Номер 13.26, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 13.26, страница 325.

Условие.

13.26* a) $ | \sin x | + \frac{1}{| \sin x |} \le 2 - x^2 - \pi x - \frac{\pi^2}{4} $

б) $ | \cos x | + \frac{1}{| \cos x |} \le 2 - x^2 + 2\pi x - \pi^2 $

в) $ | \operatorname{tg} x | + \frac{1}{| \operatorname{tg} x |} \le 2 - x^2 + \frac{\pi x}{2} - \frac{\pi^2}{16} $

г) $ | \operatorname{ctg} x | + \frac{1}{| \operatorname{ctg} x |} \le 2 - x^2 - \frac{\pi x}{2} - \frac{\pi^2}{16} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $|\sin x| + \frac{1}{|\sin x|} \le 2 - x^2 - \pi x - \frac{\pi^2}{4}$

Данное неравенство решается методом оценки. Рассмотрим левую и правую части неравенства по отдельности.

1. Левая часть (ЛЧ): $f(x) = |\sin x| + \frac{1}{|\sin x|}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения: $\sin x \neq 0$, что означает $x \neq \pi k$ для любого целого $k$.

Для любого положительного числа $a$ справедливо неравенство о средних арифметическом и геометрическом: $a + \frac{1}{a} \ge 2\sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = 2$. Равенство достигается только при $a=1$.

Пусть $a = |\sin x|$. Так как по ОДЗ $\sin x \neq 0$, то $a > 0$. Следовательно, ЛЧ $= |\sin x| + \frac{1}{|\sin x|} \ge 2$.

2. Правая часть (ПЧ): $g(x) = 2 - x^2 - \pi x - \frac{\pi^2}{4}$.

Это квадратичная функция от $x$. Для нахождения ее наибольшего значения выделим полный квадрат:

$g(x) = 2 - (x^2 + \pi x + \frac{\pi^2}{4}) = 2 - (x + \frac{\pi}{2})^2$.

Поскольку $(x + \frac{\pi}{2})^2 \ge 0$ для любого $x$, максимальное значение правой части равно 2. Это значение достигается, когда $(x + \frac{\pi}{2})^2 = 0$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2}$.

3. Решение неравенства.

Мы получили, что ЛЧ $\ge 2$, а ПЧ $\le 2$. Исходное неравенство ЛЧ $\le$ ПЧ может выполняться только в том случае, когда обе части одновременно равны 2.

Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} |\sin x| + \frac{1}{|\sin x|} = 2 \\ 2 - (x + \frac{\pi}{2})^2 = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $|\sin x| = 1$.

Из второго уравнения следует, что $(x + \frac{\pi}{2})^2 = 0$, откуда $x = -\frac{\pi}{2}$.

Проверим, является ли $x = -\frac{\pi}{2}$ решением. При этом значении $x$:

$|\sin(-\frac{\pi}{2})| = |-1| = 1$. Первое уравнение выполняется.

Также $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 \neq 0$, так что ОДЗ выполняется.

Следовательно, $x = -\frac{\pi}{2}$ является единственным решением неравенства.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2}$.

б) $|\cos x| + \frac{1}{|\cos x|} \le 2 - x^2 + 2\pi x - \pi^2$

1. Левая часть (ЛЧ): $f(x) = |\cos x| + \frac{1}{|\cos x|}$.

ОДЗ: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$.

Аналогично пункту а), ЛЧ $\ge 2$, и равенство достигается при $|\cos x|=1$.

2. Правая часть (ПЧ): $g(x) = 2 - x^2 + 2\pi x - \pi^2$.

Выделим полный квадрат:

$g(x) = 2 - (x^2 - 2\pi x + \pi^2) = 2 - (x - \pi)^2$.

Максимальное значение ПЧ равно 2 и достигается при $x = \pi$.

3. Решение неравенства.

