Номер 14.8, страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.8, страница 336.

Условие.

14.8 Решите систему уравнений, используя сложение уравнений:

a) $\begin{cases} \sin^2 x + \sqrt{y - 2} = 2 \\ \cos^2 x + \sqrt{y - 2} = 3; \end{cases}$

б)

$\begin{cases} \log_3 (x - 2) + \sqrt{y + 1} = 2 \\ \log_3 (x - 2) - \sqrt{y + 1} = -2; \end{cases}$

в)

$\begin{cases} \sin x \cos x + \cos y = 1 \\ \sin x \cos x - \cos y = 0; \end{cases}$

г)

$\begin{cases} \sin x \cos x - \sqrt{y} = 1 \\ \sin y \cos x + \sqrt{y} = 0; \end{cases}$

д)

$\begin{cases} \sin^2 (2 \cos x) + y^2 = 5 \\ \cos^2 (2 \cos x) + 2y = 4. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sin^2 x + \sqrt{y - 2} = 2 \\ \cos^2 x + \sqrt{y - 2} = 3 \end{cases} $
Сложим первое и второе уравнения системы:
$(\sin^2 x + \sqrt{y - 2}) + (\cos^2 x + \sqrt{y - 2}) = 2 + 3$
$\sin^2 x + \cos^2 x + 2\sqrt{y - 2} = 5$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$1 + 2\sqrt{y - 2} = 5$
$2\sqrt{y - 2} = 4$
$\sqrt{y - 2} = 2$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$y - 2 = 4$
$y = 6$
Проверим область допустимых значений: $y - 2 \ge 0 \implies y \ge 2$. Значение $y=6$ удовлетворяет этому условию.
Теперь вычтем первое уравнение из второго:
$(\cos^2 x + \sqrt{y - 2}) - (\sin^2 x + \sqrt{y - 2}) = 3 - 2$
$\cos^2 x - \sin^2 x = 1$
Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$:
$\cos(2x) = 1$
Отсюда $2x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\pi n, 6)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \log_3(x - 2) + \sqrt{y + 1} = 2 \\ \log_3(x - 2) - \sqrt{y + 1} = -2 \end{cases} $
Сложим уравнения системы:
$(\log_3(x - 2) + \sqrt{y + 1}) + (\log_3(x - 2) - \sqrt{y + 1}) = 2 + (-2)$
$2\log_3(x - 2) = 0$
$\log_3(x - 2) = 0$
По определению логарифма:
$x - 2 = 3^0$
$x - 2 = 1$
$x = 3$
Проверим ОДЗ логарифма: $x - 2 > 0 \implies x > 2$. Значение $x=3$ удовлетворяет условию.
Теперь вычтем второе уравнение из первого:
$(\log_3(x - 2) + \sqrt{y + 1}) - (\log_3(x - 2) - \sqrt{y + 1}) = 2 - (-2)$
$2\sqrt{y + 1} = 4$
$\sqrt{y + 1} = 2$
Возведем обе части в квадрат:
$y + 1 = 4$
$y = 3$
Проверим ОДЗ корня: $y + 1 \ge 0 \implies y \ge -1$. Значение $y=3$ удовлетворяет условию.

Ответ: $(3, 3)$.

в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sin x \cos x + \cos y = 1 \\ \sin x \cos x - \cos y = 0 \end{cases} $
Сложим уравнения системы:
$(\sin x \cos x + \cos y) + (\sin x \cos x - \cos y) = 1 + 0$
$2\sin x \cos x = 1$
Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:
$\sin(2x) = 1$
$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Вычтем второе уравнение из первого:
$(\sin x \cos x + \cos y) - (\sin x \cos x - \cos y) = 1 - 0$
$2\cos y = 1$
$\cos y = \frac{1}{2}$
$y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\frac{\pi}{4} + \pi n, \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k)$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

