Номер 14.13, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.13, страница 337.

Условие.

14.13 а) $$\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 13 \\ x + y = 4; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 7 \\ x - y = 1. \end{cases}$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 13 \\ x + y = 4 \end{cases} $$

Для решения системы используем метод подстановки. Выразим y из второго уравнения:

$y = 4 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 + x(4 - x) + (4 - x)^2 = 13$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$x^2 + 4x - x^2 + (16 - 8x + x^2) = 13$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4x + 16 = 13$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 1$

$x_2 = 3$

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого найденного x, используя выражение $y = 4 - x$.

1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 4 - 1 = 3$. Получаем решение (1; 3).

2. Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 4 - 3 = 1$. Получаем решение (3; 1).

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: (1; 3), (3; 1).

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 7 \\ x - y = 1 \end{cases} $$

Используем метод подстановки. Выразим x из второго уравнения:

$x = 1 + y$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(1 + y)^2 - (1 + y)y + y^2 = 7$

Раскроем скобки и упростим:

$(1 + 2y + y^2) - (y + y^2) + y^2 = 7$

$1 + 2y + y^2 - y - y^2 + y^2 = 7$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 + y + 1 = 7$

$y^2 + y - 6 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно y. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а их произведение равно -6. Следовательно, корни уравнения:

$y_1 = 2$

$y_2 = -3$

Теперь найдем соответствующие значения x для каждого найденного y, используя выражение $x = 1 + y$.

1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 1 + 2 = 3$. Получаем решение (3; 2).

2. Если $y_2 = -3$, то $x_2 = 1 + (-3) = -2$. Получаем решение (-2; -3).

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: (3; 2), (-2; -3).