Неравенство ЛЧ $\le$ ПЧ возможно только при ЛЧ = ПЧ = 2. Получаем систему:

$\begin{cases} |\cos x| + \frac{1}{|\cos x|} = 2 \\ 2 - (x - \pi)^2 = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения $|\cos x| = 1$.

Из второго уравнения $x = \pi$.

Проверим решение $x = \pi$.

$|\cos(\pi)| = |-1| = 1$. Первое уравнение выполняется.

$\cos(\pi) = -1 \neq 0$, ОДЗ выполняется.

Следовательно, $x = \pi$ — единственное решение.

Ответ: $x = \pi$.

в) $|\tg x| + \frac{1}{|\tg x|} \le 2 - x^2 + \frac{\pi x}{2} - \frac{\pi^2}{16}$

1. Левая часть (ЛЧ): $f(x) = |\tg x| + \frac{1}{|\tg x|}$.

ОДЗ: $\tg x$ должен быть определен и не равен нулю, то есть $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$.

Так как $|\tg x| > 0$, то ЛЧ $\ge 2$. Равенство достигается при $|\tg x|=1$.

2. Правая часть (ПЧ): $g(x) = 2 - x^2 + \frac{\pi x}{2} - \frac{\pi^2}{16}$.

Выделим полный квадрат:

$g(x) = 2 - (x^2 - \frac{\pi x}{2} + \frac{\pi^2}{16}) = 2 - (x - \frac{\pi}{4})^2$.

Максимальное значение ПЧ равно 2 и достигается при $x = \frac{\pi}{4}$.

3. Решение неравенства.

Неравенство возможно только при ЛЧ = ПЧ = 2. Получаем систему:

$\begin{cases} |\tg x| + \frac{1}{|\tg x|} = 2 \\ 2 - (x - \frac{\pi}{4})^2 = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения $|\tg x| = 1$.

Из второго уравнения $x = \frac{\pi}{4}$.

Проверим решение $x = \frac{\pi}{4}$.

$|\tg(\frac{\pi}{4})| = |1| = 1$. Первое уравнение выполняется.

Значение $x = \frac{\pi}{4}$ не принадлежит множеству $x = \frac{\pi k}{2}$, ОДЗ выполняется.

Следовательно, $x = \frac{\pi}{4}$ — единственное решение.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4}$.

г) $|\ctg x| + \frac{1}{|\ctg x|} \le 2 - x^2 - \frac{\pi x}{2} - \frac{\pi^2}{16}$

1. Левая часть (ЛЧ): $f(x) = |\ctg x| + \frac{1}{|\ctg x|}$.

ОДЗ: $\ctg x$ должен быть определен и не равен нулю, то есть $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$.

Так как $|\ctg x| > 0$, то ЛЧ $\ge 2$. Равенство достигается при $|\ctg x|=1$.

2. Правая часть (ПЧ): $g(x) = 2 - x^2 - \frac{\pi x}{2} - \frac{\pi^2}{16}$.

Выделим полный квадрат:

$g(x) = 2 - (x^2 + \frac{\pi x}{2} + \frac{\pi^2}{16}) = 2 - (x + \frac{\pi}{4})^2$.

Максимальное значение ПЧ равно 2 и достигается при $x = -\frac{\pi}{4}$.

3. Решение неравенства.

Неравенство возможно только при ЛЧ = ПЧ = 2. Получаем систему:

$\begin{cases} |\ctg x| + \frac{1}{|\ctg x|} = 2 \\ 2 - (x + \frac{\pi}{4})^2 = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения $|\ctg x| = 1$.

Из второго уравнения $x = -\frac{\pi}{4}$.

Проверим решение $x = -\frac{\pi}{4}$.

$|\ctg(-\frac{\pi}{4})| = |-1| = 1$. Первое уравнение выполняется.

Значение $x = -\frac{\pi}{4}$ не принадлежит множеству $x = \frac{\pi k}{2}$, ОДЗ выполняется.

Следовательно, $x = -\frac{\pi}{4}$ — единственное решение.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4}$.