Номер 14.7, страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.7, страница 336.
№14.7 (с. 336)
Условие. №14.7 (с. 336)
скриншот условия

14.7 Решите систему уравнений методом подстановки:
а) $\begin{cases} x = y + 2 \\ 2x + 3y = 1 \end{cases}$
б) $\begin{cases} 3x - y = 1 \\ 2x + 3y = 2 \end{cases}$
в) $\begin{cases} x + 2y = 1 \\ 2^x = 24 \cdot 3^y \end{cases}$
г) $\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{2} \\ \sin x \sin y = \frac{1}{4} \end{cases}$
Решение 1. №14.7 (с. 336)




Решение 2. №14.7 (с. 336)



Решение 4. №14.7 (с. 336)
а) Дана система уравнений:
$\begin{cases}x = y + 2 \\2x + 3y = 1\end{cases}$
В первом уравнении переменная $x$ уже выражена через $y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$2(y + 2) + 3y = 1$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:
$2y + 4 + 3y = 1$
$5y + 4 = 1$
$5y = 1 - 4$
$5y = -3$
$y = -\frac{3}{5}$
Теперь подставим найденное значение $y$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:
$x = y + 2 = -\frac{3}{5} + 2 = -\frac{3}{5} + \frac{10}{5} = \frac{7}{5}$
Таким образом, решение системы: $x = \frac{7}{5}$, $y = -\frac{3}{5}$.
Ответ: $(\frac{7}{5}; -\frac{3}{5})$.
б) Дана система уравнений:
$\begin{cases}3x - y = 1 \\2x + 3y = 2\end{cases}$
Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 3x - 1$
Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$2x + 3(3x - 1) = 2$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$2x + 9x - 3 = 2$
$11x = 5$
$x = \frac{5}{11}$
Теперь подставим найденное значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 3x - 1 = 3 \cdot \frac{5}{11} - 1 = \frac{15}{11} - \frac{11}{11} = \frac{4}{11}$
Таким образом, решение системы: $x = \frac{5}{11}$, $y = \frac{4}{11}$.
Ответ: $(\frac{5}{11}; \frac{4}{11})$.
в) Дана система уравнений:
$\begin{cases}x + 2y = 1 \\2^x = 24 \cdot 3^y\end{cases}$
Из первого (линейного) уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 1 - 2y$
Подставим это выражение для $x$ во второе (показательное) уравнение:
$2^{1 - 2y} = 24 \cdot 3^y$
Преобразуем левую часть уравнения, используя свойства степеней:
$2^1 \cdot 2^{-2y} = 24 \cdot 3^y$
$2 \cdot (2^2)^{-y} = 24 \cdot 3^y$
$2 \cdot 4^{-y} = 24 \cdot 3^y$
Разделим обе части уравнения на 2:
$4^{-y} = 12 \cdot 3^y$
Перенесем $4^{-y}$ в правую часть (или умножим обе части на $4^y$):
$1 = 12 \cdot 3^y \cdot 4^y$
$1 = 12 \cdot (3 \cdot 4)^y$
$1 = 12 \cdot 12^y$
$1 = 12^{1+y}$
Так как $12^0 = 1$, мы можем приравнять показатели степени:
$1 + y = 0$
$y = -1$
Подставим найденное значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 1 - 2y = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$
Таким образом, решение системы: $x = 3$, $y = -1$.
Ответ: $(3; -1)$.
г) Дана система уравнений:
$\begin{cases}x - y = \frac{\pi}{2} \\\sin x \sin y = -\frac{1}{4}\end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = y + \frac{\pi}{2}$
Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$\sin(y + \frac{\pi}{2}) \sin y = -\frac{1}{4}$
Используем формулу приведения $\sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos \alpha$:
$\cos y \sin y = -\frac{1}{4}$
Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, откуда $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$:
$\frac{1}{2} \sin(2y) = -\frac{1}{4}$
Умножим обе части на 2:
$\sin(2y) = -\frac{1}{2}$
Решим это тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\sin \alpha = a$ имеет вид $\alpha = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$2y = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$2y = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
Разделим на 2, чтобы найти $y$:
$y = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$
Теперь найдем соответствующее значение $x$:
$x = y + \frac{\pi}{2} = \left( (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} \right) + \frac{\pi}{2} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(k+1)}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $\left( (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(k+1)}{2}; \ (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} \right), \ k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 14.7 расположенного на странице 336 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №14.7 (с. 336), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.