Номер 14.7, страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.7, страница 336.

Условие.

14.7 Решите систему уравнений методом подстановки:

а) $\begin{cases} x = y + 2 \\ 2x + 3y = 1 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x - y = 1 \\ 2x + 3y = 2 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + 2y = 1 \\ 2^x = 24 \cdot 3^y \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{2} \\ \sin x \sin y = \frac{1}{4} \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x = y + 2 \\2x + 3y = 1\end{cases}$

В первом уравнении переменная $x$ уже выражена через $y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(y + 2) + 3y = 1$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:

$2y + 4 + 3y = 1$

$5y + 4 = 1$

$5y = 1 - 4$

$5y = -3$

$y = -\frac{3}{5}$

Теперь подставим найденное значение $y$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$x = y + 2 = -\frac{3}{5} + 2 = -\frac{3}{5} + \frac{10}{5} = \frac{7}{5}$

Таким образом, решение системы: $x = \frac{7}{5}$, $y = -\frac{3}{5}$.

Ответ: $(\frac{7}{5}; -\frac{3}{5})$.

б) Дана система уравнений:

$\begin{cases}3x - y = 1 \\2x + 3y = 2\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 3x - 1$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$2x + 3(3x - 1) = 2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$2x + 9x - 3 = 2$

$11x = 5$

$x = \frac{5}{11}$

Теперь подставим найденное значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 3x - 1 = 3 \cdot \frac{5}{11} - 1 = \frac{15}{11} - \frac{11}{11} = \frac{4}{11}$

Таким образом, решение системы: $x = \frac{5}{11}$, $y = \frac{4}{11}$.

Ответ: $(\frac{5}{11}; \frac{4}{11})$.

в) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x + 2y = 1 \\2^x = 24 \cdot 3^y\end{cases}$

Из первого (линейного) уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 1 - 2y$

Подставим это выражение для $x$ во второе (показательное) уравнение:

$2^{1 - 2y} = 24 \cdot 3^y$

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойства степеней:

$2^1 \cdot 2^{-2y} = 24 \cdot 3^y$

$2 \cdot (2^2)^{-y} = 24 \cdot 3^y$

$2 \cdot 4^{-y} = 24 \cdot 3^y$

Разделим обе части уравнения на 2:

$4^{-y} = 12 \cdot 3^y$

Перенесем $4^{-y}$ в правую часть (или умножим обе части на $4^y$):

$1 = 12 \cdot 3^y \cdot 4^y$

$1 = 12 \cdot (3 \cdot 4)^y$

$1 = 12 \cdot 12^y$

$1 = 12^{1+y}$

Так как $12^0 = 1$, мы можем приравнять показатели степени:

$1 + y = 0$

$y = -1$

Подставим найденное значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 1 - 2y = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$

Таким образом, решение системы: $x = 3$, $y = -1$.

Ответ: $(3; -1)$.

г) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x - y = \frac{\pi}{2} \\\sin x \sin y = -\frac{1}{4}\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + \frac{\pi}{2}$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$\sin(y + \frac{\pi}{2}) \sin y = -\frac{1}{4}$

Используем формулу приведения $\sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos \alpha$:

$\cos y \sin y = -\frac{1}{4}$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, откуда $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$:

$\frac{1}{2} \sin(2y) = -\frac{1}{4}$

Умножим обе части на 2:

$\sin(2y) = -\frac{1}{2}$

Решим это тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\sin \alpha = a$ имеет вид $\alpha = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2y = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$2y = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Разделим на 2, чтобы найти $y$:

$y = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем соответствующее значение $x$:

$x = y + \frac{\pi}{2} = \left( (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} \right) + \frac{\pi}{2} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(k+1)}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\left( (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(k+1)}{2}; \ (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} \right), \ k \in \mathbb{Z}$.