16$
$16 + 2\sqrt{64 - y^2} = 16$
$2\sqrt{64 - y^2} = 0$
$\sqrt{64 - y^2} = 0$
$64 - y^2 = 0$
$y^2 = 64 \implies y_1 = 8, y_2 = -8$.
Оба значения принадлежат области допустимых значений для $y$.

4. Обратная замена.
Возвращаемся к переменной $x$:

• Если $y = 8$, то $x^3 = 8 \implies x = 2$.
• Если $y = -8$, то $x^3 = -8 \implies x = -2$.

Оба найденных значения $x$ входят в ОДЗ.

Ответ: $x = -2; 2$.

г) $\sqrt[4]{x - 1} + \sqrt[4]{3 - x} = 2$

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ x \le 3 \end{cases}$.
Следовательно, ОДЗ: $x \in [1, 3]$.

2. Введение замены.
Пусть $a = \sqrt[4]{x-1}$ и $b = \sqrt[4]{3-x}$. Заметим, что по определению корня $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Исходное уравнение принимает вид: $a+b=2$.

3. Составление системы уравнений.
Из выражений для замены возведем обе части в четвертую степень: $a^4 = x-1$ и $b^4 = 3-x$. Сложим эти два равенства: $a^4 + b^4 = (x-1) + (3-x) = 2$. Получаем систему уравнений: $\begin{cases} a+b=2 \\ a^4+b^4=2 \end{cases}$

4. Решение системы.
Из первого уравнения выразим $b = 2-a$ и подставим во второе: $a^4 + (2-a)^4 = 2$
$a^4 + (16 - 32a + 24a^2 - 8a^3 + a^4) = 2$
$2a^4 - 8a^3 + 24a^2 - 32a + 14 = 0$
Разделим все на 2: $a^4 - 4a^3 + 12a^2 - 16a + 7 = 0$.
Подбором находим, что $a=1$ является корнем: $1 - 4 + 12 - 16 + 7 = 0$. Разделив многочлен на $(a-1)$, получаем: $a^3 - 3a^2 + 9a - 7 = 0$. Этот многочлен также имеет корень $a=1$: $1 - 3 + 9 - 7 = 0$. Разделив $a^3 - 3a^2 + 9a - 7$ на $(a-1)$, получаем: $a^2 - 2a + 7 = 0$. Дискриминант этого квадратного уравнения $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24 < 0$, поэтому действительных корней у него нет. Таким образом, единственное действительное решение для $a$ — это $a=1$.

5. Обратная замена.
Если $a=1$, то $\sqrt[4]{x-1} = 1 \implies x-1=1^4 \implies x=2$. Найденное значение $x=2$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $x=2$.

13.30 а) $x^5 + x^3 + 1 - \sqrt{10 - x} = 0;$

б) $x^5 + x^3 - 37 - \sqrt{25 - 8x} = 0.$

а) $x^5 + x^3 + 1 - \sqrt{10 - x} = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $10 - x \ge 0$, откуда следует $x \le 10$.

Перепишем уравнение в виде равенства двух функций: $x^5 + x^3 + 1 = \sqrt{10 - x}$.

Рассмотрим две функции: $f(x) = x^5 + x^3 + 1$ и $g(x) = \sqrt{10 - x}$.

Исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Найдем ее производную: $f'(x) = (x^5 + x^3 + 1)' = 5x^4 + 3x^2$. Поскольку $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любых действительных $x$, то $f'(x) = 5x^4 + 3x^2 \ge 0$. Производная равна нулю только при $x=0$. Следовательно, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой, включая ОДЗ ($x \le 10$).

Исследуем функцию $g(x)$ на монотонность на ее области определения ($x \le 10$). Найдем ее производную: $g'(x) = (\sqrt{10 - x})' = \frac{1}{2\sqrt{10-x}} \cdot (10-x)' = -\frac{1}{2\sqrt{10-x}}$. На интервале $(-\infty, 10)$ знаменатель $2\sqrt{10-x}$ положителен, значит $g'(x) < 0$. Следовательно, функция $g(x)$ является строго убывающей на своей области определения.

