Номер 13.31, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств - номер 13.31, страница 328.

Условие.

13.31* a) $x^2 - 1 = 2 \ln x;$

б) $x^{\frac{3}{2}}(1-x) = \frac{6}{25}\sqrt{\frac{3}{5}};$

в) $x - \frac{x^2}{2} = \ln(x+1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для решения уравнения $x^2 - 1 = 2 \ln x$ введем функцию $f(x) = x^2 - 1 - 2 \ln x$ и найдем ее нули. Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется наличием логарифма: $x > 0$.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы с помощью производной:
$f'(x) = (x^2 - 1 - 2 \ln x)' = 2x - \frac{2}{x} = \frac{2x^2 - 2}{x} = \frac{2(x-1)(x+1)}{x}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$\frac{2(x-1)(x+1)}{x} = 0$.
Учитывая ОДЗ ($x>0$), единственной критической точкой является $x=1$.
Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $x=1$ делит ОДЗ:

• При $0 < x < 1$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает.
• При $x > 1$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.

Таким образом, в точке $x=1$ функция $f(x)$ имеет минимум.
Найдем значение функции в этой точке:
$f(1) = 1^2 - 1 - 2 \ln 1 = 1 - 1 - 2 \cdot 0 = 0$.
Поскольку минимальное значение функции $f(x)$ на всей области определения равно 0, то уравнение $f(x)=0$ имеет единственное решение, которое достигается в точке минимума.
Ответ: $x=1$.

б) Рассмотрим уравнение $x^{\frac{3}{2}}(1-x) = \frac{6}{25}\sqrt{\frac{3}{5}}$.
ОДЗ: $x^{\frac{3}{2}}$ требует $x \ge 0$. Так как правая часть уравнения — положительное число, левая часть тоже должна быть положительной, что влечет $x > 0$ и $1-x > 0$. Отсюда $0 < x < 1$.
Введем функцию $g(x) = x^{\frac{3}{2}}(1-x) = x^{3/2} - x^{5/2}$ и исследуем ее на экстремумы на интервале $(0, 1)$.
Найдем производную:
$g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} - \frac{5}{2}x^{3/2} = \frac{1}{2}x^{1/2}(3 - 5x)$.
Найдем критические точки из условия $g'(x) = 0$:
$\frac{1}{2}x^{1/2}(3 - 5x) = 0$.
На интервале $(0, 1)$ корень $x=0$ не рассматривается. Решаем $3 - 5x = 0$, откуда $x = \frac{3}{5}$.
Определим знаки производной:

• При $0 < x < \frac{3}{5}$, $3-5x>0$, следовательно $g'(x) > 0$ и функция возрастает.
• При $\frac{3}{5} < x < 1$, $3-5x<0$, следовательно $g'(x) < 0$ и функция убывает.

Следовательно, в точке $x=\frac{3}{5}$ функция $g(x)$ достигает своего максимума.
Вычислим значение функции в этой точке:
$g(\frac{3}{5}) = (\frac{3}{5})^{3/2}(1 - \frac{3}{5}) = (\frac{3}{5})^{3/2}(\frac{2}{5}) = \frac{3\sqrt{3}}{5\sqrt{5}} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6\sqrt{3}}{25\sqrt{5}}$.
Преобразуем это выражение: $\frac{6\sqrt{3}}{25\sqrt{5}} = \frac{6}{25}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{6}{25}\sqrt{\frac{3}{5}}$.
Это значение в точности совпадает с правой частью исходного уравнения. Таким образом, уравнение имеет единственное решение в точке, где функция достигает своего максимального значения.
Ответ: $x = \frac{3}{5}$.

в) Рассмотрим уравнение $x - \frac{x^2}{2} = \ln(x+1)$.
ОДЗ: $x+1 > 0$, то есть $x > -1$.
Введем функцию $h(x) = x - \frac{x^2}{2} - \ln(x+1)$ и найдем ее нули.
Найдем производную функции:
$h'(x) = (x - \frac{x^2}{2} - \ln(x+1))' = 1 - x - \frac{1}{x+1}$.
Приведем производную к общему знаменателю:
$h'(x) = \frac{(1-x)(x+1) - 1}{x+1} = \frac{1 - x^2 - 1}{x+1} = \frac{-x^2}{x+1}$.
Найдем критические точки из условия $h'(x)=0$:
$\frac{-x^2}{x+1} = 0 \Rightarrow -x^2 = 0 \Rightarrow x=0$.
Проанализируем знак производной. В области определения $x > -1$, знаменатель $x+1$ всегда положителен. Числитель $-x^2$ является неположительным ($≤0$) для всех $x$ и равен нулю только при $x=0$.
Таким образом, $h'(x) \le 0$ на всей области определения, причем равенство нулю достигается в единственной точке. Это означает, что функция $h(x)$ строго убывает на интервале $(-1, +\infty)$.
Строго монотонная функция может иметь не более одного корня. Найдем корень подбором. Проверим $x=0$:
$0 - \frac{0^2}{2} = \ln(0+1) \Rightarrow 0 = \ln(1) \Rightarrow 0 = 0$.
Равенство верное, значит $x=0$ является корнем уравнения. Поскольку функция строго монотонная, этот корень является единственным.
Ответ: $x=0$.