Номер 13.21, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств - номер 13.21, страница 324.

Условие.

Решите уравнение (13.21—13.23):

13.21 a) $(\frac{2}{3})^x + (\frac{3}{2})^x = 2 - \sin^2\frac{2001x}{2002};$

б) $(\log_2 3)^x + (\log_3 2)^x = 2 - \cos^2\frac{\pi x + \pi}{2};$

в) $(\frac{4}{3})^{x-1} + (\frac{3}{4})^{x-1} = 1 + \cos 2\pi x;$

г) $(\frac{4}{5})^{x+1} + (\frac{5}{4})^{x+1} = 1 - \cos \pi x;$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Рассмотрим левую и правую части уравнения.
Левая часть (ЛЧ) представляет собой функцию $f(x) = (\frac{2}{3})^x + (\frac{3}{2})^x$. Заметим, что $\frac{3}{2} = (\frac{2}{3})^{-1}$. Пусть $y = (\frac{2}{3})^x$. Тогда левую часть можно записать в виде $y + \frac{1}{y}$.
Поскольку $y = (\frac{2}{3})^x > 0$ для любого действительного $x$, мы можем применить неравенство о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши): $y + \frac{1}{y} \ge 2\sqrt{y \cdot \frac{1}{y}} = 2$.
Таким образом, наименьшее значение левой части равно 2. Это значение достигается, когда $y = \frac{1}{y}$, то есть $y^2 = 1$. Так как $y>0$, то $y=1$.
Возвращаясь к переменной $x$, получаем $(\frac{2}{3})^x = 1$, что верно только при $x=0$.
Правая часть (ПЧ) — это функция $g(x) = 2 - \sin^2\frac{2001x}{2002}$.
Мы знаем, что область значений функции синус в квадрате есть отрезок $[0, 1]$, то есть $0 \le \sin^2\alpha \le 1$ для любого $\alpha$.
Следовательно, $-1 \le -\sin^2\frac{2001x}{2002} \le 0$.
Прибавив 2 ко всем частям неравенства, получим $1 \le 2 - \sin^2\frac{2001x}{2002} \le 2$.
Таким образом, наибольшее значение правой части равно 2.
Исходное уравнение может иметь решение только в том случае, когда левая и правая части одновременно принимают равные значения. Поскольку ЛЧ $\ge 2$, а ПЧ $\le 2$, равенство возможно только когда ЛЧ = ПЧ = 2.
ЛЧ = 2 только при $x=0$.
Проверим, равна ли ПЧ двум при $x=0$: $2 - \sin^2(\frac{2001 \cdot 0}{2002}) = 2 - \sin^2(0) = 2 - 0 = 2$.
Условие выполняется. Следовательно, $x=0$ является единственным решением.
Ответ: $x=0$.

б)

Данное уравнение решается методом оценки.
Левая часть (ЛЧ): $f(x) = (\log_2 3)^x + (\log_3 2)^x$. Воспользуемся свойством логарифма $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, чтобы преобразовать выражение: $\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3}$.
Пусть $y = (\log_2 3)^x$. Тогда ЛЧ примет вид $y + \frac{1}{y}$. Так как $\log_2 3 > 1$, то $y > 0$.
По неравенству Коши, $y + \frac{1}{y} \ge 2$. Равенство достигается при $y=1$.
$(\log_2 3)^x = 1$. Так как основание степени $\log_2 3 \neq 1$, равенство справедливо только при $x=0$.
Итак, ЛЧ $\ge 2$, причем ЛЧ = 2 только при $x=0$.
Правая часть (ПЧ): $g(x) = 2 - \cos^2\frac{\pi x + \pi}{2}$.
Область значений функции косинус в квадрате — это $[0, 1]$. Таким образом, $0 \le \cos^2\frac{\pi x + \pi}{2} \le 1$.
Отсюда следует, что $1 \le 2 - \cos^2\frac{\pi x + \pi}{2} \le 2$. То есть, ПЧ $\le 2$.
Равенство ЛЧ = ПЧ возможно, только если обе части равны 2.
ЛЧ = 2 при $x=0$.
ПЧ = 2, когда $\cos^2\frac{\pi x + \pi}{2} = 0$. Подставим $x=0$: $\cos^2(\frac{\pi \cdot 0 + \pi}{2}) = \cos^2(\frac{\pi}{2}) = 0^2 = 0$. Условие выполняется.
Единственное решение уравнения — $x=0$.
Ответ: $x=0$.

в)

Воспользуемся методом оценки левой и правой частей уравнения.
Левая часть (ЛЧ): $f(x) = (\frac{4}{3})^{x-1} + (\frac{3}{4})^{x-1}$. Пусть $y = (\frac{4}{3})^{x-1}$. Тогда ЛЧ равна $y + \frac{1}{y}$.
Поскольку $y > 0$, по неравенству Коши $y + \frac{1}{y} \ge 2$. Равенство достигается, когда $y=1$.
$(\frac{4}{3})^{x-1} = 1$. Это уравнение истинно, если показатель степени равен нулю: $x-1 = 0$, откуда $x=1$.
Следовательно, ЛЧ $\ge 2$, и ЛЧ = 2 только при $x=1$.
Правая часть (ПЧ): $g(x) = 1 + \cos(2\pi x)$.
Известно, что $-1 \le \cos\alpha \le 1$. Тогда $0 \le 1 + \cos(2\pi x) \le 2$.
Следовательно, ПЧ $\le 2$.
Равенство в исходном уравнении возможно, только если ЛЧ = ПЧ = 2.
ЛЧ = 2 при $x=1$.
ПЧ = 2, когда $\cos(2\pi x) = 1$. Это выполняется при $2\pi x = 2k\pi$, где $k$ — целое число, то есть $x=k$.
Мы ищем значение $x$, которое одновременно удовлетворяет условиям $x=1$ и $x=k$ (целое). Таким значением является $x=1$.
Ответ: $x=1$.

г)

Применим метод оценки для решения данного уравнения.
Левая часть (ЛЧ): $f(x) = (\frac{4}{5})^{x+1} + (\frac{5}{4})^{x+1}$. Обозначим $y = (\frac{5}{4})^{x+1}$. Тогда $(\frac{4}{5})^{x+1} = \frac{1}{y}$. ЛЧ имеет вид $y + \frac{1}{y}$.
Так как $y > 0$, по неравенству Коши $y + \frac{1}{y} \ge 2$. Равенство имеет место при $y=1$.
$(\frac{5}{4})^{x+1} = 1$, что верно при $x+1=0$, то есть $x=-1$.
Значит, ЛЧ $\ge 2$, и ЛЧ = 2 только при $x=-1$.
Правая часть (ПЧ): $g(x) = 1 - \cos(\pi x)$.
Поскольку $-1 \le \cos(\pi x) \le 1$, то $-1 \le -\cos(\pi x) \le 1$.
Прибавляя 1, получаем $0 \le 1 - \cos(\pi x) \le 2$.
Значит, ПЧ $\le 2$.
Равенство ЛЧ = ПЧ возможно только в случае, когда обе части равны 2.
ЛЧ = 2 при $x=-1$.
ПЧ = 2, когда $1 - \cos(\pi x) = 2$, то есть $\cos(\pi x) = -1$. Это выполняется, когда $\pi x = \pi + 2k\pi = (2k+1)\pi$, где $k$ — целое число. Отсюда $x=2k+1$, то есть $x$ — любое нечетное целое число.
Единственное значение $x$, которое удовлетворяет обоим условиям ( $x=-1$ и $x$ — нечетное целое), это $x=-1$.
Ответ: $x=-1$.