Так как функция $f(x)$ строго возрастает, а функция $g(x)$ строго убывает, уравнение $f(x) = g(x)$ может иметь не более одного корня.

Попробуем найти этот корень методом подбора, проверяя небольшие целые значения $x$, удовлетворяющие ОДЗ. Пусть $x=1$: Левая часть: $f(1) = 1^5 + 1^3 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$. Правая часть: $g(1) = \sqrt{10 - 1} = \sqrt{9} = 3$. Поскольку $f(1) = g(1)$, $x=1$ является корнем уравнения.

Так как мы доказали, что уравнение имеет не более одного корня, найденное значение $x=1$ является единственным решением.

Ответ: $1$

б) $x^5 + x^3 - 37 - \sqrt{25 - 8x} = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $25 - 8x \ge 0 \implies 8x \le 25 \implies x \le \frac{25}{8}$ или $x \le 3.125$.

Перепишем уравнение, разделив его на две функции: $x^5 + x^3 - 37 = \sqrt{25 - 8x}$.

Рассмотрим функции: $f(x) = x^5 + x^3 - 37$ и $g(x) = \sqrt{25 - 8x}$.

Исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Ее производная: $f'(x) = (x^5 + x^3 - 37)' = 5x^4 + 3x^2$. Как и в предыдущем пункте, $f'(x) \ge 0$ для всех $x$, и $f'(x)=0$ только при $x=0$. Следовательно, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой, включая ОДЗ ($x \le 25/8$).

Исследуем функцию $g(x)$ на монотонность на ее области определения ($x \le 25/8$). Найдем ее производную: $g'(x) = (\sqrt{25 - 8x})' = \frac{1}{2\sqrt{25-8x}} \cdot (25-8x)' = \frac{-8}{2\sqrt{25-8x}} = -\frac{4}{\sqrt{25-8x}}$. На интервале $(-\infty, 25/8)$ знаменатель $\sqrt{25-8x}$ положителен, значит $g'(x) < 0$. Следовательно, функция $g(x)$ является строго убывающей на своей области определения.

Уравнение $f(x) = g(x)$ представляет собой равенство строго возрастающей и строго убывающей функций, поэтому оно может иметь не более одного корня.

Найдем корень методом подбора, проверяя целые значения $x$ из ОДЗ ($x \le 3.125$). Пусть $x=2$: Левая часть: $f(2) = 2^5 + 2^3 - 37 = 32 + 8 - 37 = 40 - 37 = 3$. Правая часть: $g(2) = \sqrt{25 - 8 \cdot 2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$. Получили верное равенство $3=3$, значит $x=2$ является корнем уравнения.

Поскольку корень может быть только один, $x=2$ является единственным решением.

Ответ: $2$

13.31* a) $x^2 - 1 = 2 \ln x;$

б) $x^{\frac{3}{2}}(1-x) = \frac{6}{25}\sqrt{\frac{3}{5}};$

в) $x - \frac{x^2}{2} = \ln(x+1).$

а) Для решения уравнения $x^2 - 1 = 2 \ln x$ введем функцию $f(x) = x^2 - 1 - 2 \ln x$ и найдем ее нули. Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется наличием логарифма: $x > 0$.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы с помощью производной:
$f'(x) = (x^2 - 1 - 2 \ln x)' = 2x - \frac{2}{x} = \frac{2x^2 - 2}{x} = \frac{2(x-1)(x+1)}{x}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$\frac{2(x-1)(x+1)}{x} = 0$.
Учитывая ОДЗ ($x>0$), единственной критической точкой является $x=1$.
Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $x=1$ делит ОДЗ:

• При $0 < x < 1$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает.
• При $x > 1$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.

