Номер 14.12, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.12, страница 337.
№14.12 (с. 337)
Условие. №14.12 (с. 337)
скриншот условия

14.12 a) $$\begin{cases} y + x^2 = 3 \\ 1 + 2\log_3(x+1) = \log_3 y \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} x + 2y^2 = 3 \\ 2\log_2(y+1) = 2 + \log_2 x \end{cases}$$
Решение 1. №14.12 (с. 337)


Решение 2. №14.12 (с. 337)


Решение 4. №14.12 (с. 337)
а)
Дана система уравнений:
$\begin{cases} y + x^2 = 3 \\ 1 + 2\log_3(x+1) = \log_3 y \end{cases}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Из наличия логарифмов в системе следуют ограничения:
$x+1 > 0 \implies x > -1$
$y > 0$
Из первого уравнения системы выразим $y$: $y = 3 - x^2$.
Подставим это в условие $y > 0$:
$3 - x^2 > 0 \implies x^2 < 3 \implies -\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$.
Объединяя условия на $x$, получаем ОДЗ для $x$: $-1 < x < \sqrt{3}$.
Теперь преобразуем второе уравнение системы. Представим $1$ как $\log_3 3$ и воспользуемся свойствами логарифмов ($n \log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$):
$\log_3 3 + 2\log_3(x+1) = \log_3 y$
$\log_3 3 + \log_3(x+1)^2 = \log_3 y$
$\log_3(3(x+1)^2) = \log_3 y$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$y = 3(x+1)^2$
Теперь у нас есть два выражения для $y$: $y = 3 - x^2$ и $y = 3(x+1)^2$. Приравняем их:
$3 - x^2 = 3(x+1)^2$
$3 - x^2 = 3(x^2 + 2x + 1)$
$3 - x^2 = 3x^2 + 6x + 3$
$4x^2 + 6x = 0$
$2x(2x+3) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $x$:
$x_1 = 0$
$x_2 = -1.5$
Проверим найденные значения $x$ на соответствие ОДЗ ($-1 < x < \sqrt{3}$):
$x_1 = 0$ удовлетворяет условию $-1 < 0 < \sqrt{3}$.
$x_2 = -1.5$ не удовлетворяет условию $x > -1$, поэтому это посторонний корень.
Единственный подходящий корень $x=0$. Найдем соответствующее значение $y$:
$y = 3 - x^2 = 3 - 0^2 = 3$.
Проверим найденное решение $(0, 3)$, подставив его в исходную систему:
$\begin{cases} 3 + 0^2 = 3 \\ 1 + 2\log_3(0+1) = \log_3 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 3 = 3 \\ 1 + 2 \cdot 0 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 3=3 \\ 1=1 \end{cases}$
Решение верное.
Ответ: $(0, 3)$.
б)
Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + 2y^2 = 3 \\ 2\log_2(y+1) = 2 + \log_2 x \end{cases}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Из наличия логарифмов в системе следуют ограничения:
$y+1 > 0 \implies y > -1$
$x > 0$
Из первого уравнения системы выразим $x$: $x = 3 - 2y^2$.
Подставим это в условие $x > 0$:
$3 - 2y^2 > 0 \implies 2y^2 < 3 \implies y^2 < 1.5 \implies -\sqrt{1.5} < y < \sqrt{1.5}$.
Объединяя условия на $y$, получаем ОДЗ для $y$: $-1 < y < \sqrt{1.5}$.
Теперь преобразуем второе уравнение системы. Представим $2$ как $\log_2 4$ и воспользуемся свойствами логарифмов:
$2\log_2(y+1) = \log_2 4 + \log_2 x$
$\log_2(y+1)^2 = \log_2(4x)$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$(y+1)^2 = 4x$
Подставим в это уравнение выражение для $x$ из первого уравнения системы ($x = 3 - 2y^2$):
$(y+1)^2 = 4(3 - 2y^2)$
$y^2 + 2y + 1 = 12 - 8y^2$
$9y^2 + 2y - 11 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-11) = 4 + 396 = 400 = 20^2$.
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-2 + 20}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1$
$y_2 = \frac{-2 - 20}{2 \cdot 9} = \frac{-22}{18} = -\frac{11}{9}$
Проверим найденные значения $y$ на соответствие ОДЗ ($-1 < y < \sqrt{1.5}$):
$y_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $-1 < 1 < \sqrt{1.5} \approx 1.22$.
$y_2 = -\frac{11}{9} \approx -1.22$ не удовлетворяет условию $y > -1$, поэтому это посторонний корень.
Единственный подходящий корень $y=1$. Найдем соответствующее значение $x$:
$x = 3 - 2y^2 = 3 - 2 \cdot 1^2 = 1$.
Проверим найденное решение $(1, 1)$, подставив его в исходную систему:
$\begin{cases} 1 + 2 \cdot 1^2 = 3 \\ 2\log_2(1+1) = 2 + \log_2 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 3 = 3 \\ 2\log_2 2 = 2 + 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3=3 \\ 2=2 \end{cases}$
Решение верное.
Ответ: $(1, 1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 14.12 расположенного на странице 337 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №14.12 (с. 337), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.