Номер 14.10, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.10, страница 337.
№14.10 (с. 337)
Условие. №14.10 (с. 337)
скриншот условия

14.10 а) $\begin{cases} 3^y + x = 10 \\ y - \log_3 x = 2; \end{cases}$
б) $\begin{cases} 2^x + y = 5 \\ x - \log_2 y = 2; \end{cases}$
в) $\begin{cases} 2^x = 12 \\ \log_2 y - x = 2. \end{cases}$
Решение 1. №14.10 (с. 337)



Решение 2. №14.10 (с. 337)

Решение 3. №14.10 (с. 337)


Решение 4. №14.10 (с. 337)
а) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 3^y + x = 10 \\ y - \log_3 x = 2 \end{cases}$
Область допустимых значений (ОДЗ) для этой системы определяется логарифмическим выражением: $x > 0$.
Из второго уравнения выразим $x$ через $y$.
$y - 2 = \log_3 x$
По определению логарифма ($ \log_a b = c \iff a^c = b $):
$x = 3^{y-2}$
Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$3^y + 3^{y-2} = 10$
Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$3^y + \frac{3^y}{3^2} = 10$
$3^y + \frac{3^y}{9} = 10$
Введем замену: пусть $t = 3^y$. Поскольку $3^y > 0$, то и $t > 0$. Уравнение примет вид:
$t + \frac{t}{9} = 10$
Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от дроби:
$9t + t = 90$
$10t = 90$
$t = 9$
Вернемся к замене:
$3^y = 9$
$3^y = 3^2$
Отсюда $y = 2$.
Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = 3^{y-2}$:
$x = 3^{2-2} = 3^0 = 1$
Найденная пара $(1, 2)$ удовлетворяет ОДЗ ($1 > 0$). Проверим решение, подставив значения в исходную систему:
1) $3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$. Верно.
2) $2 - \log_3 1 = 2 - 0 = 2$. Верно.
Ответ: $(1, 2)$.
б) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 2^x + y = 5 \\ x - \log_2 y = 2 \end{cases}$
ОДЗ для этой системы: $y > 0$.
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$.
$x - 2 = \log_2 y$
По определению логарифма:
$y = 2^{x-2}$
Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$2^x + 2^{x-2} = 5$
Используем свойство степеней:
$2^x + \frac{2^x}{2^2} = 5$
$2^x + \frac{2^x}{4} = 5$
Введем замену: пусть $t = 2^x$ (где $t > 0$).
$t + \frac{t}{4} = 5$
Умножим обе части уравнения на 4:
$4t + t = 20$
$5t = 20$
$t = 4$
Вернемся к замене:
$2^x = 4$
$2^x = 2^2$
Отсюда $x = 2$.
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 2^{x-2}$:
$y = 2^{2-2} = 2^0 = 1$
Найденная пара $(2, 1)$ удовлетворяет ОДЗ ($1 > 0$). Проверим решение:
1) $2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$. Верно.
2) $2 - \log_2 1 = 2 - 0 = 2$. Верно.
Ответ: $(2, 1)$.
в) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 2^x = 12 \\ \log_2 y - x = 2 \end{cases}$
ОДЗ для этой системы: $y > 0$.
Из первого уравнения найдем $x$ путем логарифмирования обеих частей по основанию 2:
$x = \log_2 12$
Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение системы:
$\log_2 y - \log_2 12 = 2$
Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)$:
$\log_2 \left(\frac{y}{12}\right) = 2$
По определению логарифма:
$\frac{y}{12} = 2^2$
$\frac{y}{12} = 4$
Найдем $y$:
$y = 4 \times 12 = 48$
Найденное значение $y=48$ удовлетворяет ОДЗ ($48 > 0$). Проверим решение $(\log_2 12, 48)$:
1) $2^{\log_2 12} = 12$. Верно по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$.
2) $\log_2 48 - \log_2 12 = \log_2\left(\frac{48}{12}\right) = \log_2 4 = 2$. Верно.
Ответ: $(\log_2 12, 48)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 14.10 расположенного на странице 337 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №14.10 (с. 337), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.