Номер 13.38, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств - номер 13.38, страница 331.

Условие.

13.38 a) $7 \sin^3 2x - 10 \cos^5 4x + 13 \cos^7 8x \ge 30;$

б) $3 \sin^4 \frac{x}{2} + 11 \cos^6 2x + 16 \cos^3 4x \ge 30.$

Решение 1.

Решение 4.

а) $7\sin^3(2x) - 10\cos^5(4x) + 13\cos^7(8x) \geq 30$

Оценим левую часть неравенства. Поскольку функции синуса и косинуса ограничены от -1 до 1, то есть $-1 \leq \sin(2x) \leq 1$, $-1 \leq \cos(4x) \leq 1$ и $-1 \leq \cos(8x) \leq 1$ для любых значений $x$, мы можем найти максимальные значения для каждого слагаемого:

$7\sin^3(2x) \leq 7 \cdot 1^3 = 7$
$-10\cos^5(4x) \leq -10 \cdot (-1)^5 = 10$
$13\cos^7(8x) \leq 13 \cdot 1^7 = 13$

Следовательно, максимальное значение левой части неравенства равно сумме максимальных значений каждого слагаемого: $7 + 10 + 13 = 30$.

Таким образом, неравенство $7\sin^3(2x) - 10\cos^5(4x) + 13\cos^7(8x) \geq 30$ может выполняться только в том случае, когда левая часть равна своему максимальному значению, то есть 30. Это возможно, только если каждое слагаемое одновременно принимает свое максимальное значение. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \sin^3(2x) = 1 \\ \cos^5(4x) = -1 \\ \cos^7(8x) = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin(2x) = 1 \\ \cos(4x) = -1 \\ \cos(8x) = 1 \end{cases}$

Решим эту систему. Если $\sin(2x) = 1$, то по формуле двойного угла для косинуса имеем $\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) = 1 - 2(1)^2 = -1$, что удовлетворяет второму уравнению. Аналогично, $\cos(8x) = 2\cos^2(4x) - 1 = 2(-1)^2 - 1 = 1$, что удовлетворяет третьему уравнению. Следовательно, система равносильна одному уравнению:

$\sin(2x) = 1$

Решая его, получаем: $2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $3\sin^4(\frac{x}{2}) + 11\cos^6(2x) + 16\cos^3(4x) \geq 30$

Оценим левую часть неравенства, используя свойства тригонометрических функций. Для любых $x$ имеем:

$0 \leq \sin^4(\frac{x}{2}) \leq 1 \implies 0 \leq 3\sin^4(\frac{x}{2}) \leq 3$
$0 \leq \cos^6(2x) \leq 1 \implies 0 \leq 11\cos^6(2x) \leq 11$
$-1 \leq \cos(4x) \leq 1 \implies -1 \leq \cos^3(4x) \leq 1 \implies -16 \leq 16\cos^3(4x) \leq 16$

Сложив максимальные значения каждого слагаемого, получим максимальное значение левой части: $3 + 11 + 16 = 30$.

Неравенство $3\sin^4(\frac{x}{2}) + 11\cos^6(2x) + 16\cos^3(4x) \geq 30$ выполняется только тогда, когда его левая часть достигает своего максимального значения, равного 30. Это происходит, когда каждое слагаемое одновременно достигает своего максимума. Запишем соответствующую систему уравнений:

$\begin{cases} \sin^4(\frac{x}{2}) = 1 \\ \cos^6(2x) = 1 \\ \cos^3(4x) = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin^2(\frac{x}{2}) = 1 \\ \cos^2(2x) = 1 \\ \cos(4x) = 1 \end{cases}$

Рассмотрим эту систему. Из первого уравнения $\sin^2(\frac{x}{2}) = 1$, используя формулу понижения степени $\sin^2(\alpha) = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$, получаем $\frac{1-\cos(x)}{2} = 1$, откуда $1-\cos(x) = 2$, то есть $\cos(x) = -1$.

Проверим, выполняются ли остальные условия системы при $\cos(x)=-1$.

Если $\cos(x)=-1$, то $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 = 2(-1)^2 - 1 = 1$. Тогда $\cos^6(2x) = 1^6 = 1$. Второе уравнение выполняется.

Если $\cos(2x)=1$, то $\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 = 2(1)^2 - 1 = 1$. Третье уравнение также выполняется.

Таким образом, вся система равносильна одному уравнению $\cos(x)=-1$.

Решением уравнения $\cos(x)=-1$ является $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.