Номер 14.3, страница 335 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.3, страница 335.

Условие.

14.3 Среди трёх пар чисел (1; 1), (1; 5) и (5; 1) найдите решения системы:

a) $$ \begin{cases} \sqrt{2-x} + \sqrt{2-y} = x+y \\ \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + x-y = 0; \end{cases} $$

б) $$ \begin{cases} \sqrt{x^2+y^2-1} = 5 \\ xy+x+y = 11. \end{cases} $$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Проверим, какие из предложенных пар чисел $(1; 1), (1; 5), (5; 1)$ являются решением системы:

$ \begin{cases} \sqrt{2-x} + \sqrt{2-y} = x+y \\ \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + x - y = 0 \end{cases} $

Для решения необходимо, чтобы значения переменных удовлетворяли области допустимых значений (ОДЗ), которая определяется неотрицательностью подкоренных выражений:

$2-x \ge 0 \implies x \le 2$

$2-y \ge 0 \implies y \le 2$

$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$

$y-1 \ge 0 \implies y \ge 1$

Объединив эти условия, получаем ОДЗ: $1 \le x \le 2$ и $1 \le y \le 2$.

Теперь проверим каждую из предложенных пар:

• Пара $(1; 5)$: Значение $y=5$ не удовлетворяет условию $y \le 2$, следовательно, эта пара не может быть решением.

• Пара $(5; 1)$: Значение $x=5$ не удовлетворяет условию $x \le 2$, следовательно, эта пара не может быть решением.

• Пара $(1; 1)$: Значения $x=1$ и $y=1$ удовлетворяют ОДЗ. Проверим, выполняются ли уравнения системы:

Первое уравнение: $\sqrt{2-1} + \sqrt{2-1} = 1+1 \implies \sqrt{1} + \sqrt{1} = 2 \implies 1+1=2 \implies 2=2$. Верно.

Второе уравнение: $\sqrt{1-1} + \sqrt{1-1} + 1 - 1 = 0 \implies \sqrt{0} + \sqrt{0} + 0 = 0 \implies 0=0$. Верно.

Так как оба уравнения выполняются, пара $(1; 1)$ является решением системы.

Ответ: $(1; 1)$.

б) Проверим, какие из предложенных пар чисел $(1; 1), (1; 5), (5; 1)$ являются решением системы:

$ \begin{cases} \sqrt{x^2+y^2-1} = 5 \\ xy+x+y = 11 \end{cases} $

Для этого подставим значения каждой пары в уравнения системы.

• Пара $(1; 1)$: $x=1, y=1$.
Проверка первого уравнения: $\sqrt{1^2+1^2-1} = \sqrt{1+1-1} = \sqrt{1} = 1$.
Результат должен быть равен 5, а мы получили 1. Поскольку $1 \neq 5$, первое уравнение не выполняется, и пара не является решением.

• Пара $(1; 5)$: $x=1, y=5$.
Проверка первого уравнения: $\sqrt{1^2+5^2-1} = \sqrt{1+25-1} = \sqrt{25} = 5$. Верно.
Проверка второго уравнения: $1 \cdot 5 + 1 + 5 = 5+1+5 = 11$. Верно.
Оба уравнения выполняются, следовательно, пара $(1; 5)$ является решением.

• Пара $(5; 1)$: $x=5, y=1$.
Проверка первого уравнения: $\sqrt{5^2+1^2-1} = \sqrt{25+1-1} = \sqrt{25} = 5$. Верно.
Проверка второго уравнения: $5 \cdot 1 + 5 + 1 = 5+5+1 = 11$. Верно.
Оба уравнения выполняются, следовательно, пара $(5; 1)$ является решением.

Ответ: $(1; 5)$ и $(5; 1)$.