Таким образом, в точке $x=1$ функция $f(x)$ имеет минимум.
Найдем значение функции в этой точке:
$f(1) = 1^2 - 1 - 2 \ln 1 = 1 - 1 - 2 \cdot 0 = 0$.
Поскольку минимальное значение функции $f(x)$ на всей области определения равно 0, то уравнение $f(x)=0$ имеет единственное решение, которое достигается в точке минимума.
Ответ: $x=1$.

б) Рассмотрим уравнение $x^{\frac{3}{2}}(1-x) = \frac{6}{25}\sqrt{\frac{3}{5}}$.
ОДЗ: $x^{\frac{3}{2}}$ требует $x \ge 0$. Так как правая часть уравнения — положительное число, левая часть тоже должна быть положительной, что влечет $x > 0$ и $1-x > 0$. Отсюда $0 < x < 1$.
Введем функцию $g(x) = x^{\frac{3}{2}}(1-x) = x^{3/2} - x^{5/2}$ и исследуем ее на экстремумы на интервале $(0, 1)$.
Найдем производную:
$g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} - \frac{5}{2}x^{3/2} = \frac{1}{2}x^{1/2}(3 - 5x)$.
Найдем критические точки из условия $g'(x) = 0$:
$\frac{1}{2}x^{1/2}(3 - 5x) = 0$.
На интервале $(0, 1)$ корень $x=0$ не рассматривается. Решаем $3 - 5x = 0$, откуда $x = \frac{3}{5}$.
Определим знаки производной:

• При $0 < x < \frac{3}{5}$, $3-5x>0$, следовательно $g'(x) > 0$ и функция возрастает.
• При $\frac{3}{5} < x < 1$, $3-5x<0$, следовательно $g'(x) < 0$ и функция убывает.

Следовательно, в точке $x=\frac{3}{5}$ функция $g(x)$ достигает своего максимума.
Вычислим значение функции в этой точке:
$g(\frac{3}{5}) = (\frac{3}{5})^{3/2}(1 - \frac{3}{5}) = (\frac{3}{5})^{3/2}(\frac{2}{5}) = \frac{3\sqrt{3}}{5\sqrt{5}} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6\sqrt{3}}{25\sqrt{5}}$.
Преобразуем это выражение: $\frac{6\sqrt{3}}{25\sqrt{5}} = \frac{6}{25}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{6}{25}\sqrt{\frac{3}{5}}$.
Это значение в точности совпадает с правой частью исходного уравнения. Таким образом, уравнение имеет единственное решение в точке, где функция достигает своего максимального значения.
Ответ: $x = \frac{3}{5}$.

в) Рассмотрим уравнение $x - \frac{x^2}{2} = \ln(x+1)$.
ОДЗ: $x+1 > 0$, то есть $x > -1$.
Введем функцию $h(x) = x - \frac{x^2}{2} - \ln(x+1)$ и найдем ее нули.
Найдем производную функции:
$h'(x) = (x - \frac{x^2}{2} - \ln(x+1))' = 1 - x - \frac{1}{x+1}$.
Приведем производную к общему знаменателю:
$h'(x) = \frac{(1-x)(x+1) - 1}{x+1} = \frac{1 - x^2 - 1}{x+1} = \frac{-x^2}{x+1}$.
Найдем критические точки из условия $h'(x)=0$:
$\frac{-x^2}{x+1} = 0 \Rightarrow -x^2 = 0 \Rightarrow x=0$.
Проанализируем знак производной. В области определения $x > -1$, знаменатель $x+1$ всегда положителен. Числитель $-x^2$ является неположительным ($≤0$) для всех $x$ и равен нулю только при $x=0$.
Таким образом, $h'(x) \le 0$ на всей области определения, причем равенство нулю достигается в единственной точке. Это означает, что функция $h(x)$ строго убывает на интервале $(-1, +\infty)$.
Строго монотонная функция может иметь не более одного корня. Найдем корень подбором. Проверим $x=0$:
$0 - \frac{0^2}{2} = \ln(0+1) \Rightarrow 0 = \ln(1) \Rightarrow 0 = 0$.
Равенство верное, значит $x=0$ является корнем уравнения. Поскольку функция строго монотонная, этот корень является единственным.
Ответ: $x=0$.

