Номер 14.16, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.16, страница 337.
№14.16 (с. 337)
Условие. №14.16 (с. 337)
скриншот условия

14.16* a) $\begin{cases} x - y = \frac{5\pi}{3} \\ \sin x = 2 \sin y \end{cases}$
б) $\begin{cases} \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y = -\frac{1}{6} \\ x - y = \frac{\pi}{4} \end{cases}$
в) $\begin{cases} \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{3}{4} \\ x + y = \frac{5\pi}{12} \end{cases}$
Решение 1. №14.16 (с. 337)



Решение 2. №14.16 (с. 337)


Решение 3. №14.16 (с. 337)


Решение 4. №14.16 (с. 337)
Дана система уравнений:
$$ \begin{cases} x - y = \frac{5\pi}{3} \\ \sin x = 2 \sin y \end{cases} $$
Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + \frac{5\pi}{3}$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\sin(y + \frac{5\pi}{3}) = 2 \sin y$
Используем формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:
$\sin y \cos(\frac{5\pi}{3}) + \cos y \sin(\frac{5\pi}{3}) = 2 \sin y$
Так как $\cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{5\pi}{3}) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$\sin y \cdot \frac{1}{2} + \cos y \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 \sin y$
$\frac{1}{2}\sin y - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos y = 2 \sin y$
Умножим обе части на 2:
$\sin y - \sqrt{3}\cos y = 4 \sin y$
$-\sqrt{3}\cos y = 3 \sin y$
Предполагая, что $\cos y \neq 0$, разделим обе части на $\cos y$, чтобы получить тангенс:
$\frac{\sin y}{\cos y} = \tan y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Отсюда находим $y$:
$y = \arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь найдем $x$, используя $x = y + \frac{5\pi}{3}$:
$x = (-\frac{\pi}{6} + \pi n) + \frac{5\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{10\pi}{6} + \pi n = \frac{9\pi}{6} + \pi n = \frac{3\pi}{2} + \pi n$.
Если бы $\cos y = 0$, то из уравнения $-\sqrt{3}\cos y = 3 \sin y$ следовало бы, что $3 \sin y = 0$, то есть $\sin y = 0$. Но $\cos y$ и $\sin y$ не могут быть равны нулю одновременно, поэтому случай $\cos y = 0$ невозможен.
Ответ: $(\frac{3\pi}{2} + \pi n, -\frac{\pi}{6} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
б)Дана система уравнений:
$$ \begin{cases} \tan x \tan y = -\frac{1}{6} \\ x - y = \frac{\pi}{4} \end{cases} $$
Область определения требует, чтобы $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $y \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$ для любых целых $k, m$.
Воспользуемся формулой тангенса разности: $\tan(x-y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}$.
Подставим известные значения из системы:
$\tan(\frac{\pi}{4}) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + (-\frac{1}{6})}$
$1 = \frac{\tan x - \tan y}{5/6}$
Отсюда получаем: $\tan x - \tan y = \frac{5}{6}$.
Введем замены $u = \tan x$ и $v = \tan y$. Получаем систему алгебраических уравнений:
$$ \begin{cases} uv = -\frac{1}{6} \\ u - v = \frac{5}{6} \end{cases} $$
Из второго уравнения выражаем $u = v + \frac{5}{6}$ и подставляем в первое:
$(v + \frac{5}{6})v = -\frac{1}{6}$
$v^2 + \frac{5}{6}v + \frac{1}{6} = 0$
Умножим уравнение на 6, чтобы избавиться от дробей:
$6v^2 + 5v + 1 = 0$
Решаем квадратное уравнение относительно $v$. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.
$v = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{12}$
Получаем два возможных значения для $v = \tan y$:
$v_1 = \frac{-5 - 1}{12} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$
$v_2 = \frac{-5 + 1}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $\tan y = -\frac{1}{2}$.
Тогда $y = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi n = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Из уравнения $x = y + \frac{\pi}{4}$ находим $x$:
$x = \frac{\pi}{4} - \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n$.
Случай 2: $\tan y = -\frac{1}{3}$.
Тогда $y = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi n = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Из уравнения $x = y + \frac{\pi}{4}$ находим $x$:
$x = \frac{\pi}{4} - \arctan(\frac{1}{3}) + \pi n$.
Таким образом, система имеет два семейства решений.
Ответ: $(\frac{\pi}{4} - \arctan\frac{1}{2} + \pi n, -\arctan\frac{1}{2} + \pi n)$; $(\frac{\pi}{4} - \arctan\frac{1}{3} + \pi n, -\arctan\frac{1}{3} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
в)Дана система уравнений:
$$ \begin{cases} \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{3}{4} \\ x + y = \frac{5\pi}{12} \end{cases} $$
Используем формулы понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$ для первого уравнения:
$\frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 - \cos(2y)}{2} = \frac{3}{4}$
$\frac{2 - (\cos(2x) + \cos(2y))}{2} = \frac{3}{4}$
$1 - \frac{\cos(2x) + \cos(2y)}{2} = \frac{3}{4}$
$\frac{\cos(2x) + \cos(2y)}{2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$\cos(2x) + \cos(2y) = \frac{1}{2}$
Применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:
$2\cos(\frac{2x+2y}{2})\cos(\frac{2x-2y}{2}) = \frac{1}{2}$
$2\cos(x+y)\cos(x-y) = \frac{1}{2}$
Подставим $x+y = \frac{5\pi}{12}$ из второго уравнения системы:
$2\cos(\frac{5\pi}{12})\cos(x-y) = \frac{1}{2}$
Вычислим значение $\cos(\frac{5\pi}{12}) = \cos(75^{\circ}) = \cos(45^{\circ}+30^{\circ}) = \cos45^{\circ}\cos30^{\circ} - \sin45^{\circ}\sin30^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
$2 \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \cos(x-y) = \frac{1}{2}$
$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \cos(x-y) = \frac{1}{2}$
$(\sqrt{6}-\sqrt{2})\cos(x-y) = 1$
$\cos(x-y) = \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{6-2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{12}) = \cos(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. Таким образом, $\cos(x-y) = \cos(\frac{\pi}{12})$.
Отсюда следует, что $x-y = \pm\frac{\pi}{12} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь необходимо решить две системы линейных уравнений.
Система 1:
$$ \begin{cases} x + y = \frac{5\pi}{12} \\ x - y = \frac{\pi}{12} + 2\pi k \end{cases} $$
Складывая уравнения, получаем $2x = \frac{6\pi}{12} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$.
Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2y = \frac{4\pi}{12} - 2\pi k = \frac{\pi}{3} - 2\pi k$, откуда $y = \frac{\pi}{6} - \pi k$.
Система 2:
$$ \begin{cases} x + y = \frac{5\pi}{12} \\ x - y = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k \end{cases} $$
Складывая уравнения, получаем $2x = \frac{4\pi}{12} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$.
Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2y = \frac{6\pi}{12} - 2\pi k = \frac{\pi}{2} - 2\pi k$, откуда $y = \frac{\pi}{4} - \pi k$.
Заметим, что вторая серия решений является перестановкой переменных из первой серии (если заменить $k$ на $-k$). Это ожидаемо, так как исходная система симметрична относительно $x$ и $y$.
Ответ: $(\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{6} - \pi n)$; $(\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{4} - \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 14.16 расположенного на странице 337 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №14.16 (с. 337), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.