Номер 14.12, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.12, страница 337.

Условие.

14.12 a) $$\begin{cases} y + x^2 = 3 \\ 1 + 2\log_3(x+1) = \log_3 y \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} x + 2y^2 = 3 \\ 2\log_2(y+1) = 2 + \log_2 x \end{cases}$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y + x^2 = 3 \\ 1 + 2\log_3(x+1) = \log_3 y \end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Из наличия логарифмов в системе следуют ограничения:

$x+1 > 0 \implies x > -1$

$y > 0$

Из первого уравнения системы выразим $y$: $y = 3 - x^2$.

Подставим это в условие $y > 0$:

$3 - x^2 > 0 \implies x^2 < 3 \implies -\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$.

Объединяя условия на $x$, получаем ОДЗ для $x$: $-1 < x < \sqrt{3}$.

Теперь преобразуем второе уравнение системы. Представим $1$ как $\log_3 3$ и воспользуемся свойствами логарифмов ($n \log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$):

$\log_3 3 + 2\log_3(x+1) = \log_3 y$

$\log_3 3 + \log_3(x+1)^2 = \log_3 y$

$\log_3(3(x+1)^2) = \log_3 y$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$y = 3(x+1)^2$

Теперь у нас есть два выражения для $y$: $y = 3 - x^2$ и $y = 3(x+1)^2$. Приравняем их:

$3 - x^2 = 3(x+1)^2$

$3 - x^2 = 3(x^2 + 2x + 1)$

$3 - x^2 = 3x^2 + 6x + 3$

$4x^2 + 6x = 0$

$2x(2x+3) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$

$x_2 = -1.5$

Проверим найденные значения $x$ на соответствие ОДЗ ($-1 < x < \sqrt{3}$):

$x_1 = 0$ удовлетворяет условию $-1 < 0 < \sqrt{3}$.

$x_2 = -1.5$ не удовлетворяет условию $x > -1$, поэтому это посторонний корень.

Единственный подходящий корень $x=0$. Найдем соответствующее значение $y$:

$y = 3 - x^2 = 3 - 0^2 = 3$.

Проверим найденное решение $(0, 3)$, подставив его в исходную систему:

$\begin{cases} 3 + 0^2 = 3 \\ 1 + 2\log_3(0+1) = \log_3 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 3 = 3 \\ 1 + 2 \cdot 0 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 3=3 \\ 1=1 \end{cases}$

Решение верное.

Ответ: $(0, 3)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + 2y^2 = 3 \\ 2\log_2(y+1) = 2 + \log_2 x \end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Из наличия логарифмов в системе следуют ограничения:

$y+1 > 0 \implies y > -1$

$x > 0$

Из первого уравнения системы выразим $x$: $x = 3 - 2y^2$.

Подставим это в условие $x > 0$:

$3 - 2y^2 > 0 \implies 2y^2 < 3 \implies y^2 < 1.5 \implies -\sqrt{1.5} < y < \sqrt{1.5}$.

Объединяя условия на $y$, получаем ОДЗ для $y$: $-1 < y < \sqrt{1.5}$.

Теперь преобразуем второе уравнение системы. Представим $2$ как $\log_2 4$ и воспользуемся свойствами логарифмов:

$2\log_2(y+1) = \log_2 4 + \log_2 x$

$\log_2(y+1)^2 = \log_2(4x)$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$(y+1)^2 = 4x$

Подставим в это уравнение выражение для $x$ из первого уравнения системы ($x = 3 - 2y^2$):

$(y+1)^2 = 4(3 - 2y^2)$

$y^2 + 2y + 1 = 12 - 8y^2$

$9y^2 + 2y - 11 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-11) = 4 + 396 = 400 = 20^2$.

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-2 + 20}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1$

$y_2 = \frac{-2 - 20}{2 \cdot 9} = \frac{-22}{18} = -\frac{11}{9}$

Проверим найденные значения $y$ на соответствие ОДЗ ($-1 < y < \sqrt{1.5}$):

$y_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $-1 < 1 < \sqrt{1.5} \approx 1.22$.

$y_2 = -\frac{11}{9} \approx -1.22$ не удовлетворяет условию $y > -1$, поэтому это посторонний корень.

Единственный подходящий корень $y=1$. Найдем соответствующее значение $x$:

$x = 3 - 2y^2 = 3 - 2 \cdot 1^2 = 1$.

Проверим найденное решение $(1, 1)$, подставив его в исходную систему:

$\begin{cases} 1 + 2 \cdot 1^2 = 3 \\ 2\log_2(1+1) = 2 + \log_2 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 3 = 3 \\ 2\log_2 2 = 2 + 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3=3 \\ 2=2 \end{cases}$

Решение верное.

Ответ: $(1, 1)$.