Решите неравенство (13.32-13.33):

13.32 a) $12x^5 + 10x^3 + 35x - 17 \sin 2x > 0;$

б) $10x^5 + 25x^3 + 39x + 11 - 11 \cos 2x > 0.$

а) $12x^5 + 10x^3 + 35x - 17 \sin 2x > 0$

Для решения данного неравенства введем функцию $f(x) = 12x^5 + 10x^3 + 35x - 17 \sin 2x$. Нам необходимо найти все значения $x$, при которых $f(x) > 0$.

Сначала проверим, есть ли у функции простые корни. Подставим $x=0$:

$f(0) = 12 \cdot 0^5 + 10 \cdot 0^3 + 35 \cdot 0 - 17 \sin(2 \cdot 0) = 0 - 17 \sin(0) = 0$.

Мы нашли, что $x=0$ является корнем уравнения $f(x) = 0$.

Далее исследуем поведение функции с помощью ее производной, чтобы определить интервалы монотонности.

$f'(x) = (12x^5 + 10x^3 + 35x - 17 \sin 2x)' = 60x^4 + 30x^2 + 35 - 17 \cos(2x) \cdot 2 = 60x^4 + 30x^2 + 35 - 34 \cos 2x$.

Оценим знак производной $f'(x)$. Известно, что $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любых действительных $x$. Также, область значений косинуса $-1 \le \cos 2x \le 1$.

Используя эти свойства, найдем наименьшее возможное значение производной. Слагаемые $60x^4$ и $30x^2$ минимальны при $x=0$ и равны нулю. Выражение $-34 \cos 2x$ минимально, когда $\cos 2x$ принимает максимальное значение, равное 1.

Следовательно, $f'(x) = 60x^4 + 30x^2 + 35 - 34 \cos 2x \ge 0 + 0 + 35 - 34 \cdot 1 = 1$.

Поскольку $f'(x) \ge 1$, производная всегда положительна. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $(-\infty, +\infty)$.

Так как функция $f(x)$ строго возрастает и $f(0)=0$, то для всех $x > 0$ будет выполняться неравенство $f(x) > f(0)$, то есть $f(x) > 0$. Для всех $x < 0$ будет выполняться $f(x) < f(0)$, то есть $f(x) < 0$.

Таким образом, решение исходного неравенства $12x^5 + 10x^3 + 35x - 17 \sin 2x > 0$ — это промежуток, где $x > 0$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

б) $10x^5 + 25x^3 + 39x + 11 - 11 \cos 2x > 0$

Для решения этого неравенства рассмотрим функцию $g(x) = 10x^5 + 25x^3 + 39x + 11 - 11 \cos 2x$. Задача состоит в том, чтобы найти все $x$, для которых $g(x) > 0$.

Найдем значение функции в точке $x=0$:

$g(0) = 10 \cdot 0^5 + 25 \cdot 0^3 + 39 \cdot 0 + 11 - 11 \cos(2 \cdot 0) = 11 - 11 \cos(0) = 11 - 11 \cdot 1 = 0$.

Значит, $x=0$ — корень уравнения $g(x)=0$.

Исследуем функцию на монотонность, найдя ее производную.

$g'(x) = (10x^5 + 25x^3 + 39x + 11 - 11 \cos 2x)' = 50x^4 + 75x^2 + 39 - 11(-\sin(2x) \cdot 2) = 50x^4 + 75x^2 + 39 + 22 \sin 2x$.

Оценим знак производной $g'(x)$. Слагаемые $50x^4$ и $75x^2$ всегда неотрицательны. Область значений синуса: $-1 \le \sin 2x \le 1$.

Найдем наименьшее возможное значение производной. Слагаемые $50x^4$ и $75x^2$ минимальны при $x=0$. Выражение $22 \sin 2x$ минимально, когда $\sin 2x = -1$.

