Номер 14.16, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.16, страница 337.

Условие.

14.16* a) $\begin{cases} x - y = \frac{5\pi}{3} \\ \sin x = 2 \sin y \end{cases}$

б) $\begin{cases} \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y = -\frac{1}{6} \\ x - y = \frac{\pi}{4} \end{cases}$

в) $\begin{cases} \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{3}{4} \\ x + y = \frac{5\pi}{12} \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = \frac{5\pi}{3} \\ \sin x = 2 \sin y \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + \frac{5\pi}{3}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\sin(y + \frac{5\pi}{3}) = 2 \sin y$

Используем формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:

$\sin y \cos(\frac{5\pi}{3}) + \cos y \sin(\frac{5\pi}{3}) = 2 \sin y$

Так как $\cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{5\pi}{3}) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\sin y \cdot \frac{1}{2} + \cos y \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 \sin y$

$\frac{1}{2}\sin y - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos y = 2 \sin y$

Умножим обе части на 2:

$\sin y - \sqrt{3}\cos y = 4 \sin y$

$-\sqrt{3}\cos y = 3 \sin y$

Предполагая, что $\cos y \neq 0$, разделим обе части на $\cos y$, чтобы получить тангенс:

$\frac{\sin y}{\cos y} = \tan y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Отсюда находим $y$:

$y = \arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем $x$, используя $x = y + \frac{5\pi}{3}$:

$x = (-\frac{\pi}{6} + \pi n) + \frac{5\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{10\pi}{6} + \pi n = \frac{9\pi}{6} + \pi n = \frac{3\pi}{2} + \pi n$.

Если бы $\cos y = 0$, то из уравнения $-\sqrt{3}\cos y = 3 \sin y$ следовало бы, что $3 \sin y = 0$, то есть $\sin y = 0$. Но $\cos y$ и $\sin y$ не могут быть равны нулю одновременно, поэтому случай $\cos y = 0$ невозможен.

Ответ: $(\frac{3\pi}{2} + \pi n, -\frac{\pi}{6} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \tan x \tan y = -\frac{1}{6} \\ x - y = \frac{\pi}{4} \end{cases} $$

Область определения требует, чтобы $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $y \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$ для любых целых $k, m$.

Воспользуемся формулой тангенса разности: $\tan(x-y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}$.

Подставим известные значения из системы:

$\tan(\frac{\pi}{4}) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + (-\frac{1}{6})}$

$1 = \frac{\tan x - \tan y}{5/6}$

Отсюда получаем: $\tan x - \tan y = \frac{5}{6}$.

Введем замены $u = \tan x$ и $v = \tan y$. Получаем систему алгебраических уравнений:

$$ \begin{cases} uv = -\frac{1}{6} \\ u - v = \frac{5}{6} \end{cases} $$

Из второго уравнения выражаем $u = v + \frac{5}{6}$ и подставляем в первое:

$(v + \frac{5}{6})v = -\frac{1}{6}$

$v^2 + \frac{5}{6}v + \frac{1}{6} = 0$

Умножим уравнение на 6, чтобы избавиться от дробей:

$6v^2 + 5v + 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение относительно $v$. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.

$v = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{12}$

Получаем два возможных значения для $v = \tan y$:

$v_1 = \frac{-5 - 1}{12} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$

$v_2 = \frac{-5 + 1}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\tan y = -\frac{1}{2}$.

Тогда $y = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi n = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Из уравнения $x = y + \frac{\pi}{4}$ находим $x$:

$x = \frac{\pi}{4} - \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n$.

Случай 2: $\tan y = -\frac{1}{3}$.

Тогда $y = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi n = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Из уравнения $x = y + \frac{\pi}{4}$ находим $x$:

$x = \frac{\pi}{4} - \arctan(\frac{1}{3}) + \pi n$.

Таким образом, система имеет два семейства решений.

Ответ: $(\frac{\pi}{4} - \arctan\frac{1}{2} + \pi n, -\arctan\frac{1}{2} + \pi n)$; $(\frac{\pi}{4} - \arctan\frac{1}{3} + \pi n, -\arctan\frac{1}{3} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{3}{4} \\ x + y = \frac{5\pi}{12} \end{cases} $$

Используем формулы понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$ для первого уравнения:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 - \cos(2y)}{2} = \frac{3}{4}$

$\frac{2 - (\cos(2x) + \cos(2y))}{2} = \frac{3}{4}$

$1 - \frac{\cos(2x) + \cos(2y)}{2} = \frac{3}{4}$

$\frac{\cos(2x) + \cos(2y)}{2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

$\cos(2x) + \cos(2y) = \frac{1}{2}$

Применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\cos(\frac{2x+2y}{2})\cos(\frac{2x-2y}{2}) = \frac{1}{2}$

$2\cos(x+y)\cos(x-y) = \frac{1}{2}$

Подставим $x+y = \frac{5\pi}{12}$ из второго уравнения системы:

$2\cos(\frac{5\pi}{12})\cos(x-y) = \frac{1}{2}$

Вычислим значение $\cos(\frac{5\pi}{12}) = \cos(75^{\circ}) = \cos(45^{\circ}+30^{\circ}) = \cos45^{\circ}\cos30^{\circ} - \sin45^{\circ}\sin30^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

$2 \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \cos(x-y) = \frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \cos(x-y) = \frac{1}{2}$

$(\sqrt{6}-\sqrt{2})\cos(x-y) = 1$

$\cos(x-y) = \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{6-2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{12}) = \cos(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. Таким образом, $\cos(x-y) = \cos(\frac{\pi}{12})$.

Отсюда следует, что $x-y = \pm\frac{\pi}{12} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо решить две системы линейных уравнений.

Система 1:

$$ \begin{cases} x + y = \frac{5\pi}{12} \\ x - y = \frac{\pi}{12} + 2\pi k \end{cases} $$

Складывая уравнения, получаем $2x = \frac{6\pi}{12} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$.

Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2y = \frac{4\pi}{12} - 2\pi k = \frac{\pi}{3} - 2\pi k$, откуда $y = \frac{\pi}{6} - \pi k$.

Система 2:

$$ \begin{cases} x + y = \frac{5\pi}{12} \\ x - y = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k \end{cases} $$

Складывая уравнения, получаем $2x = \frac{4\pi}{12} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$.

Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2y = \frac{6\pi}{12} - 2\pi k = \frac{\pi}{2} - 2\pi k$, откуда $y = \frac{\pi}{4} - \pi k$.

Заметим, что вторая серия решений является перестановкой переменных из первой серии (если заменить $k$ на $-k$). Это ожидаемо, так как исходная система симметрична относительно $x$ и $y$.

Ответ: $(\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{6} - \pi n)$; $(\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{4} - \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.