Номер 14.14, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.14, страница 337.
№14.14 (с. 337)
Условие. №14.14 (с. 337)
скриншот условия

14.14 а) $\begin{cases} 2x^2 + y^2 - 4x + 2y = 1 \\ 3x^2 - 2y^2 - 6x - 4y = 5; \end{cases}$
б) $\begin{cases} x^2 + 2x - 5y = -5 \\ x^2 + y^2 + 2x - 10y = -9. \end{cases}$
Решение 1. №14.14 (с. 337)


Решение 2. №14.14 (с. 337)

Решение 4. №14.14 (с. 337)
a)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x^2 + y^2 - 4x + 2y = 1 \\ 3x^2 - 2y^2 - 6x - 4y = 5 \end{cases} $
Преобразуем оба уравнения, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.
Первое уравнение:
$2x^2 - 4x + y^2 + 2y = 1$
$2(x^2 - 2x) + (y^2 + 2y) = 1$
$2(x^2 - 2x + 1 - 1) + (y^2 + 2y + 1 - 1) = 1$
$2((x-1)^2 - 1) + ((y+1)^2 - 1) = 1$
$2(x-1)^2 - 2 + (y+1)^2 - 1 = 1$
$2(x-1)^2 + (y+1)^2 = 4$
Второе уравнение:
$3x^2 - 6x - 2y^2 - 4y = 5$
$3(x^2 - 2x) - 2(y^2 + 2y) = 5$
$3(x^2 - 2x + 1 - 1) - 2(y^2 + 2y + 1 - 1) = 5$
$3((x-1)^2 - 1) - 2((y+1)^2 - 1) = 5$
$3(x-1)^2 - 3 - 2(y+1)^2 + 2 = 5$
$3(x-1)^2 - 2(y+1)^2 = 6$
Система приняла вид:
$ \begin{cases} 2(x-1)^2 + (y+1)^2 = 4 \\ 3(x-1)^2 - 2(y+1)^2 = 6 \end{cases} $
Сделаем замену переменных. Пусть $u = (x-1)^2$ и $v = (y+1)^2$. Так как $u$ и $v$ являются квадратами, то $u \ge 0$ и $v \ge 0$.
Получим линейную систему относительно $u$ и $v$:
$ \begin{cases} 2u + v = 4 \\ 3u - 2v = 6 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $v$: $v = 4 - 2u$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$3u - 2(4 - 2u) = 6$
$3u - 8 + 4u = 6$
$7u = 14$
$u = 2$
Теперь найдем $v$:
$v = 4 - 2(2) = 0$
Значения $u=2$ и $v=0$ удовлетворяют условиям $u \ge 0$ и $v \ge 0$.
Вернемся к исходным переменным:
$(x-1)^2 = u = 2 \implies x-1 = \pm\sqrt{2} \implies x = 1 \pm\sqrt{2}$
$(y+1)^2 = v = 0 \implies y+1 = 0 \implies y = -1$
Таким образом, мы получили две пары решений.
Ответ: $(1 + \sqrt{2}; -1)$, $(1 - \sqrt{2}; -1)$.
б)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + 2x - 5y = -5 \\ x^2 + y^2 + 2x - 10y = -9 \end{cases} $
Заметим, что выражение $x^2 + 2x$ присутствует в обоих уравнениях. Вычтем из второго уравнения первое:
$(x^2 + y^2 + 2x - 10y) - (x^2 + 2x - 5y) = -9 - (-5)$
$x^2 + y^2 + 2x - 10y - x^2 - 2x + 5y = -4$
$y^2 - 5y = -4$
Мы получили квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 - 5y + 4 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корни уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$.
Теперь для каждого значения $y$ найдем соответствующие значения $x$. Используем для этого первое уравнение системы, преобразовав его к виду $x^2 + 2x = 5y - 5$.
Случай 1: $y = 1$
$x^2 + 2x = 5(1) - 5$
$x^2 + 2x = 0$
$x(x+2) = 0$
Отсюда получаем два значения $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.
Таким образом, получаем две пары решений: $(0; 1)$ и $(-2; 1)$.
Случай 2: $y = 4$
$x^2 + 2x = 5(4) - 5$
$x^2 + 2x = 15$
$x^2 + 2x - 15 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -15. Следовательно, корни уравнения: $x_3 = 3$ и $x_4 = -5$.
Таким образом, получаем еще две пары решений: $(3; 4)$ и $(-5; 4)$.
Ответ: $(0; 1)$, $(-2; 1)$, $(3; 4)$, $(-5; 4)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 14.14 расположенного на странице 337 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №14.14 (с. 337), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.