Номер 13.35, страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств - номер 13.35, страница 330.

Условие.

Решите уравнение (13.35–13.36):

13.35 а) $ \sin x \cos 8x = 1; $

б) $ \sin 6x \cos 4x = -1; $

в) $ \sin 3x \cos 12x = 1; $

г) $ \sin 4x \cos 16x = -1. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $ \sin x \cos 8x = 1 $

Произведение синуса и косинуса может быть равно 1 только в двух случаях, учитывая, что область значений обеих функций $[-1, 1]$:

1. $ \sin x = 1 $ и $ \cos 8x = 1 $
2. $ \sin x = -1 $ и $ \cos 8x = -1 $

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: Система уравнений $ \begin{cases} \sin x = 1 \\ \cos 8x = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения получаем решение: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Подставим это решение во второе уравнение, чтобы проверить, выполняется ли оно:
$ \cos(8(\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \cos(4\pi + 16\pi k) = \cos(4\pi) = 1 $.
Равенство $1 = 1$ является верным, следовательно, $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $ является решением исходного уравнения.

Случай 2: Система уравнений $ \begin{cases} \sin x = -1 \\ \cos 8x = -1 \end{cases} $

Из первого уравнения получаем решение: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.
Подставим это решение во второе уравнение:
$ \cos(8(-\frac{\pi}{2} + 2\pi m)) = \cos(-4\pi + 16\pi m) = \cos(-4\pi) = 1 $.
Мы получаем равенство $ 1 = -1 $, которое является ложным. Значит, в этом случае решений нет.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем окончательное решение.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

---

б) $ \sin 6x \cos 4x = -1 $

Произведение синуса и косинуса может быть равно -1 в двух случаях:

1. $ \sin 6x = 1 $ и $ \cos 4x = -1 $
2. $ \sin 6x = -1 $ и $ \cos 4x = 1 $

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: Система уравнений $ \begin{cases} \sin 6x = 1 \\ \cos 4x = -1 \end{cases} $

Найдём решения для каждого уравнения:
$ \sin 6x = 1 \implies 6x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ \cos 4x = -1 \implies 4x = \pi + 2\pi m \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2} $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Теперь найдём общие решения, приравняв выражения для $ x $:
$ \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2} $
Разделим обе части на $ \pi $ и умножим на 12:
$ 1 + 4k = 3 + 6m $
$ 4k - 6m = 2 $
$ 2k - 3m = 1 $
Это линейное диофантово уравнение. Из $ 2k = 3m+1 $ следует, что $ 3m+1 $ должно быть четным, а значит $ m $ должно быть нечетным. Пусть $ m = 2n + 1 $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Подставим это значение $ m $ в формулу для $ x $:
$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi (2n+1)}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi n $.
Эта серия решений является решением для первого случая.

Случай 2: Система уравнений $ \begin{cases} \sin 6x = -1 \\ \cos 4x = 1 \end{cases} $

Найдём решения для каждого уравнения:
$ \sin 6x = -1 \implies 6x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ \cos 4x = 1 \implies 4x = 2\pi m \implies x = \frac{\pi m}{2} $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Приравняем выражения для $ x $:
$ -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} = \frac{\pi m}{2} $
Разделим на $ \pi $ и умножим на 12:
$ -1 + 4k = 6m \implies 4k - 6m = 1 $.
Левая часть уравнения $ 2(2k - 3m) $ всегда четна, а правая часть (1) нечетна. Следовательно, это уравнение не имеет решений в целых числах, и в этом случае решений нет.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

в) $ \sin 3x \cos 12x = 1 $

Аналогично пункту а), рассмотрим два случая.

Случай 1: $ \sin 3x = 1 $ и $ \cos 12x = 1 $. $ \begin{cases} \sin 3x = 1 \\ \cos 12x = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения: $ 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Подставим во второе уравнение:
$ \cos(12(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3})) = \cos(2\pi + 8\pi k) = \cos(2\pi) = 1 $.
Равенство $ 1 = 1 $ верное. Значит, $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} $ является решением.

Случай 2: $ \sin 3x = -1 $ и $ \cos 12x = -1 $. $ \begin{cases} \sin 3x = -1 \\ \cos 12x = -1 \end{cases} $

Из первого уравнения: $ 3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m \implies x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi m}{3} $, где $ m \in \mathbb{Z} $.
Подставим во второе уравнение:
$ \cos(12(-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi m}{3})) = \cos(-2\pi + 8\pi m) = \cos(-2\pi) = 1 $.
Получаем ложное равенство $ 1 = -1 $. Решений в этом случае нет.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

---

г) $ \sin 4x \cos 16x = -1 $

Аналогично пункту б), рассмотрим два случая.

Случай 1: $ \sin 4x = 1 $ и $ \cos 16x = -1 $. $ \begin{cases} \sin 4x = 1 \\ \cos 16x = -1 \end{cases} $

Из первого уравнения: $ 4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Подставим во второе уравнение:
$ \cos(16(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2})) = \cos(2\pi + 8\pi k) = 1 $.
Получаем ложное равенство $ 1 = -1 $. Решений в этом случае нет.

Случай 2: $ \sin 4x = -1 $ и $ \cos 16x = 1 $. $ \begin{cases} \sin 4x = -1 \\ \cos 16x = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения: $ 4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{2} $, где $ m \in \mathbb{Z} $.
Подставим во второе уравнение:
$ \cos(16(-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{2})) = \cos(-2\pi + 8\pi m) = 1 $.
Равенство $ 1 = 1 $ верное. Значит, $ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{2} $ является решением.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.