Номер 14.10, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.10, страница 337.

Условие.

14.10 а) $\begin{cases} 3^y + x = 10 \\ y - \log_3 x = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2^x + y = 5 \\ x - \log_2 y = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2^x = 12 \\ \log_2 y - x = 2. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 3^y + x = 10 \\ y - \log_3 x = 2 \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этой системы определяется логарифмическим выражением: $x > 0$.

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$.

$y - 2 = \log_3 x$

По определению логарифма ($ \log_a b = c \iff a^c = b $):

$x = 3^{y-2}$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$3^y + 3^{y-2} = 10$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$3^y + \frac{3^y}{3^2} = 10$

$3^y + \frac{3^y}{9} = 10$

Введем замену: пусть $t = 3^y$. Поскольку $3^y > 0$, то и $t > 0$. Уравнение примет вид:

$t + \frac{t}{9} = 10$

Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от дроби:

$9t + t = 90$

$10t = 90$

$t = 9$

Вернемся к замене:

$3^y = 9$

$3^y = 3^2$

Отсюда $y = 2$.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = 3^{y-2}$:

$x = 3^{2-2} = 3^0 = 1$

Найденная пара $(1, 2)$ удовлетворяет ОДЗ ($1 > 0$). Проверим решение, подставив значения в исходную систему:

1) $3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$. Верно.

2) $2 - \log_3 1 = 2 - 0 = 2$. Верно.

Ответ: $(1, 2)$.

б) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 2^x + y = 5 \\ x - \log_2 y = 2 \end{cases}$

ОДЗ для этой системы: $y > 0$.

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$.

$x - 2 = \log_2 y$

По определению логарифма:

$y = 2^{x-2}$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$2^x + 2^{x-2} = 5$

Используем свойство степеней:

$2^x + \frac{2^x}{2^2} = 5$

$2^x + \frac{2^x}{4} = 5$

Введем замену: пусть $t = 2^x$ (где $t > 0$).

$t + \frac{t}{4} = 5$

Умножим обе части уравнения на 4:

$4t + t = 20$

$5t = 20$

$t = 4$

Вернемся к замене:

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

Отсюда $x = 2$.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 2^{x-2}$:

$y = 2^{2-2} = 2^0 = 1$

Найденная пара $(2, 1)$ удовлетворяет ОДЗ ($1 > 0$). Проверим решение:

1) $2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$. Верно.

2) $2 - \log_2 1 = 2 - 0 = 2$. Верно.

Ответ: $(2, 1)$.

в) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 2^x = 12 \\ \log_2 y - x = 2 \end{cases}$

ОДЗ для этой системы: $y > 0$.

Из первого уравнения найдем $x$ путем логарифмирования обеих частей по основанию 2:

$x = \log_2 12$

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение системы:

$\log_2 y - \log_2 12 = 2$

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)$:

$\log_2 \left(\frac{y}{12}\right) = 2$

По определению логарифма:

$\frac{y}{12} = 2^2$

$\frac{y}{12} = 4$

Найдем $y$:

$y = 4 \times 12 = 48$

Найденное значение $y=48$ удовлетворяет ОДЗ ($48 > 0$). Проверим решение $(\log_2 12, 48)$:

1) $2^{\log_2 12} = 12$. Верно по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$.

2) $\log_2 48 - \log_2 12 = \log_2\left(\frac{48}{12}\right) = \log_2 4 = 2$. Верно.

Ответ: $(\log_2 12, 48)$.