г)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sin x \cos x - \sqrt{y} = 1 \\ \sin y \cos x + \sqrt{y} = 0 \end{cases} $
Сложим оба уравнения:
$(\sin x \cos x - \sqrt{y}) + (\sin y \cos x + \sqrt{y}) = 1 + 0$
$\sin x \cos x + \sin y \cos x = 1$
$\cos x (\sin x + \sin y) = 1$
Из второго уравнения системы выразим $\sqrt{y}$:
$\sqrt{y} = -\sin y \cos x$
Поскольку $\sqrt{y} \ge 0$, должно выполняться условие $-\sin y \cos x \ge 0$, то есть $\sin y \cos x \le 0$.
Это означает, что $\cos x$ и $\sin y$ имеют разные знаки или один из них равен нулю.
Из уравнения $\cos x (\sin x + \sin y) = 1$ следует, что $\cos x \ne 0$.
Рассмотрим два случая:
1. $\cos x > 0$. Тогда из условия $\sin y \cos x \le 0$ следует, что $\sin y \le 0$.
Из уравнения $\cos x (\sin x + \sin y) = 1$ следует, что $\sin x + \sin y = \frac{1}{\cos x} > 0$.
Так как $\sin y \le 0$, то для выполнения $\sin x + \sin y > 0$ необходимо, чтобы $\sin x > 0$.
Из $\sin x + \sin y = \frac{1}{\cos x}$ и $\sin y \le 0$ следует, что $\sin x \ge \frac{1}{\cos x}$.
Умножим обе части на $\cos x > 0$: $\sin x \cos x \ge 1$.
$\frac{1}{2} \sin(2x) \ge 1 \implies \sin(2x) \ge 2$. Это неравенство не имеет решений, так как $|\sin(2x)| \le 1$.
2. $\cos x < 0$. Тогда из условия $\sin y \cos x \le 0$ следует, что $\sin y \ge 0$.
Из уравнения $\cos x (\sin x + \sin y) = 1$ следует, что $\sin x + \sin y = \frac{1}{\cos x} < 0$.
Так как $\sin y \ge 0$, то для выполнения $\sin x + \sin y < 0$ необходимо, чтобы $\sin x < 0$.
Из $\sin x + \sin y = \frac{1}{\cos x}$ и $\sin y \ge 0$ следует, что $\sin x \le \frac{1}{\cos x}$.
Умножим обе части на $\cos x < 0$ (знак неравенства меняется на противоположный): $\sin x \cos x \ge 1$.
$\frac{1}{2} \sin(2x) \ge 1 \implies \sin(2x) \ge 2$. Это неравенство также не имеет решений.
Оба случая приводят к противоречию, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

д)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sin^2(2\cos x) + y^2 = 5 \\ \cos^2(2\cos x) + 2y = 4 \end{cases} $
Сложим уравнения системы:
$(\sin^2(2\cos x) + y^2) + (\cos^2(2\cos x) + 2y) = 5 + 4$
$\sin^2(2\cos x) + \cos^2(2\cos x) + y^2 + 2y = 9$
Применяя тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ для $\alpha = 2\cos x$:
$1 + y^2 + 2y = 9$
$y^2 + 2y - 8 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $y$:
$y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$
Получаем два возможных значения для $y$:
$y_1 = \frac{-2 + 6}{2} = 2$
$y_2 = \frac{-2 - 6}{2} = -4$
Подставим каждое значение $y$ в одно из исходных уравнений, например, во второе: $\cos^2(2\cos x) + 2y = 4$.
Случай 1: $y = 2$.
$\cos^2(2\cos x) + 2(2) = 4$
$\cos^2(2\cos x) + 4 = 4$
$\cos^2(2\cos x) = 0 \implies \cos(2\cos x) = 0$
$2\cos x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\cos x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$
Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $-1 \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \le 1$.
Умножим на $\frac{4}{\pi}$: $-\frac{4}{\pi} \le 1 + 2n \le \frac{4}{\pi}$.
Приблизительно $-1.27 \le 1 + 2n \le 1.27$.
$-2.27 \le 2n \le 0.27$
$-1.135 \le n \le 0.135$
Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n=0$ и $n=-1$.
При $n=0$: $\cos x = \frac{\pi}{4}$. Это возможно, так как $|\frac{\pi}{4}| < 1$. Отсюда $x = \pm\arccos(\frac{\pi}{4}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
При $n=-1$: $\cos x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$. Это возможно, так как $|-\frac{\pi}{4}| < 1$. Отсюда $x = \pm\arccos(-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Случай 2: $y = -4$.
$\cos^2(2\cos x) + 2(-4) = 4$
$\cos^2(2\cos x) - 8 = 4$
$\cos^2(2\cos x) = 12$. Это уравнение не имеет решений, так как $\cos^2\alpha \le 1$.
Таким образом, единственное возможное значение для $y$ - это $y=2$.

Ответ: $(x, 2)$, где $x = \pm\arccos(\frac{\pi}{4}) + 2\pi k$ или $x = \pm\arccos(-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.