Номер 14.17, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.17, страница 337.

Условие.

14.17* $ \begin{cases} x + \log_2 y = y \log_2 3 + \log_2 x \\ x \log_2 72 + \log_2 x = 2y + \log_2 y \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку переменные $x$ и $y$ находятся в аргументах логарифмов, они должны быть строго положительными: $x > 0$ и $y > 0$.

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} x + \log_2 y = y \log_2 3 + \log_2 x \\ x \log_2 72 + \log_2 x = 2y + \log_2 y \end{cases} $$

Преобразуем уравнения системы, сгруппировав члены с переменными и члены с логарифмами.

Первое уравнение:
$x - y \log_2 3 = \log_2 x - \log_2 y$
Применяя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$, получаем:
$x - y \log_2 3 = \log_2\left(\frac{x}{y}\right)$

Второе уравнение:
$x \log_2 72 - 2y = \log_2 y - \log_2 x$
$x \log_2 72 - 2y = -(\log_2 x - \log_2 y)$
$x \log_2 72 - 2y = -\log_2\left(\frac{x}{y}\right)$

Упростим логарифм в левой части второго уравнения: $\log_2 72 = \log_2(8 \cdot 9) = \log_2(2^3 \cdot 3^2) = \log_2(2^3) + \log_2(3^2) = 3 + 2\log_2 3$.

Подставив это, получим систему в виде:

$$ \begin{cases} x - y \log_2 3 = \log_2\left(\frac{x}{y}\right) \\ x(3 + 2\log_2 3) - 2y = -\log_2\left(\frac{x}{y}\right) \end{cases} $$

Решим полученную систему. Сложим оба уравнения, чтобы избавиться от $\log_2\left(\frac{x}{y}\right)$:
$(x - y \log_2 3) + (3x + 2x\log_2 3 - 2y) = 0$
$4x + 2x\log_2 3 - 2y - y\log_2 3 = 0$
Сгруппируем слагаемые с $x$ и $y$:
$x(4 + 2\log_2 3) = y(2 + \log_2 3)$
$2x(2 + \log_2 3) = y(2 + \log_2 3)$

Поскольку выражение $2 + \log_2 3 = \log_2 4 + \log_2 3 = \log_2 12$ не равно нулю, мы можем сократить его:
$2x = y$

Найдем значения $x$ и $y$. Подставим $y = 2x$ в одно из преобразованных уравнений, например, в $x - y \log_2 3 = \log_2\left(\frac{x}{y}\right)$:
$x - (2x)\log_2 3 = \log_2\left(\frac{x}{2x}\right)$
$x(1 - 2\log_2 3) = \log_2\left(\frac{1}{2}\right)$
$x(1 - \log_2 3^2) = -1$
$x(\log_2 2 - \log_2 9) = -1$
$x\log_2\left(\frac{2}{9}\right) = -1$

Отсюда выразим $x$:
$x = \frac{-1}{\log_2(2/9)} = \frac{1}{-\log_2(2/9)} = \frac{1}{\log_2((2/9)^{-1})} = \frac{1}{\log_2(9/2)}$

Теперь найдем $y$, зная что $y=2x$:
$y = \frac{2}{\log_2(9/2)}$

Найденные значения $x$ и $y$ положительны, так как $\log_2(9/2) = \log_2(4.5) > \log_2(1) = 0$, что соответствует ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{1}{\log_2(9/2)}, y = \frac{2}{\log_2(9/2)}$.