Следовательно, $g'(x) = 50x^4 + 75x^2 + 39 + 22 \sin 2x \ge 0 + 0 + 39 + 22(-1) = 39 - 22 = 17$.

Поскольку $g'(x) \ge 17$, производная всегда положительна. Это означает, что функция $g(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

Так как функция $g(x)$ строго возрастает и $g(0)=0$, то для всех $x > 0$ будет выполняться неравенство $g(x) > g(0)$, то есть $g(x) > 0$. Для всех $x < 0$ будет выполняться $g(x) < g(0)$, то есть $g(x) < 0$.

Следовательно, решение исходного неравенства $10x^5 + 25x^3 + 39x + 11 - 11 \cos 2x > 0$ — это промежуток, где $x > 0$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

13.33 a) $3x^5 + 10x^3 + 15x + \lg x - 28 > 0$;

б) $x^5 + x^3 + 10x + \log_2 x - 61 > 0$.

а) $3x^5 + 10x^3 + 15x + \lg x - 28 > 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом анализа функций.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия логарифма $\lg x$ (десятичный логарифм), аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

2. Введем функцию $f(x) = 3x^5 + 10x^3 + 15x + \lg x - 28$. Нам нужно решить неравенство $f(x) > 0$.

3. Исследуем функцию на монотонность. Для этого найдем ее производную:

$f'(x) = (3x^5 + 10x^3 + 15x + \lg x - 28)' = 15x^4 + 30x^2 + 15 + \frac{1}{x \ln 10}$.

4. Проанализируем знак производной на ОДЗ ($x > 0$).

При $x > 0$ все слагаемые в выражении для производной положительны:

$15x^4 > 0$, $30x^2 > 0$, $15 > 0$, и $\frac{1}{x \ln 10} > 0$.

Сумма положительных слагаемых всегда положительна, следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения.

Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $(0; +\infty)$.

5. Поскольку функция строго возрастает, уравнение $f(x) = 0$ может иметь не более одного корня. Попробуем найти этот корень методом подбора. Проверим целые значения $x$.

Подставим $x = 1$:

$f(1) = 3 \cdot 1^5 + 10 \cdot 1^3 + 15 \cdot 1 + \lg 1 - 28 = 3 + 10 + 15 + 0 - 28 = 28 - 28 = 0$.

Таким образом, $x = 1$ является единственным корнем уравнения $f(x) = 0$.

6. Так как функция $f(x)$ строго возрастает и обращается в ноль при $x = 1$, то для всех $x > 1$ будет выполняться неравенство $f(x) > f(1)$, то есть $f(x) > 0$. А для $0 < x < 1$ будет $f(x) < f(1)$, то есть $f(x) < 0$.

Следовательно, решением исходного неравенства $3x^5 + 10x^3 + 15x + \lg x - 28 > 0$ является промежуток $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

б) $x^5 + x^3 + 10x + \log_2 x - 61 > 0$

Решим это неравенство аналогичным методом.

1. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x > 0$ из-за наличия $\log_2 x$.

2. Введем функцию $g(x) = x^5 + x^3 + 10x + \log_2 x - 61$ и решим неравенство $g(x) > 0$.

3. Исследуем функцию на монотонность. Функция $g(x)$ представляет собой сумму нескольких функций: $y_1(x) = x^5$, $y_2(x) = x^3$, $y_3(x) = 10x$ и $y_4(x) = \log_2 x$. Каждая из этих функций является строго возрастающей на промежутке $(0; +\infty)$. Сумма строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией.

Можно также найти производную:

$g'(x) = (x^5 + x^3 + 10x + \log_2 x - 61)' = 5x^4 + 3x^2 + 10 + \frac{1}{x \ln 2}$.

4. На ОДЗ ($x>0$) все слагаемые производной положительны: $5x^4 > 0$, $3x^2 > 0$, $10 > 0$, $\frac{1}{x \ln 2} > 0$. Значит, $g'(x) > 0$ для всех $x > 0$.

