Номер 14.14, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.14, страница 337.

Условие.

14.14 а) $\begin{cases} 2x^2 + y^2 - 4x + 2y = 1 \\ 3x^2 - 2y^2 - 6x - 4y = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + 2x - 5y = -5 \\ x^2 + y^2 + 2x - 10y = -9. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 + y^2 - 4x + 2y = 1 \\ 3x^2 - 2y^2 - 6x - 4y = 5 \end{cases} $

Преобразуем оба уравнения, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

Первое уравнение:

$2x^2 - 4x + y^2 + 2y = 1$

$2(x^2 - 2x) + (y^2 + 2y) = 1$

$2(x^2 - 2x + 1 - 1) + (y^2 + 2y + 1 - 1) = 1$

$2((x-1)^2 - 1) + ((y+1)^2 - 1) = 1$

$2(x-1)^2 - 2 + (y+1)^2 - 1 = 1$

$2(x-1)^2 + (y+1)^2 = 4$

Второе уравнение:

$3x^2 - 6x - 2y^2 - 4y = 5$

$3(x^2 - 2x) - 2(y^2 + 2y) = 5$

$3(x^2 - 2x + 1 - 1) - 2(y^2 + 2y + 1 - 1) = 5$

$3((x-1)^2 - 1) - 2((y+1)^2 - 1) = 5$

$3(x-1)^2 - 3 - 2(y+1)^2 + 2 = 5$

$3(x-1)^2 - 2(y+1)^2 = 6$

Система приняла вид:

$ \begin{cases} 2(x-1)^2 + (y+1)^2 = 4 \\ 3(x-1)^2 - 2(y+1)^2 = 6 \end{cases} $

Сделаем замену переменных. Пусть $u = (x-1)^2$ и $v = (y+1)^2$. Так как $u$ и $v$ являются квадратами, то $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Получим линейную систему относительно $u$ и $v$:

$ \begin{cases} 2u + v = 4 \\ 3u - 2v = 6 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 4 - 2u$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3u - 2(4 - 2u) = 6$

$3u - 8 + 4u = 6$

$7u = 14$

$u = 2$

Теперь найдем $v$:

$v = 4 - 2(2) = 0$

Значения $u=2$ и $v=0$ удовлетворяют условиям $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Вернемся к исходным переменным:

$(x-1)^2 = u = 2 \implies x-1 = \pm\sqrt{2} \implies x = 1 \pm\sqrt{2}$

$(y+1)^2 = v = 0 \implies y+1 = 0 \implies y = -1$

Таким образом, мы получили две пары решений.

Ответ: $(1 + \sqrt{2}; -1)$, $(1 - \sqrt{2}; -1)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 2x - 5y = -5 \\ x^2 + y^2 + 2x - 10y = -9 \end{cases} $

Заметим, что выражение $x^2 + 2x$ присутствует в обоих уравнениях. Вычтем из второго уравнения первое:

$(x^2 + y^2 + 2x - 10y) - (x^2 + 2x - 5y) = -9 - (-5)$

$x^2 + y^2 + 2x - 10y - x^2 - 2x + 5y = -4$

$y^2 - 5y = -4$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 5y + 4 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корни уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$.

Теперь для каждого значения $y$ найдем соответствующие значения $x$. Используем для этого первое уравнение системы, преобразовав его к виду $x^2 + 2x = 5y - 5$.

Случай 1: $y = 1$

$x^2 + 2x = 5(1) - 5$

$x^2 + 2x = 0$

$x(x+2) = 0$

Отсюда получаем два значения $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Таким образом, получаем две пары решений: $(0; 1)$ и $(-2; 1)$.

Случай 2: $y = 4$

$x^2 + 2x = 5(4) - 5$

$x^2 + 2x = 15$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -15. Следовательно, корни уравнения: $x_3 = 3$ и $x_4 = -5$.

Таким образом, получаем еще две пары решений: $(3; 4)$ и $(-5; 4)$.

Ответ: $(0; 1)$, $(-2; 1)$, $(3; 4)$, $(-5; 4)$.