Номер 14.4, страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.4, страница 336.

Условие.

Докажите, что система уравнений не имеет действительных решений (14.4–14.5):

14.4 а) $\begin{cases} x - 2y = 3 \\ x^2 + y^2 + 1 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy = 3 \\ x^2 + y^2 = 4. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - 2y = 3 \\ x^2 + y^2 + 1 = 0 \end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение системы: $x^2 + y^2 + 1 = 0$.

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$x^2 + y^2 = -1$

По определению, для любого действительного числа $x$ его квадрат $x^2$ является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$. Аналогично, $y^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом:

$x^2 + y^2 \ge 0$

Таким образом, мы приходим к противоречию: левая часть уравнения ($x^2 + y^2$) не может быть отрицательной, в то время как правая часть равна -1. Следовательно, второе уравнение системы не имеет решений в действительных числах. Если хотя бы одно уравнение системы не имеет действительных решений, то и вся система не имеет действительных решений.

Ответ: доказано, что система не имеет действительных решений.

б) Дана система уравнений:

$\begin{cases} xy = 3 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases}$

Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Эту формулу можно представить в виде $(x - y)^2 = (x^2 + y^2) - 2xy$.

Теперь подставим в это выражение значения из уравнений нашей системы. Из второго уравнения мы знаем, что $x^2 + y^2 = 4$, а из первого — что $xy = 3$.

Получаем:

$(x - y)^2 = 4 - 2 \cdot 3$

$(x - y)^2 = 4 - 6$

$(x - y)^2 = -2$

Для любых действительных чисел $x$ и $y$ их разность $(x - y)$ также является действительным числом. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - y)^2 \ge 0$.

Мы получили противоречие: левая часть уравнения ($(x - y)^2$) не может быть отрицательной, а правая часть равна -2. Следовательно, не существует таких действительных чисел $x$ и $y$, которые удовлетворяли бы исходной системе уравнений.

Ответ: доказано, что система не имеет действительных решений.