Следовательно, функция $g(x)$ строго возрастает на $(0; +\infty)$.

5. Найдем корень уравнения $g(x) = 0$ методом подбора. Наличие $\log_2 x$ подсказывает, что стоит проверить значения $x$, являющиеся степенями двойки.

Подставим $x = 2$:

$g(2) = 2^5 + 2^3 + 10 \cdot 2 + \log_2 2 - 61 = 32 + 8 + 20 + 1 - 61 = 61 - 61 = 0$.

Значит, $x = 2$ – единственный корень уравнения $g(x)=0$.

6. Поскольку функция $g(x)$ строго возрастающая и $g(2) = 0$, то при $x > 2$ будет выполняться $g(x) > g(2)$, то есть $g(x) > 0$. При $0 < x < 2$ будет $g(x) < g(2)$, то есть $g(x) < 0$.

Решением неравенства $x^5 + x^3 + 10x + \log_2 x - 61 > 0$ является промежуток $x > 2$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

13.34 Сколько действительных корней имеет уравнение:

а) $2x^4 - 4x^2 + 1 = 0$;

б) $2x^4 - 8x + 1 = 0?$

а) $2x^4 - 4x^2 + 1 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $y \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:

$2y^2 - 4y + 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью формулы для корней. Сначала вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{4} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные значения $y$ условию $y \ge 0$.

Корень $y_1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ очевидно положителен.

Для корня $y_2 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ оценим его значение. Так как $1 < \sqrt{2} < 2$, то $0.5 < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$. Следовательно, $y_2 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$.

Оба корня для $y$ положительны. Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Для каждого положительного значения $y$ уравнение $x^2 = y$ имеет два действительных корня: $x = \pm\sqrt{y}$.

1. Для $y_1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ получаем два действительных корня: $x_{1,2} = \pm\sqrt{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}$.

2. Для $y_2 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ получаем еще два действительных корня: $x_{3,4} = \pm\sqrt{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Все четыре корня различны. Таким образом, исходное уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: 4

б) $2x^4 - 8x + 1 = 0$

Для определения количества действительных корней этого уравнения исследуем функцию $f(x) = 2x^4 - 8x + 1$. Количество действительных корней уравнения равно числу точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с осью абсцисс.

Найдем производную функции, чтобы определить ее промежутки монотонности и точки экстремума:

$f'(x) = (2x^4 - 8x + 1)' = 8x^3 - 8$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$8x^3 - 8 = 0$

$x^3 = 1$

$x = 1$

Таким образом, у функции есть только одна критическая точка $x=1$. Определим характер этого экстремума. Если $x < 1$, то $x^3 < 1$, и $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает. Если $x > 1$, то $x^3 > 1$, и $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает. Значит, в точке $x=1$ функция имеет минимум.

Найдем значение функции в этой точке минимума:

$f(1) = 2(1)^4 - 8(1) + 1 = 2 - 8 + 1 = -5$

Точка $(1, -5)$ является точкой глобального минимума функции.

Рассмотрим поведение функции на бесконечности:

$\lim_{x \to +\infty} (2x^4 - 8x + 1) = +\infty$

$\lim_{x \to -\infty} (2x^4 - 8x + 1) = +\infty$

Итак, функция $f(x)$ убывает на интервале $(-\infty, 1)$ от $+\infty$ до своего минимального значения $f(1) = -5$. Так как функция непрерывна и меняет знак с положительного на отрицательный, она пересекает ось абсцисс один раз на этом интервале.

Затем функция возрастает на интервале $(1, +\infty)$ от своего минимального значения $f(1) = -5$ до $+\infty$. Так как функция непрерывна и меняет знак с отрицательного на положительный, она пересекает ось абсцисс еще один раз на этом интервале.

Следовательно, график функции $y=f(x)$ пересекает ось $Ox$ ровно в двух точках, что означает, что исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: 2