Номер 13.32, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 13.32, страница 328.

Условие.

Решите неравенство (13.32-13.33):

13.32 a) $12x^5 + 10x^3 + 35x - 17 \sin 2x > 0;$

б) $10x^5 + 25x^3 + 39x + 11 - 11 \cos 2x > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $12x^5 + 10x^3 + 35x - 17 \sin 2x > 0$

Для решения данного неравенства введем функцию $f(x) = 12x^5 + 10x^3 + 35x - 17 \sin 2x$. Нам необходимо найти все значения $x$, при которых $f(x) > 0$.

Сначала проверим, есть ли у функции простые корни. Подставим $x=0$:

$f(0) = 12 \cdot 0^5 + 10 \cdot 0^3 + 35 \cdot 0 - 17 \sin(2 \cdot 0) = 0 - 17 \sin(0) = 0$.

Мы нашли, что $x=0$ является корнем уравнения $f(x) = 0$.

Далее исследуем поведение функции с помощью ее производной, чтобы определить интервалы монотонности.

$f'(x) = (12x^5 + 10x^3 + 35x - 17 \sin 2x)' = 60x^4 + 30x^2 + 35 - 17 \cos(2x) \cdot 2 = 60x^4 + 30x^2 + 35 - 34 \cos 2x$.

Оценим знак производной $f'(x)$. Известно, что $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любых действительных $x$. Также, область значений косинуса $-1 \le \cos 2x \le 1$.

Используя эти свойства, найдем наименьшее возможное значение производной. Слагаемые $60x^4$ и $30x^2$ минимальны при $x=0$ и равны нулю. Выражение $-34 \cos 2x$ минимально, когда $\cos 2x$ принимает максимальное значение, равное 1.

Следовательно, $f'(x) = 60x^4 + 30x^2 + 35 - 34 \cos 2x \ge 0 + 0 + 35 - 34 \cdot 1 = 1$.

Поскольку $f'(x) \ge 1$, производная всегда положительна. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $(-\infty, +\infty)$.

Так как функция $f(x)$ строго возрастает и $f(0)=0$, то для всех $x > 0$ будет выполняться неравенство $f(x) > f(0)$, то есть $f(x) > 0$. Для всех $x < 0$ будет выполняться $f(x) < f(0)$, то есть $f(x) < 0$.

Таким образом, решение исходного неравенства $12x^5 + 10x^3 + 35x - 17 \sin 2x > 0$ — это промежуток, где $x > 0$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

б) $10x^5 + 25x^3 + 39x + 11 - 11 \cos 2x > 0$

Для решения этого неравенства рассмотрим функцию $g(x) = 10x^5 + 25x^3 + 39x + 11 - 11 \cos 2x$. Задача состоит в том, чтобы найти все $x$, для которых $g(x) > 0$.

Найдем значение функции в точке $x=0$:

$g(0) = 10 \cdot 0^5 + 25 \cdot 0^3 + 39 \cdot 0 + 11 - 11 \cos(2 \cdot 0) = 11 - 11 \cos(0) = 11 - 11 \cdot 1 = 0$.

Значит, $x=0$ — корень уравнения $g(x)=0$.

Исследуем функцию на монотонность, найдя ее производную.

$g'(x) = (10x^5 + 25x^3 + 39x + 11 - 11 \cos 2x)' = 50x^4 + 75x^2 + 39 - 11(-\sin(2x) \cdot 2) = 50x^4 + 75x^2 + 39 + 22 \sin 2x$.

Оценим знак производной $g'(x)$. Слагаемые $50x^4$ и $75x^2$ всегда неотрицательны. Область значений синуса: $-1 \le \sin 2x \le 1$.

Найдем наименьшее возможное значение производной. Слагаемые $50x^4$ и $75x^2$ минимальны при $x=0$. Выражение $22 \sin 2x$ минимально, когда $\sin 2x = -1$.

Следовательно, $g'(x) = 50x^4 + 75x^2 + 39 + 22 \sin 2x \ge 0 + 0 + 39 + 22(-1) = 39 - 22 = 17$.

Поскольку $g'(x) \ge 17$, производная всегда положительна. Это означает, что функция $g(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

Так как функция $g(x)$ строго возрастает и $g(0)=0$, то для всех $x > 0$ будет выполняться неравенство $g(x) > g(0)$, то есть $g(x) > 0$. Для всех $x < 0$ будет выполняться $g(x) < g(0)$, то есть $g(x) < 0$.

Следовательно, решение исходного неравенства $10x^5 + 25x^3 + 39x + 11 - 11 \cos 2x > 0$ — это промежуток, где $x > 0$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.